小专题9 平行四边形中的折叠与最值问题 同步练习(含答案)2024-2025学年人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 小专题9 平行四边形中的折叠与最值问题 同步练习(含答案)2024-2025学年人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 113.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-27 07:51:56 | ||
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文档简介
小专题9 平行四边形中的折叠与最值问题
类型1 折叠问题
【例1】 如图，在矩形ABCD中,AB=3,BC=9,将矩形折叠，使点 C 与点 A 重合，点D 落在点 G 处，折痕为EF,则AE= ,EF= .
【思路点拨】 由折叠可知，∠CEF =∠AEF,CE=AE,设 AE=CE=x,则 BE=BC-CE=9-x.在 Rt△ABE中,根据勾股定理即可求出 AE 的长;过点 E 作EH⊥AD 于点H，在 Rt△EFH中，根据勾股定理即可求出EF的长.
【例2】 (教材习题变式)如图，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平；再次折叠纸片，使A 的对应点 N 落在EF上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时得到线段BN，MN.请猜想∠MBN 的度数是多少，并证明你的结论.
【变式】 如图，对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN，再把纸片展平. E是AD 上一点，将纸片沿BE折叠，使点 A 的对应点A'落在MN 上.若CD=5,则 BE的长是 .
方法 指导
与折叠有关的常用性质：
(1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等形；
(2)折痕可看作垂直平分线(互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分)；
(3)折痕可以看作角平分线(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等).
常用方法：找到或构造直角三角形，运用勾股定理列方程求解.
针对训练
1.把一个矩形纸带按如图所示的方式折叠，MN为折痕,AM 与CN 交于点 P.若∠PMN=64°,则∠APC 的度数为 °.
2.如图所示,有一张矩形纸片 ABCD,AB=8,AD=6.现折叠该纸片，使得边AD与对角线DB 重合,折痕为 DG,点 A 落在点 F 处,则AG= .
3.(2024·河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB 在x 轴上,点 A 的坐标为(-2,0),点 E在边CD 上.将△BCE 沿BE折叠，点C 落在点 F 处.若点 F 的坐标为(0，6),则点 E 的坐标为 .
4.如图,在 ABCD中,AB=4 ,BC=10,∠A=45°,E 是边 AD 上一动点,将△AEB 沿直线BE 折叠,得到△FEB,BF 与 AD 相交于点M.当直线 BF与 ABCD的一边所在直线垂直时，DM的长为 .
5.在综合与实践活动课上，老师让同学们以“用折纸做60°，30°，15°的角”为主题开展数学活动.如图，某小组准备了一张正方形纸片ABCD，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕EF；展开后再沿 BG折叠，使点 A 的对应点 A'正好落在 EF上;延长GA',与CD交于点 M，连接 BM.这个小组得到以下结论：
①∠A'BC=30°;②∠A'GD=60°;③∠BA'P=15°;④∠A'BM=15°;⑤∠GMD=30°.其中正确的是 (填序号).
6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的边OB 在x轴上，OA 在y轴上，顶点C的坐标是(--3，4)，将矩形沿对角线 AB 进行翻折，使点C落在点P 的位置，BP 交 y轴于点 Q，则点Q的坐标是 ( )
A.(0,
D.(0,
7.如图,在矩形ABCD中,AD>AB,点 E,F分别在边BC,AB上,将△ABE沿AE 折叠,使点 B 落在边 AD 上的点 B'处；展开后将△BEF 沿 EF 折叠,使点 B 落在 AE上的点 G处.若DE=EF,CE=2,则AD的长为 ( )
D.6
类型2 最值问题
【例3】 如图，正方形ABCD的边长为4,E 为 BC上的一点,BE=1,F为AB 的中点，P为 AC 上的一个动点,求 PF+PE的最小值.
【思路点拨】 (1)先确定点 P 的位置：作点E关于AC 的对称点E',连接 FE',交 AC 于点P,则点 P 即为所求;(2)求 E'F 的长:将 E'F 放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出E'F的长，即求出了 PF+PE的最小值.
方法指导
求线段和的最小值时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接，则其与直线的交点即为所求动点的位置，所连接的线段长即为所求最小值.
针对训练
8.如图,在 ABCD中,∠A=120°,BC=4,点 E在边AB上,连接ED,EC,以EC,ED为邻边作□EDFC,连接EF,则 EF的最小值为 ( )
A.4
B.2
9.(2024·广安)如图,在 ABCD中,AB=4,AD=5,∠ABC=30°,M为直线BC 上一动点,则MA+MD 的最小值为 .
如图,在边长为4的正方形 ABCD中,E,F分别是边 BC,CD上的动点,且 BE=CF,连接BF,DE,则 BF+DE的最小值为 .
【例1】 5
【例2】 解:猜想:∠MBN=30°.证明:连接AN.由折叠可知,BN=AB,∠ABM=∠MBN,直线EF是AB的垂直平分线.∵点 N在EF上,∴AN=BN.∴△ABN是等边三角形.∴∠ABN=60°.∴∠MBN
【变式】
【例3】 解:作点 E关于直线AC 的对称点E'(易知点 E'在CD上),连接E'F,交AC于点P,连接PE,则 此时P 即为所求的使PF+PE的值最小的点.∵正方形ABCD的边长为4,BE=1,F为AB的中点, 2,CE=CB-BE=3.∴CE'=CE=3.过点 F作FG⊥CD于点G,则 ∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠BCD=∠FGC=90°.∴四边形 FBCG是矩形.∴CG=BF=2,FG=BC=4. ∴在 Rt△E'FG 中, 的最小值为
针对训练
1.52 2.3 3.(3,10) 4.2或6 5.①②④⑤ 6. C 7. C 8. D9. 10.4
类型1 折叠问题
【例1】 如图，在矩形ABCD中,AB=3,BC=9,将矩形折叠，使点 C 与点 A 重合，点D 落在点 G 处，折痕为EF,则AE= ,EF= .
【思路点拨】 由折叠可知，∠CEF =∠AEF,CE=AE,设 AE=CE=x,则 BE=BC-CE=9-x.在 Rt△ABE中,根据勾股定理即可求出 AE 的长;过点 E 作EH⊥AD 于点H，在 Rt△EFH中，根据勾股定理即可求出EF的长.
【例2】 (教材习题变式)如图，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平；再次折叠纸片，使A 的对应点 N 落在EF上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时得到线段BN，MN.请猜想∠MBN 的度数是多少，并证明你的结论.
【变式】 如图，对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN，再把纸片展平. E是AD 上一点，将纸片沿BE折叠，使点 A 的对应点A'落在MN 上.若CD=5,则 BE的长是 .
方法 指导
与折叠有关的常用性质：
(1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等形；
(2)折痕可看作垂直平分线(互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分)；
(3)折痕可以看作角平分线(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等).
常用方法：找到或构造直角三角形，运用勾股定理列方程求解.
针对训练
1.把一个矩形纸带按如图所示的方式折叠，MN为折痕,AM 与CN 交于点 P.若∠PMN=64°,则∠APC 的度数为 °.
2.如图所示,有一张矩形纸片 ABCD,AB=8,AD=6.现折叠该纸片，使得边AD与对角线DB 重合,折痕为 DG,点 A 落在点 F 处,则AG= .
3.(2024·河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB 在x 轴上,点 A 的坐标为(-2,0),点 E在边CD 上.将△BCE 沿BE折叠，点C 落在点 F 处.若点 F 的坐标为(0，6),则点 E 的坐标为 .
4.如图,在 ABCD中,AB=4 ,BC=10,∠A=45°,E 是边 AD 上一动点,将△AEB 沿直线BE 折叠,得到△FEB,BF 与 AD 相交于点M.当直线 BF与 ABCD的一边所在直线垂直时，DM的长为 .
5.在综合与实践活动课上，老师让同学们以“用折纸做60°，30°，15°的角”为主题开展数学活动.如图，某小组准备了一张正方形纸片ABCD，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕EF；展开后再沿 BG折叠，使点 A 的对应点 A'正好落在 EF上;延长GA',与CD交于点 M，连接 BM.这个小组得到以下结论：
①∠A'BC=30°;②∠A'GD=60°;③∠BA'P=15°;④∠A'BM=15°;⑤∠GMD=30°.其中正确的是 (填序号).
6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的边OB 在x轴上，OA 在y轴上，顶点C的坐标是(--3，4)，将矩形沿对角线 AB 进行翻折，使点C落在点P 的位置，BP 交 y轴于点 Q，则点Q的坐标是 ( )
A.(0,
D.(0,
7.如图,在矩形ABCD中,AD>AB,点 E,F分别在边BC,AB上,将△ABE沿AE 折叠,使点 B 落在边 AD 上的点 B'处；展开后将△BEF 沿 EF 折叠,使点 B 落在 AE上的点 G处.若DE=EF,CE=2,则AD的长为 ( )
D.6
类型2 最值问题
【例3】 如图，正方形ABCD的边长为4,E 为 BC上的一点,BE=1,F为AB 的中点，P为 AC 上的一个动点,求 PF+PE的最小值.
【思路点拨】 (1)先确定点 P 的位置：作点E关于AC 的对称点E',连接 FE',交 AC 于点P,则点 P 即为所求;(2)求 E'F 的长:将 E'F 放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出E'F的长，即求出了 PF+PE的最小值.
方法指导
求线段和的最小值时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接，则其与直线的交点即为所求动点的位置，所连接的线段长即为所求最小值.
针对训练
8.如图,在 ABCD中,∠A=120°,BC=4,点 E在边AB上,连接ED,EC,以EC,ED为邻边作□EDFC,连接EF,则 EF的最小值为 ( )
A.4
B.2
9.(2024·广安)如图,在 ABCD中,AB=4,AD=5,∠ABC=30°,M为直线BC 上一动点,则MA+MD 的最小值为 .
如图,在边长为4的正方形 ABCD中,E,F分别是边 BC,CD上的动点,且 BE=CF,连接BF,DE,则 BF+DE的最小值为 .
【例1】 5
【例2】 解:猜想:∠MBN=30°.证明:连接AN.由折叠可知,BN=AB,∠ABM=∠MBN,直线EF是AB的垂直平分线.∵点 N在EF上,∴AN=BN.∴△ABN是等边三角形.∴∠ABN=60°.∴∠MBN
【变式】
【例3】 解:作点 E关于直线AC 的对称点E'(易知点 E'在CD上),连接E'F,交AC于点P,连接PE,则 此时P 即为所求的使PF+PE的值最小的点.∵正方形ABCD的边长为4,BE=1,F为AB的中点, 2,CE=CB-BE=3.∴CE'=CE=3.过点 F作FG⊥CD于点G,则 ∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠BCD=∠FGC=90°.∴四边形 FBCG是矩形.∴CG=BF=2,FG=BC=4. ∴在 Rt△E'FG 中, 的最小值为
针对训练
1.52 2.3 3.(3,10) 4.2或6 5.①②④⑤ 6. C 7. C 8. D9. 10.4