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【单选题强化训练·50道必刷题】人教版八年级下册期末数学卷
1．下列是勾股数的一组是（ ）
A．4，5，6 B．1，， C．5，12，13 D．1，，
2．为了迎接中考体育科目考试，我校初三学生积极参加体育锻炼．表格是初三某班一周参加体育锻炼的时间统计，则该班学生一周锻炼时间的众数、中位数（单位：h）分别是（ ）
时间/h 6 7 8 9
人数 2 14 18 6
A．18，8 B．8，7 C．8，8 D．8，7.5
3．如图，图中的是将矩形沿对角线折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）对．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．正方形一边上任意一点到这个正方形两条对角线的距离之和等于对角线的（ ）
A． B． C． D．2倍
5．如图，在中，的平分线交于点E，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
7．若一组数据的平均数是2，方差是2，则另一组数据的平均数和方差分别是（ ）
A．2，2 B．2，18 C．4，6 D．4，18
8．下列说法正确的是( )
A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
9．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，．若点，满足以下条件中的一个：①；②；③；④，．则能判定四边形是平行四边形的条件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．对任意实数a，b，定义新运算：，关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．该函数的图象不经过第一象限
C．该函数的图象与x轴交于点（3，0）
D．若，则
11．在“利用直角三角形作矩形”的综合实践课上，嘉嘉和明明分别利用尺规作出如下示意图．关于他们的作图方法，正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，明明错误 B．嘉嘉错误，明明正确
C．两人都正确 D．两人都错误
12．如图，矩形的对角线，则的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
13．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
14．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为( )
A． B．
C． D．
15．已知下列四个命题：其中真命题的个数是（ ）
（1）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（2）对角线垂直相等的四边形是菱形；
（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
（4）四边都相等的四边形是正方形．
A．1 B．2 C．3 D．0
16．已知是斜边长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，，依此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是（ ）．
A． B． C． D．
17．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点，点，点，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，，矩形ABCD的顶点A，~B分别在边OM，ON上，当在边ON上运动时，随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中，运动过程中，点到点的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，的顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
20．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，菱形在直角坐标系中，点C的坐标为，对角线，反比例函数经过点A，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C． D．32
22．如图，在中，，于F，交于E，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在中，，是斜边上的高，为角平分线交于，交于，，交于，过作于，连接，给出以下结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
24．如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（ ）
A．24度 B．25度 C．40度 D．65度
25．如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
26．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
27．若，则x，y的值为（ ）
A．1，4 B．2，0 C．0，2 D．1，1
28．如图，已知长方体的长，宽，高．一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面去处觅食．如果它走过的路程最短，它可能经过（ ）
A．正面→右侧面 B．正面→上面
C．左侧面→上面 D．正面→下面
29．如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）
A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2
30．如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
31．如图，四边形是菱形，连接交于点O，过点A作，交于点E，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
32．如图，四边形是平行四边形，于点E，将沿射线方向平移，点E的对应点为F，若四边形是矩形，则平移的距离等于（ ）
A． B． C． D．
33．勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一，如图，，以的各边为边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S1，左下不重叠部分的面积记作S2，若，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
34．如图，在中，点的坐标分别为、、，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
35．如图，在中，，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是（ ）
A． B． C． D．
36．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
37．如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米．
A．8 B． C． D．
38． 一组数据：，，，，的平均数是，方差是，则( )
A． B． C． D．
39．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．5
40．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于两点，一束光从点发出，射向轴上的点，经点反射后经过上一点，则点的坐标是( )
A． B． C． D．
41． 如图， 在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=3， AC=4， P为边BC上一动点， PE⊥AB于E， PF⊥AC于F， M为EF的中点， 则PM的最小值为 ( )
A．2.5 B．2.4 C．1.3 D．1.2
42．如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
43． 如图，中，，，，是的两条高，连接，分别取，的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
44．如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③
45．如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
46．如图所示，正方形ABCD的面积为16， 是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PB＋PE的和最小，则这个最小值是（ ）
A． B． C． D．
47．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，CE⊥AD，点F在AB上，连接EF，EF＝CE，若BC＝6，CD＝5，则线段BF的长为( )
A． B． C． D．
48．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿E折叠，若∠B'FB＝70°，则∠AEF＝（ ）
A．35° B．40° C．45° D．60°
49．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
50．如图，AC为边长为2 的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（ ）
A．2 B．4+2 C．1+ D．
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【单选题强化训练·50道必刷题】人教版八年级下册期末数学卷
1．下列是勾股数的一组是（ ）
A．4，5，6 B．1，， C．5，12，13 D．1，，
【答案】C
2．为了迎接中考体育科目考试，我校初三学生积极参加体育锻炼．表格是初三某班一周参加体育锻炼的时间统计，则该班学生一周锻炼时间的众数、中位数（单位：h）分别是（ ）
时间/h 6 7 8 9
人数 2 14 18 6
A．18，8 B．8，7 C．8，8 D．8，7.5
【答案】C
3．如图，图中的是将矩形沿对角线折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）对．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
4．正方形一边上任意一点到这个正方形两条对角线的距离之和等于对角线的（ ）
A． B． C． D．2倍
【答案】B
5．如图，在中，的平分线交于点E，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【答案】C
7．若一组数据的平均数是2，方差是2，则另一组数据的平均数和方差分别是（ ）
A．2，2 B．2，18 C．4，6 D．4，18
【答案】D
8．下列说法正确的是( )
A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】C
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，A选项错误；
B、当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，B选项错误；
C、由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，C选项正确；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，D选项错误.
故答案为：C．
【分析】A、根据正方形的判定方法进行判断即可；
B、根据平行四边形的判定方法判断即可；
C、根据平行四边形的判定方法判断即可；
D、根据菱形的判定方法进行判断即可。
9．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，．若点，满足以下条件中的一个：①；②；③；④，．则能判定四边形是平行四边形的条件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
10．对任意实数a，b，定义新运算：，关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．该函数的图象不经过第一象限
C．该函数的图象与x轴交于点（3，0）
D．若，则
【答案】D
11．在“利用直角三角形作矩形”的综合实践课上，嘉嘉和明明分别利用尺规作出如下示意图．关于他们的作图方法，正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，明明错误 B．嘉嘉错误，明明正确
C．两人都正确 D．两人都错误
【答案】C
【解析】【解答】解：两人都正确，理由如下：
嘉嘉：由作图可知，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形，故嘉嘉的作图正确；
明明：由作图可知，，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形，故明明的作图正确；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的判定及作图步骤和矩形的判定分别进行证明即可.
12．如图，矩形的对角线，则的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，
，
，
，
为等边三角形，
，
故答案为 ：A．
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质即可得．
13．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
14．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
15．已知下列四个命题：其中真命题的个数是（ ）
（1）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（2）对角线垂直相等的四边形是菱形；
（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
（4）四边都相等的四边形是正方形．
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
16．已知是斜边长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，，依此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
17．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点，点，点，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
18．如图，，矩形ABCD的顶点A，~B分别在边OM，ON上，当在边ON上运动时，随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中，运动过程中，点到点的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时， AB= 2，BC= 1，
的最大值为：．
故答案为：A
【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时， AB= 2，BC= 1，则，再根据勾定理即可求出答案.
19．如图，的顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
20．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】 所以A选项不符合题意；
B.3与 不能合并，所以B选项不符合题意；
所以C选项不符合题意；
所以D选项符合题意.
故答案为： D.
【分析】根据二次根式的性质对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断.
21．如图，菱形在直角坐标系中，点C的坐标为，对角线，反比例函数经过点A，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C． D．32
【答案】B
22．如图，在中，，于F，交于E，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
23．如图，在中，，是斜边上的高，为角平分线交于，交于，，交于，过作于，连接，给出以下结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】A
24．如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（ ）
A．24度 B．25度 C．40度 D．65度
【答案】B
25．如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
26．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
【答案】C
27．若，则x，y的值为（ ）
A．1，4 B．2，0 C．0，2 D．1，1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，得，
解得：，
将代入②，得，
解得：，
∴，，
故选答案为：D．
【分析】根据绝对值的非负性以及算术平方根的非负性列出方程组求解．
28．如图，已知长方体的长，宽，高．一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面去处觅食．如果它走过的路程最短，它可能经过（ ）
A．正面→右侧面 B．正面→上面
C．左侧面→上面 D．正面→下面
【答案】B
29．如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）
A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2
【答案】B
30．如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
31．如图，四边形是菱形，连接交于点O，过点A作，交于点E，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
32．如图，四边形是平行四边形，于点E，将沿射线方向平移，点E的对应点为F，若四边形是矩形，则平移的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
33．勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一，如图，，以的各边为边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S1，左下不重叠部分的面积记作S2，若，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
34．如图，在中，点的坐标分别为、、，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过作轴于，如图，
∵点的坐标分别为、，
∴，，
∴由勾股定理得，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，
同理，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】过作轴于，先求出，，利用勾股定理求出AB的长，再求出，，再根据四边形是平行四边形，可得，，最后利用平行四边形的周长公式列出算式求解即可.
35．如图，在中，，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
36．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
37．如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米．
A．8 B． C． D．
【答案】D
38． 一组数据：，，，，的平均数是，方差是，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 数据：，，，，的平均数是，
∴（++++）=3，则x+y=6，
∵ 数据：，，，，的方差是，
∴×[(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(x-3)2+(y-3)2]=0.8，
∴(x-3)2+(y-3)2=2，
∴（x-3+y-3）2-2(x-3)(y-3)=2，
∴-2（xy-3x-3y+9）=2，
∴-2（xy-3×6+9）=2，
解得xy=8.
故答案为：C.
【分析】根据平均数求出x+y=6，根据方程公式可求(x-3)2+(y-3)2=2，即得-2（xy-3x-3y+9）=2，然后整体代入计算即可.
39．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
40．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于两点，一束光从点发出，射向轴上的点，经点反射后经过上一点，则点的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】B
41． 如图， 在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=3， AC=4， P为边BC上一动点， PE⊥AB于E， PF⊥AC于F， M为EF的中点， 则PM的最小值为 ( )
A．2.5 B．2.4 C．1.3 D．1.2
【答案】D
【解析】【解答】解： 连结AP，如图
在△ABC中， ∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴MP在AP上，
∴EF=AP，
∵M是EF的中点，
当AP⊥BC时，AP最短，
∴PM最短，
∴S△ABC，
∴当AP最短时，AP=2.4，
∴PM的最小值，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求得BC的长，再判定四边形AFPE是矩形，根据矩形性质说明EF=AP，从而可知MP与AP在同一直线上，再利用垂线段最短说明AP⊥BC时AP最短，也就是PM最短，并求出AP最短求MP的长.
42．如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】【解答】解：①如图，过作于，则四边形是矩形，
∴∠EFD=∠AFD=90°，
∴DF＜DE，
∵AB=a，BC=b，
∴DF=AC=AB+BC=a+b，
∴，结论正确，符合题意；
②∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
在△ABE中，，
∴，结论正确，符合题意；
③由②可知：△BDE是等腰Rt△，
∴由勾股定理得：，即，
∴，结论正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】①如图，过作于，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，则，在Rt△DEF中，由大角对大边可得：，则可得；
②由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理和三角形三边关系定理"三角形的任意两边之和大于第三边"可得，则可得；
③由勾股定理得可求解.
43． 如图，中，，，，是的两条高，连接，分别取，的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接EM，DM，如图，
∵ ∠A=60°，BD是高，AB=4，
∴ ∠ABD=30°，
∴ AD=2，BD=，
∵ AC=6，
∴ CD=AC-AD=4，
∴ 在Rt△BCD中，BC=，
∵ M为BC的中点，
∴ DM=.
同理可得：EM=DM=.
∵ EM=BM，DM=CM，
∴ ∠EBM=∠BEM，∠DCM=∠CDM，
∵ ∠A=60°，
∴ ∠EBM+∠DCM=120°，
即∠BEM+∠CDM=120°，
∴ ∠DME=180°-∠EMB-∠CMD=180°-（180°-∠EBM-∠BEM）-（180°-∠DCM-∠CDM）=60°，
∴ △DEM为等边三角形，
∴ DE=EM=DM，
∵ N为DE的中点，
∴ DN==，MN⊥DE，
∴ MN=.
故答案为：C.
【分析】根据30° 的直角三角形的性质和勾股定理可求得AD，BD，再根据勾股定理求得BC，根据直角三角形斜边上的中线的性质可得EM=DM=BM=CM=，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理推出∠DME为60°，根据等边三角形的判定与性质可得DN，再利用勾股定理即可求得MN.
44．如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
45．如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
46．如图所示，正方形ABCD的面积为16， 是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PB＋PE的和最小，则这个最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接BD，交AC于O，
∵正方形ABCD，
∴OD=OB，AC⊥BD，
∴D和B关于AC对称，
则DE交于AC的点是P点，此时PB+PE最小，
∵在AC上取任何一点（如Q点），QB+QE都大于PB+PE即DE的长，
∴此时PB+PE最小，
此时PB+PE=DE，
∵正方形的面积是16， 是等边三角形，
∴BE=AB= ，
即最小值是4．
故答案为：C．
【分析】先求出D和B关于AC对称，再根据正方形的面积计算求解即可。
47．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，CE⊥AD，点F在AB上，连接EF，EF＝CE，若BC＝6，CD＝5，则线段BF的长为( )
A． B． C． D．
【答案】A
48．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿E折叠，若∠B'FB＝70°，则∠AEF＝（ ）
A．35° B．40° C．45° D．60°
【答案】A
49．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴S△ABE＝S△BCE，所以①正确；
∵∠BAC＝90°，
∴∠AFC+∠ACF＝90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DGC+∠GCD＝90°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠GCD，
∴∠AFC＝∠DGC，
∵∠AGF＝∠DGC，
∴∠AFC＝∠AGF，所以②正确；
连接DE，如图，
∵DE为Rt△ADC的斜边AC的中线，
∴DE＝EC＝AE，
∴∠EDC＝∠ACD＝2∠HCD，
∵∠EDC＝∠EBD+∠DEB，
∴只有当DB＝DE时，∠EBD＝∠DEB，此时∠HCD＝∠EBD，
∵条件中不能确定AC＝2BD，
∴不能确定DB＝DE，
∴不能确定∠HCD＝EBD，
∴HB＝HC不成立，所以③错误；
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠BAD＝2∠ACF，所以④正确.
故答案为：B.
【分析】根据中线的概念可得AE＝CE， 然后根据等底同高的三角形的面积相等可判断①； 根据角平分线的概念可得∠ACF＝∠GCD，由等角的余角相等可得∠AFC＝∠DGC， 由对顶角的性质可得∠AGF＝∠DGC， 据此可判断②；连接DE，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DE＝EC＝AE， 由等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠EDC＝∠ACD＝2∠HCD， 只有当DB＝DE时，∠EBD＝∠DEB，此时∠HCD＝∠EBD， 据此判断③； 根据同角的余角相等可得∠BAD＝∠ACD，由角平分线的概念可得∠ACD=2∠ACF，据此判断④.
50．如图，AC为边长为2 的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（ ）
A．2 B．4+2 C．1+ D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB=CD=AD，
∵∠ABC=60° ，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABM=60°，
∵点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，
∴BM=CN，
在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN (SAS)，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠ABP+∠CBN=60°，
∴∠ABP+∠BAM=60°，
∴∠APB=180°-60°=120°，
∴点P在弧AB上运动，
∴当时， △PAB的面积最大，最大值=，
故选： D.
【分析】根据菱形的性质可以得出AB=CB=CD=AD，再根据等边三角形的性质和判定结合全等三角形的判定即可证明△ABM≌△BCN (SAS)，从而得出∠BAM=∠CBN，进而得出∠ABP+∠CBN=60°，最后推出∠APB的度数，结合已知条件可以判断当时， △PAB的面积最大，最后运用三角形面积公式求解即可.
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