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湘教版2024—2025学年八年级下册期末模拟强化提升卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列曲线中能表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在矩形中，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，若要知道的面积，则需要知道（ ）
A．的长 B．矩形的面积
C．的面积 D．的度数
3．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末（上端），（绳索从木柱上端垂下后）委地（堆在地面）三尺．引索却（退）行，去本（木柱底端）八尺而索尽．问索长几何？”设绳索长为x尺，则（ ）
A．（x﹣3）2+82＝x2 B．（x﹣3）2+x2＝82
C．x2+82＝（x+3）2 D．x2+（x+3）2＝82
4．沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的对角线长为( )
A． B． C．3 D．5
5．均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的( )
A． B． C． D．
6．若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A． B．5 C．5或7 D．5或
7．已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知三角形的三边长a，b，c满足 ，则该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
9．在下列命题中，正确的是 ( )
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
10．如图，AD是 的角平分线， ，垂足为E， 交ED的延长线于点F，若DE＝DF，AE＝2BF．下列四个结论：①BC平分 ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，连接，与分别交于点，连接如果，那么的周长为 ．
12．将函数的图象向下平移2个单位，得到的图象的函数表达式是 ．
13．若一个多边形的内角和等于其外角和，则这个多边形的边数是 ．
14．函数，中自变量的取值范围是 ．
15．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
16．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．下图是某汽车行驶的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系图，观察图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）汽车在前16分钟内的平均速度是 千米/分钟；
（2）汽车在中途停留的时间为 分钟；
（3）直接写出S与t的函数关系式．
18．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图：
（1）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）作出以点A旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）点C2的坐标为 .
19．如图，在中，于点D，BO平分，交CO于点O，，交AB于点E，连接CE．
（1）求证：；
（2）求证：CE平分；
（3）若，请直接写出OB的长度．
20．我市某电器公司准备购进A，B两种型号的设备，经计算，购进3台A型设备和2台B型设备需6.6万元；购进1台A型设备和3台B型设备需5.7万元．
（1）求A，B两种设备的进价；
（2）该公司欲购进A，B两种设备共10台，若A型设备每台售价1.5万元，B型设备每台售价2万元，请求出所获利润W（万元）与购买A型设备的数量a（台）之间函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若这批A型设备的数量不低于B型设备的数量，将（2）中的最大利润全部用来购买甲和乙两种空调赠送给某中学．已知甲种空调4000元/台，乙种空调6000元/台．请直接写出有几种购买空调的方案．
21．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（-，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x (时)的函数图象如图所示．
（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式．
（2）求乙组加工零件总量a的值．
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
23．在矩形中，，对角线相交于点，过点作分别交射线与射线于点和点，连接．
（1）如图，求证：四边形是菱形；
（2）当点分别在边和上时，如果设，菱形的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）如果是等腰三角形，直接写出的长度．
24．如图，在中，，，，作菱形，使点D，E，F分别在，，上．点P在线段上，点R在线段上，且，交于点Q．
（1）求菱形的边长．
（2）求证：四边形是平行四边形．
（3）当的邻边之比为时，求的长．
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湘教版2024—2025学年八年级下册期末模拟强化提升卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列曲线中能表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示y是x的函数；
B、在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示y是x的函数；
C、同理可判断求解；
D、在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数.
故答案为：D．
【分析】根据函数定义“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数，其中x时自变量.”可知：在自变量的取值范围内，有且只有一个值与之对应，从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，观察这条直线与图象的交点的个数即可判断求解．
2．如图，在矩形中，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，若要知道的面积，则需要知道（ ）
A．的长 B．矩形的面积
C．的面积 D．的度数
【答案】B
【解析】【解答】解：过点作FM∥，交的延长线于M，交的延长线于点，连接，
∴∠FMD=∠GAD，
设，，
∵平分，
∴∠FAD=∠GAD，
∴∠FAD=∠FMD，
∴，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，则，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】过点作FM∥，交的延长线于M，交的延长线于点，连接，由平行线的性质可得∠FMD=∠GAD，设，，由角平分线的性质可得∠FAD=∠FMD，由等角对等边得，根据等腰三角形的三线合一可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，根据同底等高的两个三角形的面积相等可得，由此计算即可求解．
3．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末（上端），（绳索从木柱上端垂下后）委地（堆在地面）三尺．引索却（退）行，去本（木柱底端）八尺而索尽．问索长几何？”设绳索长为x尺，则（ ）
A．（x﹣3）2+82＝x2 B．（x﹣3）2+x2＝82
C．x2+82＝（x+3）2 D．x2+（x+3）2＝82
【答案】A
【解析】【解答】解：设绳索长为x尺，则立木长为（x-3）尺，
在Rt△中，由勾股定理得，（x-3）2＋82＝x2，
故选：A．
【分析】设绳索长为x尺，则立木长为（x-3）尺，利用勾股定理可得（x-3）2＋82＝x2，从而得解.
4．沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的对角线长为( )
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：由图可知，①和②为等腰直角三角形，可知直角边为1，
∴ 长方形的长为2，宽为1，
由勾股定理可得对角线长为.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可得①和②为等腰直角三角形，进而得到长方形的长和宽，再根据勾股定理即可求得对角线的长.
5．均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据图象可知，h先均匀上升，后以更慢的速度匀速上升，
A h应为匀速上升，故A不符合题意；
B h先均匀上升，后以更快的速度匀速上升，故B不符合题意；
C 先以越来越快的速度上升，后以越来越慢的速度上升，故C不符合题意；
D h先均匀上升，后以更慢的速度匀速上升，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据函数图象获取信息后再逐一分析各容器，即可求得.
6．若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A． B．5 C．5或7 D．5或
【答案】B
【解析】【解答】解：∵3、4、a为勾股数，
当4为直角边时，
∴a==5，
当4为斜边时，
∴a==，不是整数，舍去，
故答案为：B．
【分析】分类讨论，再利用勾股定理求解即可。
7．已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：一次函数的函数值随的增大而增大
∴k＞0，
∴一次函数经过一、三象限，
∵b=2＞0，
一次函数的图象经过一、二、三象限.
故答案为：A．
【分析】先根据一次函数随的增大而增大，判断出，可得一次函数经过一、三象限，再根据即可得出一次函数图象经过一、二、三象限．
8．已知三角形的三边长a，b，c满足 ，则该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a=6，b=8，c=10，
∵62+82=102，
∴该三角形的形状为直角三角形.
故答案为：D.
【分析】先根据非负数的性质求出abc的值，再根据勾股定理逆定理判断即可.
9．在下列命题中，正确的是 ( )
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【解析】【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项， 从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；有一组邻边相等的平行四 边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
【解答】A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；
B、有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；
C、符合菱形定义；
D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别．
10．如图，AD是 的角平分线， ，垂足为E， 交ED的延长线于点F，若DE＝DF，AE＝2BF．下列四个结论：①BC平分 ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BA于点G，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AC，
∴DE=DG，
∵DE=DF，
∴DF=DG，
∴BC平分∠ABF，故①正确；
∴∠ABC＝∠FBC，
∵BF∥AC，
∴∠C＝∠FBC，
∴∠ABC＝∠C，
∴AC＝AB，
∵AC＝AB，AD是△ABC的角平分线，
∴DB＝DC，AD⊥BC，故③正确；
当∠CAB是直角，则△BDF，△AED是等腰直角三角形，
∴AE＝DE，DF＝BF，
∴BF＝AE，
与AE＝2BF矛盾，故∠CAB≠90°，
∴∠CAB＋∠AED≠180°，
∴EF与AB不平行，故②错误；
在△CDE和△BDF中，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴BF＝CE，
∵AE＝2BF，
∴AB＝AC＝3BF，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：C.
【分析】过点D作DG⊥BA于点G，利用角平分线的性质可证得DE=DG，可推出DF=DG，再利用角平分线的判定定理可证得BC平分∠ABF，可对①作出判断；再利用角平分线的定义及平行线的性质可推出∠ABC＝∠C，可得到AC=AB，再利用等腰三角形的三线合一的性质可证得AD⊥BC，可对③作出判断；当∠CAB是直角，则△BDF，△AED是等腰直角三角形，可推出BF＝AE，与AE＝2BF矛盾，故∠CAB≠90°，不能证明EF∥AB，可对②作出判断；利用ASA证明△CDE≌△BDF，利用全等三角形的性质可得到BF=CE，由AE=2BF，可证得AB=3BF，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，连接，与分别交于点，连接如果，那么的周长为 ．
【答案】7
【解析】【解答】解： ∵，AB=3，AC=5，
∴BC=4，
由作图痕迹知：MN垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴AE+BE =CE +BE=BC =4，
∴△ABE的周长为AB+BE+AE=AB+BC=3+4=7.
故答案为：7.
【分析】由勾股定理求出BC=4，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE，从而求出AE+BE =CE +BE=BC =4，继而求出△ABE的周长.
12．将函数的图象向下平移2个单位，得到的图象的函数表达式是 ．
【答案】y=-3x+1
【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数
的图象向下平移2个单位后所得直线的解析式为：
，即y=-3x+1．
故答案为：y=-3x+1．
【分析】利用函数解析式平移的原则：“上加下减，左加右减”求解即可。
13．若一个多边形的内角和等于其外角和，则这个多边形的边数是 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意得，（n-2）×180°=360°，
解得：n=4，
故答案为：4．
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和定理及外角和定理得出求解即可。熟知多边形内角和定理：n边形内角和为（n-2）×180°；任意多边形的外角和为360°是解决本题的关键。
14．函数，中自变量的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得，3x-2≥0且3x-2≠0即：
解得：，
故答案为：．
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，保证分母不为0，且被开方数大于等于0，即：被开方数大于0即可.
15．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】 解：点关于原点对称的点的坐标是（-4，1）
故答案为：（-4，1）
【分析】关于原点对称的点的纵横坐标都互为相反数，据此计算即可.
16．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．
【答案】4
【解析】【解答】解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：4．
【分析】根据图形和正方形的性质，由AAS得到△ABC≌△BDE，得到对应边BC=ED，根据勾股定理得到S1+S2+S3+S4的值.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．下图是某汽车行驶的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系图，观察图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）汽车在前16分钟内的平均速度是 千米/分钟；
（2）汽车在中途停留的时间为 分钟；
（3）直接写出S与t的函数关系式．
【答案】（1）1.5
（2）14
（3）解：当时，设函数关系式为，
过点的坐标为，
，
解得，
所以，第一段函数关系式为；
当时，汽车在中途停留，
所以，函数关系式为；
当时，设函数关系式为，
过，，
，
解得，
所以，函数关系式为．
所以，函数关系式为．
【解析】【解答】解：（1） 汽车在前16分钟内的平均速度是24÷16=1.5千米/分钟；
故答案为：1.5；
（2） 汽车在中途停留的时间为：30-16=14分钟；
故答案为：14；
【分析】（1）由图象可得汽车16分钟共行驶了24千米，从而根据速度=路程除以时间可算出答案；
（2）由图象可得汽车16至30分钟的时候行驶的路程为0，据此可求出汽车在中途停留的时间；
（3）整个函数分为三段，第一段0≤t≤16，s是t的正比例函数，利用待定系数法可求函数解析式；第二段16＜t≤30，汽车在中途停留，是常值函数；第三段30＜t≤60，s是t的一次函数，利用待定系数法求解可得函数解析式.
18．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图：
（1）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）作出以点A旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）点C2的坐标为 .
【答案】（1）解：由题意可得，根据中心对称的性质找到点、、，连接、、，如图所示，
（2）解：如图，三角形如图所示，
（3）
【解析】【分析】（1）由题意根据中心对称的性质画图即可；
（2）由题意根据旋转的性质画图即可；
（3）由（2）中的作图可求解.
19．如图，在中，于点D，BO平分，交CO于点O，，交AB于点E，连接CE．
（1）求证：；
（2）求证：CE平分；
（3）若，请直接写出OB的长度．
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90° ∵CD⊥AB于点D，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD； ∵OE//AC，∴∠A=∠OEB， ∴∠OEB=∠BCD=∠BCO， ∵BO平分，∴∠EBO=∠CBO，在△BOE与△BOC中，∴△BOE≌△BOC（AAS）．
（2）解：∵△BOE≌△BOC∴OC=OE ∴∠OCE=∠OEC， ∵OE//AC，∴∠ACE=∠OEC， ∴∠ACE=∠OCE，即CE平分∠ACD．
（3）解：∵△BOE≌△BOC∴BE=BC=10，OC=OE∵BD=6，∴DE=BE-BD=4， ∴∵OC=OE∴∠OCE=∠OEC，∵∴，解得：OD=3，∴．
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明△BOE≌△BOC即可；
（2）根据全等的性质可得∠OCE=∠OEC，利用平行线的性质可得∠ACE=∠OEC，所以∠ACE=∠OCE，即可得到CE平分∠ACD；
（3）利用勾股定理可得，再求出OD的长，最后利用勾股定理求出BO的长即可。
20．我市某电器公司准备购进A，B两种型号的设备，经计算，购进3台A型设备和2台B型设备需6.6万元；购进1台A型设备和3台B型设备需5.7万元．
（1）求A，B两种设备的进价；
（2）该公司欲购进A，B两种设备共10台，若A型设备每台售价1.5万元，B型设备每台售价2万元，请求出所获利润W（万元）与购买A型设备的数量a（台）之间函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若这批A型设备的数量不低于B型设备的数量，将（2）中的最大利润全部用来购买甲和乙两种空调赠送给某中学．已知甲种空调4000元/台，乙种空调6000元/台．请直接写出有几种购买空调的方案．
【答案】（1）解：设A型设备进价每台x万元，B型设备进价每台y万元，得：，解得，
答：A型设备进价每台1.2万元，B型设备进价每台1.5万元．
（2）解：根据题意A型设备a台，则B型设备（10-a）台，A型设备每台利润：万元，B型设备每台利润：万元，总利润：
（3）解：由题意可得：，解得因为总利润，总利润W随着A型设备的数量a的增大而减小，∴当时，W取得最大值，万元，设用最大利润购买甲种空调m台，乙种空调n台，得：，整理得：，且m和n都是正整数，故方案有：①购买甲种空调1台，乙种空调6台，②购买甲种空调4台，乙种空调4台，③购买甲种空调7台，乙种空调2台，∴共有三种购买方案．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求解即可；
（2）利用利润公式计算求解即可；
（3）先求出 ， 再求解即可。
21．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（-，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： 令x=0，则y=2，令y=0，则x=-1，则点A、B的坐标分别为： (0，2)、(-1，0) ，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠HCB+∠CBH=90°， 2∠CBH+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
∠CHB=∠BOA=90°，BC=BA，
∴△CHB≌△BOA ( AAS )，
∴BH=OA=2，CH=OB，则点C ( -3，1 )，
将点A、C的坐标代入一次函数表达式： y=mx+b得：，解得：，
故直线AC的表达式为：y=x+2.
（2）证明：如图，过点C作CH⊥x轴于点H，DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于点G，
∵AC=AD，AB⊥CB，
∴BC=BD，
∵∠CBH=∠FBD，
∴△BCH≌△BDF，
∴BF=BH，
∵C（-3，1），
∴OH=3，
∵B（-1，0），
∴OB=1， BF=BH=2，
∴OF=OB=1，
∴DG=OB=1，
∵∠OEB=∠DEG，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE=DE；
（3）解：设直线BC的解析式为 ，
把点C（-3，1），B（-1，0），代入，得：
，解得： ，
∴直线BC的表达式为：，
将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝ ，
∵直线AC的表达式为：y＝x+2，
∴点M（-6，0），
∴S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，
∴S△BPN＝S△BCM＝＝NB×＝NB，
解得：NB＝，
故点N（-，0）或（，0）．
【解析】【分析】（1）利用AAS证明即可；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H，DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于点G，根据等腰三角形的性质可得BC=BD，利用AAS证明△BCH≌△BDF，得到BF=BH，根据点B、C的坐标可得OH=3，OB=1，BF=BH=2，则OF=OB=1，DG=OB=1， 利用AAS证明△BOE≌△DGE，据此可得结论；
（3）利用待定系数法求出直线BC的解析式，将x=-代入求出k的值，易得M（-6，0），根据S△BPN＝S△BCM结合三角形的面积公式可求出NB的值，据此可得点N的坐标.
22．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x (时)的函数图象如图所示．
（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式．
（2）求乙组加工零件总量a的值．
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
【答案】（1）解：设甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为，
根据题意，得，
解得，
所以，甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为：.
（2）解：当时，．
∵更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍，
∴，
解得．
（3）解：乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为
，
当0≤x≤2时，．
解得（舍去）．
当2解得（舍去）．
当2.8解得．
所以，经过3小时恰好装满第1箱．
当3解得（舍去）．
当4.8解得．
因为5－3=2，
所以，再经过2小时恰好装满第2箱．
【解析】【分析】（1）先求出 6k=360， 再计算求解即可；
（2）根据题意求出 ， 即可作答；
（3）分类讨论，列方程计算求解即可。
23．在矩形中，，对角线相交于点，过点作分别交射线与射线于点和点，连接．
（1）如图，求证：四边形是菱形；
（2）当点分别在边和上时，如果设，菱形的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）如果是等腰三角形，直接写出的长度．
【答案】（1）证明：∵矩形，
∴与互相平分，且，
∴，
在中，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵菱形，
∴，设，则，
在中，，
∴，得，即，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，即，
∵，且，
∴，
∴，
∴关于的函数关系式为：．
（3）或
【解析】【解答】解：（3）①如下图所示：
当点E在线段AD上时，ED=EO，则Rt△CED≌Rt△CEO (HL)，
∴CD=CO=AO=，
∴；
如下图所示：
当点E在线段AD的延长线上时，DE=DO，
∵DE=DO=OC，EC=CE，
∴Rt△ECD≌Rt△CEO(HL)，
∴CD=EO，
∵∠DAC=∠EAO，∠ADC=∠AOE=90°，
∴△ADC≌△AOE (AAS) ，
∴AE=AC，
∵EO垂直平分线段AC，
∴EA=EC，
∴EA=EC=AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AD=CD·tan30°=1，
综上所述：AD的长度为3或1.
【分析】（1）根据题意先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质，菱形的判定方法证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出 ， 再利用矩形的性质求出 ，， 最后利用菱形的面积公式计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用勾股定理和全等三角形的判定与性质证明求解即可。
24．如图，在中，，，，作菱形，使点D，E，F分别在，，上．点P在线段上，点R在线段上，且，交于点Q．
（1）求菱形的边长．
（2）求证：四边形是平行四边形．
（3）当的邻边之比为时，求的长．
【答案】（1）解：在菱形中，，，，
在中，，，，
∴，，
∴，
∴，即菱形的边长为2
（2）证明：∵在中，，，
∴，
由（1）得：，
∴是等边三角形，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设与交点为G，如图，
∴
，
由（1）得：菱形的边长为2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：由（2）得：，，
∵，，，
∴，
由（1）得：菱形的边长为2，
∴，
∵的邻边之比为，
∴有两种情况．
ⅰ）当时，，解得．
ⅱ）当时，，解得．
∴的长为或．
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得四边相等，同时可知AD∥EF，DE∥AF，利用平行线的性质可证得∠BED=∠C=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可证得，再证明AB=AD=3，可求出AD的长.
（2）利用三角形的内角和定理可求出∠A的度数，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ADF是等边三角形，可推出∠DFQ=120°；设DP=x，利用勾股定理可表示出ER，PF的长；再证明∠FQP=∠FPQ=30°，可证得FQ=PF，可表示出PF的长，同时可证得EF⊥PQ；设FE与PQ的交点为G，可表示出FG的长，利用勾股定理可表示出PQ的长；利用菱形的边长为2，利用勾股定理求出CE的长，可表示出CR的长，由此可证得PQ=CR，利用有一组对平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（3）由（2）可表示出FQ，CR的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AC的长；同时可表示出CQ的长，根据的邻边之比为，分情况讨论：当时；当时；分别可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合题意的PD的长.
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