小专题3 方程思想在勾股定理中的运用 专题练习(含答案)2024-2025学年人教版八年级数学下册

小专题3 方程思想在勾股定理中的运用
类型1 单勾股列方程求解
【例 1】 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=10,BC=6,EF 为AB 的垂直平分线,求AE的长.
解题思路:连接BE,设AE=x,则BE=x,CE= .
根据勾股定理，得(
可列方程为 .
解得x= .
针对训练
1.(2023·随州)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC 上一点.若 BD是∠ABC的平分线,则AD= .
类型2 双勾股列方程求解
方法技巧1
作高，利用勾股定理构建方程
条件：已知△ABC的三边长.
方法:作 AD⊥BC,垂足为 D.
结论：
【例 2】 如图，在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,AD⊥BC,求BD的长.
解题思路:设 BD=x,则CD= .
根据勾股定理，得 CD ,可列方程为 .
解得x= .
针对训练
2.如图,在△ABC中,BC=4,AC=13,AB=15,求△ABC的面积.
方法 技巧2
共边，利用勾股定理构建方程
条件:∠ACB=90°,CD⊥AB于点 D.
结论:(1)AC,BC,AB,AD,DB,CD 中,知二可求四；
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,BD=2,CD=4,求 AD的长.
小专题3 方程思想在勾股定理中的运用
【例1】
【例2】
针对训练
1.5
2.解:过点 A 作AD⊥BC于点 D.设( 解得
3.解:设 AD=x.在Rt△ACD中,. 在Rt△BCD中, 在 Rt△ABC 中,AC + 即 解得x=8.∴AD=8.