17.2 勾股定理的逆定理 分层练习(含答案)2024-2025学年人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 17.2 勾股定理的逆定理 分层练习(含答案)2024-2025学年人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 132.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-27 07:46:53 | ||
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文档简介
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
A 基础题
知识点1 勾股定理的逆定理
1.在由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是 ( )
A.1,2,3 B.2,3,4
C.3,4,5
2.在△ABC中, .若∠B=55°,则∠C= ( )
A.20° B.35°
C.65° D.75°
3.下列说法中不正确的是 ( )
A.三个角度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形
B.三边之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C.三个角度数之比为1：2：3的三角形是直角三角形
D.三边之比为1:2: 的三角形是直角三角形
4.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C 的对边长.若 则这个三角形一定是 .
5.如图,在△ABC 中,AC=3,BC=4,以点 A 为圆心,AC的长为半径画弧，交AB 于点 D.若BD=2,则∠ACB= °.
6.(教材习题变式)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
(1)a=5,b=12,c=13.
(3)a: b:c=3:4: 5.
方法指导
检验较短两边的平方和是否等于最长边的平方.
知识点2 逆命题、逆定理
7.下列各命题的逆命题不成立的是 ( )
A.两直线平行，同旁内角互补
B.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等
C.对顶角相等
D.如果 那么a=b
8.下列命题:①若|a|>|b|,则a>b;②直角三角形的两个锐角互余；③如果a=0，那么 ab=0；④互为相反数的两个数的和为0.其中原命题和逆命题均为真命题的是 ( )
A.①③
B.②④
C.②③④
D.①②③④
知识点3 勾股数
9.下列各组数据，是勾股数的为 ( )
A.8,15,17
B.0.3,0.4,0.5
C.3 ,4 ,5
D.6,7,8
10.新考向 开放性问题将勾股数3，4，5扩大2倍、3倍、4倍……可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20;…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于 以 上 所 给出 的 基 本 勾股数：
B 中档题
11.三角形的三边为a，b，c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是 ( )
A. a:b:c=8: 16: 17
D. a:b: c=13:5: 12
12.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形，下列选项中正确的是 ( )
13.如图,正方形 ABCD 是由 9个边长为1 的小正方形组成的，点E，F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上,连接 AE,AF,则∠EAF 的度数是
14.如图,已知C是线段BD 上的一点,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,CD=6,DE=4, .求证:∠ACE=90°.
15.如图所示,在△ABC中,三边分别是a,b,c,并且满足a +b -12a-16b+100=0,c=10.
(1)请判断△ABC的形状，并说明理由.
(2)求出最长边 AB上的高CD.
C综合题
16.在一次“探究性学习”课中，老师设计如下数表：
n 2 3 4 5 6 …
a …
b 4 6 8 10 …
c …
(1)观察表格，根据规律在表中填空.
(2)用含自然数n(n>1)的代数式表示a,b,c,则 a= ,b= , c =
(3)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形 证明你的结论.
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
A基础题
知识点1 勾股定理的逆定理的应用
1.一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部及与电线杆底部水平距离5m处之间加一根拉线.拉线工人发现所用线长为13.2m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面 (填“垂直”或“不垂直”).
2. A，B，C三地两两之间的距离如图所示.若B地在 A 地的正西方向，则C 地在 B 地的 方向.
3.如图，这是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架AC=24 cm,CB=18 cm,两轮中心的距离 AB=30cm,则点 C到AB 的距离为
知识点2 勾股定理及其逆定理的综合应用
4.如图,若AB=10,BC=6,AC=8,则边 AC上的中线BD 的长为 ( )
A.5 B.4
5.一个零件的示意图如图所示，测得 AB=4 cm,BC= 3cm,CD=12 cm,AD=13 cm,∠ABC=90°,则∠ACD= .
6.如图,在△ABC中,DE是BC 的垂直平分线.若 AC = 12,AE = 5,BE = 13,则 BC =
7.如图, BD=12,DC=4 ,则∠DBA= .
8.小明计划制作一架小型飞机模型，如图所示的四边形材料是飞机垂直尾翼，小明测量发现AB=13 cm,AD=5 cm,∠DBC=90°,BC=16 cm,CD=20cm.根据设计要求需保证AD∥BC.请判断该尾翼是否符合设计要求，并说明理由.
B 中档题
9.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,BC=CD=1,AD= 则四边形的面积为
10.如图,在△ABC中,AC=4,BC=3,AB=5,AD 为△ABC的角平分线,则CD= .
11.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列 结 论： ②∠BAC=90°;③△ABC的面积为10;④点A到直线 BC 的距离是 2.其中正确的是 (填序号).
12.如图，一工厂位于点 C处，河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于从工厂 C到取水点A 的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点 H(点A，H，B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=2.5k m,CH=2km,BH=1. 5km.
(1)请判断CH是否为从工厂C到河边最近的一条路(即CH 与AB 是否垂直) 并说明理由.
(2)求 AC的长.
C综合题
13.某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向 AB由点A向点B 移动，已知点 C 为一海港，点C 与直线AB 上两点A,B 的距离分别为300 km和400 km,且AB=500 km,以台风中心为圆心的周围250 km以内为受影响区域.
(1)求证:∠ACB=90°.
(2)海港C会受台风影响吗 为什么
(3)若台风的速度为40 km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
1. C 2. B 3. A 4.直角三角形 5.90
6.解: 符合勾股定理的逆定理，是直角三角形. 不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.(3)设 符合勾股定理的逆定理，是直角三角形.
7. C 8. B 9. A 10.答案不唯一,如:5,12,13;7,24,25 11. A12. C 13.45°
14.证明:在 Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=2,∴AC= .在Rt△EDC中,∠D=90°,CD= AE是斜边.∴∠ACE=90°.
15.解:(1)△ABC为直角三角形,理由如下: 为直角三角形,且∠ACB=90°. 即ab=c·CD,∴CD=
16.解:(1)6 -1 12 6 +1 (2)n -1 2n n +1 (3)以a,b,c为边的三角形是直角三角形.证明如下：' ∴以a,b,c为边的三角形是直角三角形.
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
1.不垂直 2.正北 3. cm 4. C 5.90° 6.6 7.45°
8.解:该尾翼符合设计要求,理由如下:∵∠DBC=90°,BC=16 cm, 在△ABD中,AB=13cm,AD=5cm,∴ AB .∴△ABD 是直角三角形,且 ∠DBC.∴AD∥BC.∴该尾翼符合设计要求.
10. 11.①②④
12.解：(1)CH是从工厂C到河边最近的一条路.理由： =2 +(1.5) =6.25,BC =6.25,∴CH +BH =BC .∴△CHB是直角三角形,且∠CHB=90°.∴CH与AB 垂直,即CH是从工厂C到河边最近的一条路.(2)设AC=x km,则AB=x km,AH=(x-1.5) km.在 Rt△ACH中,由勾股定理,得. CH ,即 解得 ∴AC的长为
13.解:(1)证明:∵AC=300km,BC=400km,AB=500km,∴AC +BC =AB .∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.(2)海港C会受台风影响.理由：过点C作CD⊥AB于点D. .250>240,∴海港C会受台风影响.(3)在直线AB上取点E,F,且EC=250km,FC=250km.在Rt△CED中,由勾股定理,得ED= 同理,FD=70 km.∴EF=140km.∵台风的速度为40 km/h,∴140÷40=3.5(h).∴台风影响该海港持续的时间为3.5h.
第1课时 勾股定理的逆定理
A 基础题
知识点1 勾股定理的逆定理
1.在由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是 ( )
A.1,2,3 B.2,3,4
C.3,4,5
2.在△ABC中, .若∠B=55°,则∠C= ( )
A.20° B.35°
C.65° D.75°
3.下列说法中不正确的是 ( )
A.三个角度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形
B.三边之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C.三个角度数之比为1：2：3的三角形是直角三角形
D.三边之比为1:2: 的三角形是直角三角形
4.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C 的对边长.若 则这个三角形一定是 .
5.如图,在△ABC 中,AC=3,BC=4,以点 A 为圆心,AC的长为半径画弧，交AB 于点 D.若BD=2,则∠ACB= °.
6.(教材习题变式)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
(1)a=5,b=12,c=13.
(3)a: b:c=3:4: 5.
方法指导
检验较短两边的平方和是否等于最长边的平方.
知识点2 逆命题、逆定理
7.下列各命题的逆命题不成立的是 ( )
A.两直线平行，同旁内角互补
B.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等
C.对顶角相等
D.如果 那么a=b
8.下列命题:①若|a|>|b|,则a>b;②直角三角形的两个锐角互余；③如果a=0，那么 ab=0；④互为相反数的两个数的和为0.其中原命题和逆命题均为真命题的是 ( )
A.①③
B.②④
C.②③④
D.①②③④
知识点3 勾股数
9.下列各组数据，是勾股数的为 ( )
A.8,15,17
B.0.3,0.4,0.5
C.3 ,4 ,5
D.6,7,8
10.新考向 开放性问题将勾股数3，4，5扩大2倍、3倍、4倍……可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20;…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于 以 上 所 给出 的 基 本 勾股数：
B 中档题
11.三角形的三边为a，b，c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是 ( )
A. a:b:c=8: 16: 17
D. a:b: c=13:5: 12
12.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形，下列选项中正确的是 ( )
13.如图,正方形 ABCD 是由 9个边长为1 的小正方形组成的，点E，F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上,连接 AE,AF,则∠EAF 的度数是
14.如图,已知C是线段BD 上的一点,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,CD=6,DE=4, .求证:∠ACE=90°.
15.如图所示,在△ABC中,三边分别是a,b,c,并且满足a +b -12a-16b+100=0,c=10.
(1)请判断△ABC的形状，并说明理由.
(2)求出最长边 AB上的高CD.
C综合题
16.在一次“探究性学习”课中，老师设计如下数表：
n 2 3 4 5 6 …
a …
b 4 6 8 10 …
c …
(1)观察表格，根据规律在表中填空.
(2)用含自然数n(n>1)的代数式表示a,b,c,则 a= ,b= , c =
(3)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形 证明你的结论.
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
A基础题
知识点1 勾股定理的逆定理的应用
1.一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部及与电线杆底部水平距离5m处之间加一根拉线.拉线工人发现所用线长为13.2m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面 (填“垂直”或“不垂直”).
2. A，B，C三地两两之间的距离如图所示.若B地在 A 地的正西方向，则C 地在 B 地的 方向.
3.如图，这是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架AC=24 cm,CB=18 cm,两轮中心的距离 AB=30cm,则点 C到AB 的距离为
知识点2 勾股定理及其逆定理的综合应用
4.如图,若AB=10,BC=6,AC=8,则边 AC上的中线BD 的长为 ( )
A.5 B.4
5.一个零件的示意图如图所示，测得 AB=4 cm,BC= 3cm,CD=12 cm,AD=13 cm,∠ABC=90°,则∠ACD= .
6.如图,在△ABC中,DE是BC 的垂直平分线.若 AC = 12,AE = 5,BE = 13,则 BC =
7.如图, BD=12,DC=4 ,则∠DBA= .
8.小明计划制作一架小型飞机模型，如图所示的四边形材料是飞机垂直尾翼，小明测量发现AB=13 cm,AD=5 cm,∠DBC=90°,BC=16 cm,CD=20cm.根据设计要求需保证AD∥BC.请判断该尾翼是否符合设计要求，并说明理由.
B 中档题
9.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,BC=CD=1,AD= 则四边形的面积为
10.如图,在△ABC中,AC=4,BC=3,AB=5,AD 为△ABC的角平分线,则CD= .
11.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列 结 论： ②∠BAC=90°;③△ABC的面积为10;④点A到直线 BC 的距离是 2.其中正确的是 (填序号).
12.如图，一工厂位于点 C处，河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于从工厂 C到取水点A 的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点 H(点A，H，B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=2.5k m,CH=2km,BH=1. 5km.
(1)请判断CH是否为从工厂C到河边最近的一条路(即CH 与AB 是否垂直) 并说明理由.
(2)求 AC的长.
C综合题
13.某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向 AB由点A向点B 移动，已知点 C 为一海港，点C 与直线AB 上两点A,B 的距离分别为300 km和400 km,且AB=500 km,以台风中心为圆心的周围250 km以内为受影响区域.
(1)求证:∠ACB=90°.
(2)海港C会受台风影响吗 为什么
(3)若台风的速度为40 km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
1. C 2. B 3. A 4.直角三角形 5.90
6.解: 符合勾股定理的逆定理，是直角三角形. 不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.(3)设 符合勾股定理的逆定理，是直角三角形.
7. C 8. B 9. A 10.答案不唯一,如:5,12,13;7,24,25 11. A12. C 13.45°
14.证明:在 Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=2,∴AC= .在Rt△EDC中,∠D=90°,CD= AE是斜边.∴∠ACE=90°.
15.解:(1)△ABC为直角三角形,理由如下: 为直角三角形,且∠ACB=90°. 即ab=c·CD,∴CD=
16.解:(1)6 -1 12 6 +1 (2)n -1 2n n +1 (3)以a,b,c为边的三角形是直角三角形.证明如下：' ∴以a,b,c为边的三角形是直角三角形.
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
1.不垂直 2.正北 3. cm 4. C 5.90° 6.6 7.45°
8.解:该尾翼符合设计要求,理由如下:∵∠DBC=90°,BC=16 cm, 在△ABD中,AB=13cm,AD=5cm,∴ AB .∴△ABD 是直角三角形,且 ∠DBC.∴AD∥BC.∴该尾翼符合设计要求.
10. 11.①②④
12.解：(1)CH是从工厂C到河边最近的一条路.理由： =2 +(1.5) =6.25,BC =6.25,∴CH +BH =BC .∴△CHB是直角三角形,且∠CHB=90°.∴CH与AB 垂直,即CH是从工厂C到河边最近的一条路.(2)设AC=x km,则AB=x km,AH=(x-1.5) km.在 Rt△ACH中,由勾股定理,得. CH ,即 解得 ∴AC的长为
13.解:(1)证明:∵AC=300km,BC=400km,AB=500km,∴AC +BC =AB .∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.(2)海港C会受台风影响.理由：过点C作CD⊥AB于点D. .250>240,∴海港C会受台风影响.(3)在直线AB上取点E,F,且EC=250km,FC=250km.在Rt△CED中,由勾股定理,得ED= 同理,FD=70 km.∴EF=140km.∵台风的速度为40 km/h,∴140÷40=3.5(h).∴台风影响该海港持续的时间为3.5h.