【综合题强化训练·50道必刷题】人教版八年级下册期末数学卷（原卷版 解析版）

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【综合题强化训练·50道必刷题】人教版八年级下册期末数学卷
1．校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质(卫生、口味等)进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7 份样品，对套餐的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表．
甲、乙两家公司套餐得分表
　 1 2 3 4 5 6 7
甲公司套餐
乙公司套餐
甲、乙两家公司套餐得分统计表
平均数 中位数 众数
甲公司套餐 b
乙公司套餐 a c
根据以上信息，请回答下列问题：
（1） ， ， ．
（2）从方差的角度看， 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”）
（3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由．
2．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点在点的左侧．
（1）若抛物线过点，求实数的值；
（2）在（1）的条件下在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点H的坐标．
3．书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额．
4．如图，在三角形中，，分别是与它的邻补角的平分线，于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接交AC于点O，若，求证：四边形是正方形．
5．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2点，D是AC中点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处，连接PC．
（1）写出BP，BD的长；
（2）求证：四边形BCPD是平行四边形．
6．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）先化简，再求值：，其中．
7．如图，直线 与过点 的直线 交于点 ，与x轴交于点B.
（1）求直线 的解析式；
（2）求 的面积；
（3）直接写出当自变量x取何值时，满足 ？
8．为了加强公民的节水意识.某市规定用水收费标准如下.每户每月用水量不超过12时.按照每立方米3.5元收费：超过时，超出部分每立方米按4.5元收费.设每月用水量为，应缴水费为y元.
（1）当月用水量不超过时，y（元）与之间的关系式为　 　；当月用水量超过时，y（元）与之间的关系式为　 　.
（2）若某户某月缴纳水费55.5元，则该户这个月的用水量为多少
9．如图，矩形 中， ＝ ， ＝ ，过对角线 中点 的直线分别交 ， 边于点 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当四边形 是菱形时，求 的长．
10．如图，直线 经过A（-2，0），B（0，2）两点，直线 交 于点C．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）求点C的坐标．
11．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示. 根据图中信息，解答下列问题；
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式.
（2）求出B点坐标.
（3）洋洋爸爸准备 元钱用于洋洋在该游乐场消费，请问选择哪种消费卡划算？
12．如图，四边形ABCD中，BE⊥AC交AD于点G，DF⊥AC于点F，已知AF=CE，AB=CD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如果∠GBC=∠BCD，AG=6，GE=2，求AB的长．
13．已知：如图，在 中，是边上的高线，是边上 的中线，G是的中点，连结，，，.
（1）求的长.
（2）求证：.
14．为了让学生掌握知识更加牢固，某校九年级物理组老师们将物理实验的教学方式由之前的理论教学改进为理论 实践，一段时间后，从九年级随机抽取15名学生，对他们在教学方式改进前后的物理实验成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用 表示，共分成4组：A. ，B. ，C. ，D. ），下面给出部分信息：
教学方式改进前抽取的学生的成绩在C组中的数据为：80，83，85，87，89
教学方式改进后抽取的学生成绩为：70，72，76，82，84，86，86，93，95，90，100，98，88，100，100
教学方式改进前后抽取的学生成绩对比统计表
统计量 改进前 改进后
平均数 88 88
中位数
众数 98
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表 、 、 的值；
（2）根据以上数据，你认为该校九年级学生的物理实验成绩在教学方式改进前好，还是改进后好？请说明理由.（至少写2条理由）；
（3）若该校九年级有300名学生，规定物理实验成绩在90分及以上为优秀，估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数是多少？
15．在某希望实验中学七（8）班的体育课上，体育老师宣布了50米往返“运球”比赛规则，若规定30秒为达标成绩，现对其中一小组学生的成绩记录如下（超过30秒记为正，反之记为负）
人数（人） 2 2 1 1 1 3
成绩（秒） ＋3 －2 0 ＋1 ＋7 －1
（1）请计算这一小组学生的平均成绩.
（2）该小组达标率是多少？
16．如图，已知A及B是正方形ABCD的两个顶点，正方形与x轴相交于点E和点G，与y轴相交于点F和点H.
（1）写出点F、C、G、D的坐标.
（2）图中D点在O点的北偏东的方向上，与O点的距离为.请类似的写出点B、点H分别在O点的什么方向上，以及到O点的距离.
17．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=13cm，D是腰AB上一点，且CD=12cm，BD=5cm．
（1）试说明：△BDC是直角三角形．
（2）求△ABC的周长．
18．计算：
（1）计算：．
（2）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，且．求证：在四边形是矩形．
19．在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，4），以OB为边在y轴的右侧作正三角形OAB.AC⊥y轴，垂足为C.
（1）如图1，求点A的坐标.
（2）点D在线段AC上，点E是直线AB上一动点，连接DE、以DE为边作正三角形DEF（点D，E，F按逆时针排列）
①如图2，当点E与点A重合时，连接OD，BF.若BF=2，求点D的坐标.
②若CD=2，点P是直线DF与直线OA的交点，当OP=时，直接写出点E的坐标.
20．阅读并完成下面问题：
①；
②；
③； …
（1）填空：的倒数为　 　．（n为正整数）的值为　 　．
（2）计算：．
21．某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分.前6名选手的得分如下：
序号项目 1 2 3 4 5 6
笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80
面试成绩/分 90 88 86 90 80 85
根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折和成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）
（1）这6名选手笔试成绩的中位数是　 　分，众数是　 　分.
（2）现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比.
（3）求出其余五名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选.
22． 如图，已知直线与直线交于点.
（1）当为何值时，；
（2）若时，求x的取值范围.
23．在城市创卫工作中为“保护好环境，拒绝冒黑烟”，某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需650万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
24．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，且．
（1）求点A，B的坐标；
（2）将三角形ABC平移，平移后点C的对应点的坐标为，点B的对应点为点D，如图②．求三角形ACD的面积；
（3）是一动点，若三角形PCO的面积等于三角形AOC的面积，求出点P的坐标．
25．某校开展了以“不忘初心，奋斗新时代”为主题的读书活动，校德育处对本校八年级学生九月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了抽样调查，随机抽取八年级部分学生，对他们的“读书量”（单位：本）进行了统计，并将统计结果绘制成了如下统计图：
（1）本次所抽取学生九月份“读书量”的众数为　 　本，中位数为　 　本；
（2）求本次所抽取学生九月份“读书量”的平均数.
26．学校组织学生参加科普知识问答竞赛，每班抽25名同学参加比赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘成统计图，如图所示：
（1）将一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）求出二班竞赛成绩的平均数；
（3）若八一班共有40人，请根据本次调查结果，估计八一班得分在80分以上（含80分）的人数.
27．某工艺品厂草编车间共有16 名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据如下表：
日均生产能力(件) 10 11 12 13 14 16
人数 1 2 6 4 2 1
（1）这16名工人日均生产件数的平均数=　 　件，众数=　 　件，中位数=　 　件；
（2）为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施，如果你是管理者，应选择什么统计量作为日生产件数的定额？
28．某公司要印刷产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．
（1）分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；
（2）印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？
（3）该公司拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印制厂印制宣传材料能多一些？
29．某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写大赛”预赛，各参赛选手的成绩如下：
八（1）班：91，92，93，93，93，94，98，88，98，100
八（2）班：93，93，93，95，96，96，98，89；98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差
八（1）班 100 93 93 12
八（2）班 99 95 8.4
（1）直接写出表中 ， ， 的值；
（2）依据数据分析表，有人说：“八（1）班的最高分100大于八（2）班的最高分99，八（1）班的成绩比八（2）班好”，但也有人说八（2）班的成绩比较好，请给出两条支持八（2）班成绩好的理由.
30．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为　 　 ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若、为实数，且，，试求的值．
（3）如图3，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
31．为支持新冠肺炎疫情防控工作，响应中央号召，全国广大人民踊跃捐款.某校七年级全体同学参加了“我为抗疫出份力”的捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况，统计如图所示，
（1）本次抽查的学生人数是多少？补全条形统计图.
（2）本次捐款金额的众数和中位数分别是多少元？
（3）以全校七年级学生按800名估计，捐款总金额约有多少元？
32．如图，等边三角形ABC和等边三角形ECD的边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，用无刻度的直尺通过连线的方式画图．
（1）在图①中画一个直角三角形；
（2）在图②中画出∠ACE的平分线．
33．如图，某公园有两个小喷泉A、B，两个小喷泉之间的距离为25m.现要为喷泉铺设供水管道AM、BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为12m，BM的长为15m.
（1）求供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长；
（2）试判断BM是否是喷泉B到小路AC的最短距离，若是，请说明理由；若不是，请求出最短距离.
34．教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠时间应达到9小时，在备战中考的重要阶段，更要注重睡眠，提高学习效率.某校为了了解该校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了该校九年级部分学生，并将调查结果绘制成如下的统计图和统计表，根据图表中的信息，解答下列问题：
组别 睡眠时间x/h 人数 平均睡眠时间/h
A组 18 7.5
B组 8 8.5
C组 m 9.3
D组 4 11
（1）本次调查数据的中位数落在　 　组，表中m的值为　 　，扇形统计图中C组所在扇形的圆心角为　 　°；
（2）求本次调查数据的平均数；
（3）若该校共有600名九年级学生，请估计该校每天睡眠时间不少于9h的九年级学生有多少名？
35．如图，在中，对角线、相交于点O，，过点A作，交延长线于点E，过点C作，交延长线于点F．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
36．某校八年级学生进行了一次体质健康测试，现随机抽取了40名学生的成绩（单位：分），收集的数据如下，
75
85 74 98
72 57 81
96 73 95
59 95 63
88 93 67
92 83 94
54
90
56 89 92
79 87 70
71 91 83
83 73 80
93 81 79
91 78 83
77
整理数据：
成绩/分 人数 百分比/%
30
16 40
8 20
4 10
分析数据：
平均数 中位数 众数
80.5
根据以上信息，回答下列问题，
（1）请直接写出表格中a，b，c的值．
（2）该校八年级学生共有800人，请估计成绩在 的学生大约有多少人．
（3）八（3）班张亮的测试成绩为78分，请结合本次统计结果给他提出提升体质水平的合理建议．
37．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E在对角线BD上，将线段CE绕点C顺时针旋转120°，得到CF，连接DF．
（1）求证：△BCE≌△DCF．
（2）若BC＝2 ．求四边形ECFD的面积．
38．
（1）（ ＋ ）2﹣（3 ＋2 ）（3 ﹣2 ）；
（2）已知点A（a，﹣3）与点B（5，b）关于x轴对称，求a＋b的值．
39．如图，在等腰 △ABC 中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PB＝3PA，点D在BC边上，∠BPD＝∠ACP．
（1）求证：PD＝PC
（2）求 的值．
40．小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：
a.每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；
b.每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
c.运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3.
在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：
难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7#
3.5 打分 7.5 8.5 4.0 9.0 8.0 8.5 7.0
（1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝　 　， 得分A甲＝　 　；（直接写出答案）
（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲' ▲ P甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；
（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分.
41．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2 ，6），动点P从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t（0＜t＜6）秒，过点P作PE⊥AO交AB于点E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设△PEQ的面积为S，求当0＜t＜3时，S与t的函数关系；
（3）在动点P、Q运动的过程中，点H是矩形AOBC内（包括边界）一点，且以B、Q、E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标．
42．如图，直线y=﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线yx+3交y轴于点C，两直线相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线yx+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG=FG，且∠CGF=∠ABC时，求点G的坐标．
43．如图：已知直线y1＝kx＋b经过点A（5，0），B（1，4），与直线y2＝2x﹣4交于C点.
（1）求直线y1的解析式以及y2与x轴的交点D的坐标；
（2）求C点的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式y1＞y2＞0时x的取值范围.
44．某产品生产车间有工人10名，已知每名工人每天可生产甲种产品10个或乙种产品12个，且每生产一个甲种产品可获得利润100元，每生产一个乙种产品可获得利润150元．在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．
（1）求出此车间每天获取利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）若要使此车间每天获取利润为14800元，要派多少名工人去生产甲种产品？
（3）若要使此车间每天获取利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适？
45．
（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（1，2）处．则①OA的长为　 　；②点B的坐标为　 　（直接写结果）；
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt△ACB如图放置，直角顶点
C(-1，0)，点A(0，4)，试求直线AB的函数表达式；
（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点B（4；3），过点B作BA y轴，垂足为点A；作BC x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线 上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt△APQ，若存在，请求出此时P的坐标，若不存在，请说明理由．
46．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．
（1）请判断：FG与CE的数量关系和位置关系；（不要求证明）
（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；
（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
47．为有效预防传染病的传播，学校需购买甲、乙两种消毒液每天对班级进行消杀工作，经了解，每桶甲种消毒液的售价比乙种消毒液的售价多10元，学校用600元和400元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的售价分别是每桶多少元；
（2）由于消杀工作的需要，学校需再次购买两种消毒液共500桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数，求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少，最少总金额是多少元？
（3）商家决定对甲、乙两种消毒液打九折销售，在（2）中所需资金总额最少的条件下，学校用节省下来的钱全部购进A，B两种高压喷壶．已知A种高压喷壶50元/个，B种高压喷壶80元/个，请直接写出购进方案．
48．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点B，交y轴于点A，点P为直线上一点，点P的横坐标为．
（1）求点B的坐标；
（2）过P作轴于H，连接，点C在线段上，点D是x轴正半轴上一点，若，设的面积为S，求S与m之间的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，且交延长线于点E，连接，当、时，求k的值．
49．如图，将一个长方形OABC纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，，，将长方形折叠后，点B恰好落在OA边上的点E处，折痕所在直线经过点C且与AB边交于点D，与x轴的正半轴交于点F．
（1）求点D的坐标及直线CD的解析式；
（2）点P是线段CF上的一个动点，若OP将△COF的面积分为1：2两部分，求点P的坐标．
50．如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为（4，3）
（1）顶点C的坐标为（　 　，　 　），顶点B的坐标为（　 　，　 　）；
（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，当运动时间为2秒时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时k的值．
（3）若正方形OABC以每秒 个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落到x轴上时停止下滑．设正方形OABC在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．
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1．校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质(卫生、口味等)进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7 份样品，对套餐的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表．
甲、乙两家公司套餐得分表
　 1 2 3 4 5 6 7
甲公司套餐
乙公司套餐
甲、乙两家公司套餐得分统计表
平均数 中位数 众数
甲公司套餐 b
乙公司套餐 a c
根据以上信息，请回答下列问题：
（1） ， ， ．
（2）从方差的角度看， 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”）
（3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由．
【答案】（1）
（2）乙
（3）甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好，所以选择乙公司．
2．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点在点的左侧．
（1）若抛物线过点，求实数的值；
（2）在（1）的条件下在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点H的坐标．
【答案】（1）
（2）
3．书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额．
【答案】（1）
（2）1400元
4．如图，在三角形中，，分别是与它的邻补角的平分线，于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接交AC于点O，若，求证：四边形是正方形．
【答案】（1）证明：∵
∴是等腰三角形
∵是的平分线
∴，
∵是的平分线
∴
∴
∵
∴四边形是矩形；
（2）证明：如图所示，
∵
∴
∵四边形是矩形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵四边形是矩形
∴四边形是正方形．
【解析】【分析】 (1)、证明是等腰三角形，再证明，，有三个角是的四边形是矩形得出 四边形是矩形；
(2)、 根据 四边形是矩形的性质求出 ，证明，可得 四边形是正方形．
5．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2点，D是AC中点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处，连接PC．
（1）写出BP，BD的长；
（2）求证：四边形BCPD是平行四边形．
【答案】（1）解：①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，
∴AB= =2 ，
∵AD=CD=2，
∴BD= ，
由翻折可知，BP=BA=2
（2）证明：∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴∠ADB=∠BDP=135°，
∴∠PDC=135°-45°=90°，
∴∠BCD=∠PDC=90°，
∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，
∴四边形BCPD是平行四边形
【解析】【分析】（1）分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；（2）想办法证明DP∥BC，DP=BC即可．
6．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：==
（2）解：===
（3）解：====
（4）解：===3
（5）解：原式===，
当时，原式=．
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减运算的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的乘除运算的计算方法求解即可；
（3）利用实数的运算的计算方法求解即可；
（4）利用二次根式的加减运算的计算方法求解即可；
（5）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
7．如图，直线 与过点 的直线 交于点 ，与x轴交于点B.
（1）求直线 的解析式；
（2）求 的面积；
（3）直接写出当自变量x取何值时，满足 ？
【答案】（1）解：∵点C(1，m)在直线 上，
∴ 将点C(1，m)代入 ，即：m=4，
∴ C(1，4)，
将A(3，0) 、C(1，4)代入 中
解得
∴
（2）解：∵点B是直线 与x轴的交点
∴ 点B(-3，0)，
∴ AB=6，
∴
（3）解：由图象可知，两直线的交点的横坐标为1
∵ 点B(-3，0)
∴当0＜ ＜ 时，对应的自变量的取值为：-3＜x＜1
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入直线l1的解析式，求出m的值，可得到点C的坐标，再将点A、C的坐标代入 的解析式中，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，即可得到直线l2的函数解析式.
（2）利用直线l2的函数解析式求出点B的坐标；然后根据三角形的面积公式求解即可.
（3）观察函数图象，利用点B，C的横坐标，可以求出x的取值范围.
8．为了加强公民的节水意识.某市规定用水收费标准如下.每户每月用水量不超过12时.按照每立方米3.5元收费：超过时，超出部分每立方米按4.5元收费.设每月用水量为，应缴水费为y元.
（1）当月用水量不超过时，y（元）与之间的关系式为　 　；当月用水量超过时，y（元）与之间的关系式为　 　.
（2）若某户某月缴纳水费55.5元，则该户这个月的用水量为多少
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴该户这个月的用水量超过，
令代入得：，
解得，
∴该户这个月的用水量为.
【解析】【解答】解：（1）由题意得：当时，，
当时，，
故答案为：，；
【分析】（1）当0≤x≤12时，根据每立方米的费用×用水量可得y与x的关系式；当x>12时，根据12m3的费用+超过12m3的部分的费用即可得到y与x的关系式；
（2）由题意可得：该户这个月的用水量超过12m3， 结合（1）的关系式令y=55.5，求出x的值即可.
9．如图，矩形 中， ＝ ， ＝ ，过对角线 中点 的直线分别交 ， 边于点 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当四边形 是菱形时，求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形， 是 的中点，
∴ ＝ ， ＝ ＝ ， ， ＝ ，
∴ ＝ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴四边形 是平行四边形
（2）解：当四边形 是菱形时， ，
设 ＝ ，则 ＝ ， ＝ ，
在 中， ＝ ，
∴ ＝ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ＝
【解析】【分析】（1）根据矩形 ABCD 的性质，判定 ，得出四边形 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 ，由勾股定理求出 ，得出 ，再由勾股定理求出 ，即可得出 的长．
10．如图，直线 经过A（-2，0），B（0，2）两点，直线 交 于点C．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）求点C的坐标．
【答案】（1）解：设直线 的函数解析式为y＝ax＋b
∵直线 经过A（-2，0），B（0，2）两点
∴ ，解得
∴直线 的函数解析式为y＝x＋2．
（2）解：∵直线 与直线 相交于点C
∴ ，解得
∴点C的坐标为 ．
【解析】【分析】（1）设直线l1的函数解析式为y＝ax＋b，将A（-2，0），B（0，2）代入求出a、b的值，据此可得直线l1的解析式；
（2）联立直线l1、l2的解析式求出x、y，可得点C的坐标.
11．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示. 根据图中信息，解答下列问题；
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式.
（2）求出B点坐标.
（3）洋洋爸爸准备 元钱用于洋洋在该游乐场消费，请问选择哪种消费卡划算？
【答案】（1）解：设y甲=k1x，根据题意得5k1=100，解得k1=20，∴y甲=20x；
设y乙=k2x+100，根据题意得：20k2+100=300，解得k2=10，∴y乙=10x+100；
（2）解：由题意得，
，解得 .
故点B的坐标为（10，200）；
（3）解：令y甲=20x=240，解得x=12；
令y乙=10x+100=240，解得x=14．
∵12＜14，
∴选择乙种消费卡划算.
【解析】【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y关于x的函数表达式；
（2）根据（1）结论，联立方程组解答即可；
（3）把y=240分别代入（1）的结论即可解答。
12．如图，四边形ABCD中，BE⊥AC交AD于点G，DF⊥AC于点F，已知AF=CE，AB=CD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如果∠GBC=∠BCD，AG=6，GE=2，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，
∴AE=CF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴∠BAE=∠DCF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠DAB=∠BCD，
∴∠AGB=∠GBC，
∵∠GBC=∠BCD，
∴∠AGB=∠BAG，
∴AB=GB，
设AB=GB=x，则BE=x-2，
∵BG⊥AC，
∴ ，
∴ ，
解得x=9，
∴AB=9．
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CDF，得到∠BAE=∠DCF，证出AB//CD，由AB=CD，即可证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，∠DAB=∠BCD，结合∠GBC=∠BCD，得到∠AGB=∠BAG，所以AB=GB，设AB=GB=x，则BE=x-2，利用勾股定理得到，再将数据代入计算即可。
13．已知：如图，在 中，是边上的高线，是边上 的中线，G是的中点，连结，，，.
（1）求的长.
（2）求证：.
【答案】（1）解：∵是边上的高线，，，
∴ ， ，
∵是边上 的中线，
∴，
∵，
∴
（2）证明：连接，
∵，是边上 的中线，
∴ ，
∴，
∵G是的中点，
∴.
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得AB的值，根据中线的概念可得AE=BE=AB=5，由已知条件可知CD=AE，据此可得CD的长；
（2）连接DE，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DE=AE，由已知条件可知CD=AE，则CD=DE，然后结合等腰三角形的性质进行证明.
14．为了让学生掌握知识更加牢固，某校九年级物理组老师们将物理实验的教学方式由之前的理论教学改进为理论 实践，一段时间后，从九年级随机抽取15名学生，对他们在教学方式改进前后的物理实验成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用 表示，共分成4组：A. ，B. ，C. ，D. ），下面给出部分信息：
教学方式改进前抽取的学生的成绩在C组中的数据为：80，83，85，87，89
教学方式改进后抽取的学生成绩为：70，72，76，82，84，86，86，93，95，90，100，98，88，100，100
教学方式改进前后抽取的学生成绩对比统计表
统计量 改进前 改进后
平均数 88 88
中位数
众数 98
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表 、 、 的值；
（2）根据以上数据，你认为该校九年级学生的物理实验成绩在教学方式改进前好，还是改进后好？请说明理由.（至少写2条理由）；
（3）若该校九年级有300名学生，规定物理实验成绩在90分及以上为优秀，估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数是多少？
【答案】（1）解：由教学方式改进前抽取的学生的成绩在C组中的数据为：80，83，85，87，89，可得改进前中位数 ；
∵教学方式改进后抽取的学生成绩为：70，72，76，82，84，86，86，93，95，90，100，98，88，100，100，
∴教学方式改进后抽取的学生成绩按从小到大排列是：70，72，76，82，84，86，86，88，90，93，95，98，100，100，100，
∴改进后的中位数 ，改进后的众数
（2）解：改进后的好.
理由：两个年级的平均成绩一样，从中位数看，改进后的成绩比较好；从众数看改进后的成绩比较好
（3）解：估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数 （人）
答：估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数为140人.
【解析】【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可；
（2）从平均数、中位数、众数的大小进行分析即可；
（3）利用样本中优秀的百分比乘以300即得结论.
15．在某希望实验中学七（8）班的体育课上，体育老师宣布了50米往返“运球”比赛规则，若规定30秒为达标成绩，现对其中一小组学生的成绩记录如下（超过30秒记为正，反之记为负）
人数（人） 2 2 1 1 1 3
成绩（秒） ＋3 －2 0 ＋1 ＋7 －1
（1）请计算这一小组学生的平均成绩.
（2）该小组达标率是多少？
【答案】（1）解： ，
∴这一小组学生的平均成绩是：（秒）；
（2）根据题意可知，成绩不大于30秒为达标，由图表中的数据可知，达标人数是 人，
∴该小组达标率是.
【解析】【分析】（1）首先根据人数乘以对应的成绩求出总成绩，然后除以总人数，再利用结果加上30即可求出平均成绩；
（2）由图表中的数据可知：达标人数是2+1+3=6人，除以总人数，然后乘以100%可得达标率.
16．如图，已知A及B是正方形ABCD的两个顶点，正方形与x轴相交于点E和点G，与y轴相交于点F和点H.
（1）写出点F、C、G、D的坐标.
（2）图中D点在O点的北偏东的方向上，与O点的距离为.请类似的写出点B、点H分别在O点的什么方向上，以及到O点的距离.
【答案】（1）解：∵已知A及B是正方形ABCD的两个顶点，正方形与x轴相交于点E和点G，与y轴相交于点F和点H.
∴F、C、G、D.
（2）解：解由题意可知：，OH=3，
∴点B在O点的西偏南的方向上，与O点的距离为；点H在O点的正北方向上，与O点的距离为3.
【解析】【分析】（1）根据点F、C、G、D的位置可得对应点的坐标；
（2）根据勾股定理可得OB的值，然后结合方位的表示方法进行解答.
17．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=13cm，D是腰AB上一点，且CD=12cm，BD=5cm．
（1）试说明：△BDC是直角三角形．
（2）求△ABC的周长．
【答案】（1）解：∵BC=13 cm，CD= 12 cm，BD=5 cm，
∴BC2= BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形．
（2）解：设AB=x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC= x．
∵AC2=AD2 +CD2 ，
∴x2=(x-5)2+122 ，解得x= ．
∴△ABC的周长为2AB+ BC= ×2 +13= 46.8(cm)．
【解析】【分析】（1）由已知条件可得BC2= BD2+CD2，然后根据勾股定理逆定理进行判断；
（2）设AB=x，由等腰三角形的性质可得AB=AC= x，由勾股定理可得x2=(x-5)2+122 ，求解可得x的值，接下来根据周长的概念求解即可.
18．计算：
（1）计算：．
（2）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，且．求证：在四边形是矩形．
【答案】（1）解：原式
；
（2）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，．
又∵，
∴，
∴平行四边形为矩形．
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方、零指数幂的性质先计算，再计算加减即可；
（2）根据一组对边平行且相等可证四边形为平行四边形， 可得OA=OC，OB=OD，由OA=OD即得AC=BD，根据矩形的判定即证.
19．在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，4），以OB为边在y轴的右侧作正三角形OAB.AC⊥y轴，垂足为C.
（1）如图1，求点A的坐标.
（2）点D在线段AC上，点E是直线AB上一动点，连接DE、以DE为边作正三角形DEF（点D，E，F按逆时针排列）
①如图2，当点E与点A重合时，连接OD，BF.若BF=2，求点D的坐标.
②若CD=2，点P是直线DF与直线OA的交点，当OP=时，直接写出点E的坐标.
【答案】（1）解：∵点B的坐标为（0，4），△OAB是正三角形，且AC⊥y轴，
∴AC是边OB的中线，
∴C（0，2），
在Rt△ACO中，AO＝4，CO＝2，
由勾股定理可得，AC＝6，
∴A（6，2）.
（2）解：①AF＝AD，AB＝AO，
∵△OAB和△DEF是正三角形，
∴∠CAF＝∠OAB＝60°，
∵∠BAF＝∠CAF-60°，∠OAD＝∠OB-60°，
∴∠BAF＝∠OAD，
在△BAF和△OAD中，
，
∴△BAF≌△OAD（SAS），
∴OD＝BF＝2，
∵OC＝2，
∴CD＝4，
∴D（4，2）；
②（，）或（，）.
【解析】【解答】解：（2）②当点P在x轴下方时，如图，连接OD，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点G，
则∠GAE＝30°，
在Rt△ODC中，∠OCD＝90°，CD＝2，OC＝2，
∴OD＝4，∠COD＝30°，
∴AD＝OD＝4，
∵∠AOC=60°，
∴∠AOD=30°
∴∠DOP＝150°，
∵∠GAE＝∠BAC＝30°，
∴∠DOP＝∠DAE＝150°，
∵∠CDO＝∠EDF＝60°，
∴∠ODA＝∠EDP＝120°，
∴∠ODA-∠DOE＝∠EDP-∠DOE
∴∠PDO＝∠EDA，
∴△PDO≌△EDA（ASA），
∴OP＝AE，
∴GE，AG，
∵A（6，2），
∴E（，）；
当点P在x轴上方时，如图，连接OD，过点E作EG⊥AC于点G，
同上可知，△P′DO≌△EDA（ASA），
∴OP＝AE，
∴GE，AG，
∵A（6，2），
∴E（，）；
综上可知，点E的坐标为（，）或（，）.
【分析】（1）根据等边三角形的性质结合点B的坐标可得C（0，2），在Rt△ACO中，根据勾股定理可得AC的值，进而可得点A的坐标；
（2）①由正三角形的性质可得∠CAF＝∠OAB＝60°，结合角的和差关系可得∠BAF＝∠OAD，证明△BAF≌△OAD，得到OD＝BF＝2，利用勾股定理可得CD，进而可得点D的坐标；
②当点P在x轴下方时，连接OD，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点G，则∠GAE＝30°，易得OD＝4，∠COD＝30°，AD＝OD＝4，证明△PDO≌△EDA，得到OP＝AE，然后求出GE、AG，结合点A的坐标就可求出点E的坐标；当点P在x轴上方时，连接OD，过点E作EG⊥AC于点G，
同上可知△P′DO≌△EDA，OP=AE，同理可得点E的坐标.
20．阅读并完成下面问题：
①；
②；
③； …
（1）填空：的倒数为　 　．（n为正整数）的值为　 　．
（2）计算：．
【答案】（1）；
（2）解：
．
【解析】【解答】解：（1）的倒数为；
（n为正整数）的值为；
故答案为：；；
【分析】（1）利用分母有理化化简即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可。
21．某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分.前6名选手的得分如下：
序号项目 1 2 3 4 5 6
笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80
面试成绩/分 90 88 86 90 80 85
根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折和成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）
（1）这6名选手笔试成绩的中位数是　 　分，众数是　 　分.
（2）现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比.
（3）求出其余五名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选.
【答案】（1）84.5；84
（2）设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是x，y，根据题意得：
，
解得： ，
故笔试成绩和面试成绩各占的百分比是40%，60%；
（3）2号选手的综合成绩是92×0.4+88×0.6=89.6（分），
3号选手的综合成绩是84×0.4+86×0.6=85.2（分），
4号选手的综合成绩是90×0.4+90×0.6=90（分），
5号选手的综合成绩是84×0.4+80×0.6=81.6（分），
6号选手的综合成绩是80×0.4+85×0.6=83（分），
则综合成绩排序前两名人选是4号和2号
【解析】【解答】解：（1）把这组数据从小到大排列为，80，84，84，85，90，92，
最中间两个数的平均数是（84+85）÷2=84.5（分），
则这6名选手笔试成绩的中位数是84.5，
84出现了2次，出现的次数最多，
则这6名选手笔试成绩的众数是84；
故答案为：84.5，84；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即把这6个数据从小到大排列，再找出最中间两个数的平均数就是中位数，再找出出现的次数最多的数即是众数；
（2）先设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是x，y，根据题意列出方程组，求出x，y的值即可；
（3）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，分别求出其余五名选手的综合成绩，即可得出答案.
22． 如图，已知直线与直线交于点.
（1）当为何值时，；
（2）若时，求x的取值范围.
【答案】（1）解：∵
∴
解得
（2）解：由（1）可知点的坐标为
由图象可知当时，
【解析】【分析】(1)令，得到等式求出x即可.
(2)先根据(1)得到点P坐标，再根据，直线再直线的下方观察x的值即可.
23．在城市创卫工作中为“保护好环境，拒绝冒黑烟”，某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需650万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
【答案】（1）解：设购买每辆型公交车需要万元，每辆型公交车需要万元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买每辆型公交车需要100万元，每辆型公交车需要150万元．
（2）解：设购进型公交车辆，则购进型公交车辆，
依题意，得：，
解得：．
为整数，
，7，8，
该公司有三种购车方案，方案1：购进6辆型公交车，4辆型公交车；方案2：购进7辆型公交车，3辆型公交车；方案3：购进8辆型公交车，2辆型公交车．
设该公司购买这10辆公交车的总费用为元，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为1100，
购进8辆型公交车，2辆型公交车时总费用最少，最少费用为1100万元．
【解析】【分析】（1）设购买每辆型公交车需要万元，每辆型公交车需要万元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进型公交车辆，则购进型公交车辆，根据题意列出不等式组求出m的取值范围，再设该公司购买这10辆公交车的总费用为元，则，最后利用一次函数的性质求解即可。
24．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，且．
（1）求点A，B的坐标；
（2）将三角形ABC平移，平移后点C的对应点的坐标为，点B的对应点为点D，如图②．求三角形ACD的面积；
（3）是一动点，若三角形PCO的面积等于三角形AOC的面积，求出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵
∴；
∴，解得
∴，．
（2）解：∵点平移后点的对应点的坐标为
∴向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度
∵
∴，
连接
∴
；
（3）解：∵点
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
∴的坐标为或．
【解析】【分析】（1）根据绝对值和二次根式的非负性即可得到，进而即可解出a和b的值，得到A、B的坐标；
（2）先根据点C坐标平移得到△ABC是向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，进而得到点D的坐标，连接，根据即可求解；
（3）根据即可列出关于m的方程，进而即可解出m的值，得到点P的坐标。
25．某校开展了以“不忘初心，奋斗新时代”为主题的读书活动，校德育处对本校八年级学生九月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了抽样调查，随机抽取八年级部分学生，对他们的“读书量”（单位：本）进行了统计，并将统计结果绘制成了如下统计图：
（1）本次所抽取学生九月份“读书量”的众数为　 　本，中位数为　 　本；
（2）求本次所抽取学生九月份“读书量”的平均数.
【答案】（1）3；3
（2）解：学生“读书量”的总数为：
（本），
抽取的学生总数由（1）可得：60人，
平均数为： （本），
∴本次所抽取学生九月份“读书量”的平均数为3本.
【解析】【解答】解：（1）从条形统计图中可得：有21人“读书量”为3本，人数最多，
∴众数为：3；
抽取的学生总数为： 人，
第30、31人“读书量”均为3本，
∴中位数为：3；
故答案为：3，3；
【分析】（1）根据条形统计图可得：有21人“读书量”为3本，人数最多，据此可得众数，易得总人数为60人，而第30、31人“读书量”均为3本，据此可得中位数；
（2）利用读书量×对应的人数求出总读书量，然后除以总人数可得平均数.
26．学校组织学生参加科普知识问答竞赛，每班抽25名同学参加比赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘成统计图，如图所示：
（1）将一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）求出二班竞赛成绩的平均数；
（3）若八一班共有40人，请根据本次调查结果，估计八一班得分在80分以上（含80分）的人数.
【答案】（1）解：一班 等级的人数为 （人），
则补全条形统计图如下：
（2）解：二班 等级的人数为 （人），
二班 等级的人数为 （人），
二班 等级的人数为 （人），
二班 等级的人数为 （人），
则二班竞赛成绩的平均数为 （分），
答：二班竞赛成绩的平均数为 分；
（3）解： （人），
答：估计八一班得分在80分以上（含80分）的人数为32人.
【解析】【分析】（1）利用条形统计图可求出一班C等级的人数；再补全条形统计图；
（2）分别求出二班A，B，C，D等级的人数；然后利用平均数公式可求出二班竞赛成绩的平均数；
（3）用40×八一班得分在80分以上（含80分）的人数所占的百分比，列式计算可求出结果.
27．某工艺品厂草编车间共有16 名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据如下表：
日均生产能力(件) 10 11 12 13 14 16
人数 1 2 6 4 2 1
（1）这16名工人日均生产件数的平均数=　 　件，众数=　 　件，中位数=　 　件；
（2）为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施，如果你是管理者，应选择什么统计量作为日生产件数的定额？
【答案】（1）12.5；12；12
（2）解：当定额为13个时，有13个人达标，3人获奖，不利于提高工人的积极性；
当定额为12个时，有9个人达标，7人获奖，有利于提高工人的积极性；
∴当定额为12个时，有利于提高大多数工人的积极性；
∴应选择中位数作为日生产件数的定额
【解析】【解答】解：（1），
∵12出现了6次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是12，
∵从小到大排列第8个数和第9个数都是12，
∴这组数据的中位数是.
故答案为：12.5，12，12
【分析】（1）利用加权平均数进行计算，可求出这16名工人日均生产件数的平均数；求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可求出这组数据的中位数和众数.
（2）利用表中数据，进行分析，可得到应选择中位数作为日生产件数的定额.
28．某公司要印刷产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．
（1）分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；
（2）印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？
（3）该公司拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印制厂印制宣传材料能多一些？
【答案】（1）解：由题意得：甲厂收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式为，
乙厂收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式为；
（2）解：当时，
甲厂：（元）
乙厂：（元）
∵
乙厂比较合算；
（3）解：当时，
甲厂：，解得（份）
乙厂：，解得（份）
∵
甲厂印制宣传材料多一些
【解析】【分析】（1）根据 甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费 ，求函数解析式即可；
（2）根据（1）所求，将x=800代入计算求解即可；
（3）将y=3000代入计算求解即可。
29．某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写大赛”预赛，各参赛选手的成绩如下：
八（1）班：91，92，93，93，93，94，98，88，98，100
八（2）班：93，93，93，95，96，96，98，89；98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差
八（1）班 100 93 93 12
八（2）班 99 95 8.4
（1）直接写出表中 ， ， 的值；
（2）依据数据分析表，有人说：“八（1）班的最高分100大于八（2）班的最高分99，八（1）班的成绩比八（2）班好”，但也有人说八（2）班的成绩比较好，请给出两条支持八（2）班成绩好的理由.
【答案】（1）解：八（1）班的平均分a＝ ×（91+92+93+93+93+94+98+88+98+100）＝94，
八（2）班成绩排序后：89，93，93，93，95，96，96，98， 98，99，
八（2）班的中位数b＝ ×（95+96）=95.5，
八（2）班成绩93分出现次数最多，
八（2）班的成绩众数c=93，
故答案为：94，95.5，93；
（2）解：八（2）班的平均分高于八（1）班；八（2）班的中位数比八（1）八成绩中位数高，八（2）班的方差小于八（1）班成绩的方差，故八（2）班的成绩波动性小，故支持八（2）班成绩好.
【解析】【分析】（1）利用平均数，中位数，以及众数的定义计算所求即可；（2）从平均分，方差以及中位数角度考虑，合理即可.
30．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为　 　 ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若、为实数，且，，试求的值．
（3）如图3，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）
（2）解：由（1）得，，
即，
或；
（3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，
由于，两正方形的面积和，
因此，，
，即，
，
阴影部分的面积为．
【解析】【解答】解：（1）图2，大正方形的边长为，
因此面积为，
小正方形的边长为，
因此面积为，
每个长方形的长为，宽为，因此面积为，
由面积之间的关系可得，，
故答案为：；
【分析】（1）图2中大正方形的边长为a+b，则面积为(a+b)2，根据面积间的和差关系可得大正方形的面积=中间小正方形的面积+4个长为a、宽为b的矩形的面积，据此表示出大正方形的面积，进而可得三个代数式之间的关系；
（2）由（1）得(m+n)2=(m-n)2+4mn，然后代入进行计算；
（3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1=a2，S2=b2，根据AB=8可得a+b=8，根据两正方形面积之和为32可得a2+b2=32，然后根据(a+b)2=a2+b2+2ab求出ab的值，据此不难求出阴影部分的面积.
31．为支持新冠肺炎疫情防控工作，响应中央号召，全国广大人民踊跃捐款.某校七年级全体同学参加了“我为抗疫出份力”的捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况，统计如图所示，
（1）本次抽查的学生人数是多少？补全条形统计图.
（2）本次捐款金额的众数和中位数分别是多少元？
（3）以全校七年级学生按800名估计，捐款总金额约有多少元？
【答案】（1）解：由题意知，
（2）解：本次捐款的金额的众数是10元，中位数是11元
（3）解： （元）
答：该校七年级捐款总金额约有8928元
【解析】【分析】（1）观察条形图和扇形图可知：捐款15元的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得本次抽查的学生人数；根据样本容量=各小组频数之和可求得捐款10元的频数，条形图可补充完整；
（2）众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数，根据定义和已知条件可求解；
（3）样本估计总体，用800乘以样本中平均每人的捐款数即可得出答案.
32．如图，等边三角形ABC和等边三角形ECD的边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，用无刻度的直尺通过连线的方式画图．
（1）在图①中画一个直角三角形；
（2）在图②中画出∠ACE的平分线．
【答案】（1）解：如图①所示：连接AE，
∵△ABC与△ECD全等且为等边三角形，
∴四边形ACDE为菱形，连接AD，则AD平分∠EDC，
∴∠ADC=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=90°，
则△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；
（2）解：如图②所示：连接AE、BE、AD，则四边形ABCE和四边形ACDE为菱形，
则AC⊥BE，AD⊥CE，设BE，AD相交于F，AC交BE于点G，CE交AD于点H，
则FG⊥AC，FH⊥BC，
由（1）得：∠BEC=∠DAC，∠AEF=∠EAF，
则AF=EF，
在△AFG和△EFH中
∵∠AGF=∠FHE，
∠GFA=∠HFE，
AF=EF，
∴△AFG≌△EFH（AAS），
∴FG=FH，
由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知，连接CF，GF为所作的角平分线．
【解析】【分析】（1）连接AE，根据等边三角形的性质可得四边形ACDE为菱形，根据菱形的性质得出△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；
（2）连接AE、BE、AD，则四边形ABCE和四边形ACDE为菱形，证明△AFG≌△EFH，得出FG=FH，进而结合角平分线的判定定理即可求解．
33．如图，某公园有两个小喷泉A、B，两个小喷泉之间的距离为25m.现要为喷泉铺设供水管道AM、BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为12m，BM的长为15m.
（1）求供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长；
（2）试判断BM是否是喷泉B到小路AC的最短距离，若是，请说明理由；若不是，请求出最短距离.
【答案】（1）解：∵
∴
在 中，
∴
∴
在 中
∴
答：供水点M到喷泉A、B铺设的管道总长为35m.
（2）解： 是到小路 的最短距离，
∵ ，
∴ 是直角三角形
根据垂线段最短性质，得
是到小路 的最短距离.
【解析】【分析】（1）在Rt△BNM中，利用勾股定理解得BN的长，继而解得AN的长，在Rt△ANM 中，利用勾股定理解得AM的长，据此解题；
（2）根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，再结合垂线段最短性质解题.
34．教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠时间应达到9小时，在备战中考的重要阶段，更要注重睡眠，提高学习效率.某校为了了解该校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了该校九年级部分学生，并将调查结果绘制成如下的统计图和统计表，根据图表中的信息，解答下列问题：
组别 睡眠时间x/h 人数 平均睡眠时间/h
A组 18 7.5
B组 8 8.5
C组 m 9.3
D组 4 11
（1）本次调查数据的中位数落在　 　组，表中m的值为　 　，扇形统计图中C组所在扇形的圆心角为　 　°；
（2）求本次调查数据的平均数；
（3）若该校共有600名九年级学生，请估计该校每天睡眠时间不少于9h的九年级学生有多少名？
【答案】（1）B；10；90
（2）解： ，
∴本次调查数据的平均数为8.5h.
（3）解： （名），
∴估计该校每天睡眠时间不少于9h的九年级学生有210名.
【解析】【解答】解：（1）被调查的学生人数为： (人)
故本次调查数据的中位数是这组数据从小到大排列后，第20个和第21个数的平均数
故本次调查数据的中位数落在B组
m=40-18-8-4=10
扇形统计图中C组所在扇形的圆心角为：
故答案为：B；10；90；
【分析】（1）利用A组的人数除以所占的比例可得总人数，将这组数据从小到大排列，求出第20、21个数的平均数即为中位线，根据总人数可得m的值，利用C组的人数除以总人数，然后乘以360°可得所占圆心角的度数；
（2）利用各组的人数乘以对应的睡眠时间求出总睡眠时间，然后除以总人数可得平均数；
（3）首先求出样本中每天睡眠时间不少于9h的人数所占的比例，然后乘以600即可.
35．如图，在中，对角线、相交于点O，，过点A作，交延长线于点E，过点C作，交延长线于点F．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
（2）解：
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴OE是的中线，
∴．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质可得， 由垂直的定义可得，从而求出，根据三个角是直角的四边形是矩形即证；
（2） 易证四边形为菱形， 可得，， 由勾股定理求出BE=3，从而求出EC=8，在中 ，由勾股定理求出AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解.
36．某校八年级学生进行了一次体质健康测试，现随机抽取了40名学生的成绩（单位：分），收集的数据如下，
75
85 74 98
72 57 81
96 73 95
59 95 63
88 93 67
92 83 94
54
90
56 89 92
79 87 70
71 91 83
83 73 80
93 81 79
91 78 83
77
整理数据：
成绩/分 人数 百分比/%
30
16 40
8 20
4 10
分析数据：
平均数 中位数 众数
80.5
根据以上信息，回答下列问题，
（1）请直接写出表格中a，b，c的值．
（2）该校八年级学生共有800人，请估计成绩在 的学生大约有多少人．
（3）八（3）班张亮的测试成绩为78分，请结合本次统计结果给他提出提升体质水平的合理建议．
【答案】（1）解： ；
由表知，成绩在 和 的人数均为12人，故第20、21个数应在 内，把分数位于 内的16个数按从小到大排列起来，中间的两个数分别为81、83，其平均数为82，故 ；
根据题中数据知，83出现的次数最多，故 ；
（2）解：抽取的40名学生的成绩在 的有 （人），所占的百分比为30%+40%=70%，
（人），
即该校八年级学生共有800人，估计成绩在 的学生大约有560人；
（3）解：积极参加体质加强训练项目，提升体质水平，争取达到平均分80.5分．
【解析】【分析】（1）根据抽取的人数为40人及得分在 所占的百分比即可求得a的值；根据各个分数段中的人数知，中位数位于 这个分数段内，把这个分数段内的分数按从小到大排列即可求得中位数b，根据众数的意义即可求得众数c；（2）抽取的40名学生中成绩在 的占比为30%+40%=70%，把此百分比作为该校八年级学生成绩在 的百分比，则可求得人数；（3）根据张亮的成绩低于平均数即可提出合理的建议．
37．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E在对角线BD上，将线段CE绕点C顺时针旋转120°，得到CF，连接DF．
（1）求证：△BCE≌△DCF．
（2）若BC＝2 ．求四边形ECFD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠A=∠BCD=120°
∵将线段CE绕点C顺时针旋转120°，得到CF，
∴CF=CE，∠ECF=120°=∠BCD，
∴∠BCE=∠DCF，且BC=CD，EC=CF，
∴△BCE≌△DCF（SAS）
（2）解：如图，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∠BCA=60°，
∵BC=2，
∴CO=，由勾股定理可得BO==3，
∴BD=6，
∴S△BCD=×6×=3，
∵△BCE≌△DCF
∴S△BEC=S△CDF，
∴S△BCD=S四边形ECFD=3．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明即可；
（2）先求出 BD=6， 再利用全等三角形的性质计算求解即可。
38．
（1）（ ＋ ）2﹣（3 ＋2 ）（3 ﹣2 ）；
（2）已知点A（a，﹣3）与点B（5，b）关于x轴对称，求a＋b的值．
【答案】（1）解：原式＝
＝2＋3＋2 ﹣18＋12
＝ ；
（2）解：∵A（a，﹣3）与点B（5，b）关于x轴的对称，
∴a＝5 b＝3，
∴a＋b＝8.
【解析】【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可；
（2）根据关于x轴对称的点坐标的特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数求出a、b的值，再代入计算即可。
39．如图，在等腰 △ABC 中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PB＝3PA，点D在BC边上，∠BPD＝∠ACP．
（1）求证：PD＝PC
（2）求 的值．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠PDC=∠B+∠BPD，∠PCD=∠PCA+∠ACB，
∵ ∠BPD＝∠PCA ，
∴∠PDC=∠PCD，
∴PD=PC；
（2）解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E点，
∴∠PED=∠CAP，
在△PDE和△CPA中，
，
∴△PDE≌△CPA（AAS），
∴PE=AC，
∵AB=AC，PB=3PA，
∴PE=AB，
设PA=a，则PB= 3a，PE=AB= 2a，
∴BE= PB- PE=a，AE=AB- BE=a，
∴ AE=BE，即点E是AB的中点，
∵DE ∥AC，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴BD= CD，
∴ .
【解析】【分析】(1)先根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB，再根据三角形的外角性质和等量代换可得∠PDC=∠PCD，即可得证；
(2)过点D作DE∥ AC，交PB于点E，利用AAS证明△PDE≌△CPA，则可得出PE= AC，然后根据线段的和差关系可得AE=BE，最后根据三角形中位线定理即可得出结果.
40．小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：
a.每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；
b.每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
c.运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3.
在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：
难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7#
3.5 打分 7.5 8.5 4.0 9.0 8.0 8.5 7.0
（1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝　 　， 得分A甲＝　 　；（直接写出答案）
（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲' ▲ P甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；
（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分.
【答案】（1）8.0；84
（2）解：P甲'=，
∵7.5<8.0，
∴P甲'故答案为<；
（3）解：由题意得，
解得，
∴这一跳乙的完成分P乙至少要达到9.0分.
【解析】【解答】（1）解：7名裁判得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分为7.5，8.0，8.5，
平均数=，
∴完成分P甲＝8.0；
得分A甲＝，
故答案为：8.0，84；
【分析】（1）7名裁判得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值即为P甲； 根据得分A甲＝难度系数H×完成分p×3即可求解；
（2） 计算7名裁判打分的平均分为P甲'， 然后比较即可；
（3）根据得分A＝难度系数H×完成分p×3=84+13.1，列出方程并解之即可.
41．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2 ，6），动点P从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t（0＜t＜6）秒，过点P作PE⊥AO交AB于点E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设△PEQ的面积为S，求当0＜t＜3时，S与t的函数关系；
（3）在动点P、Q运动的过程中，点H是矩形AOBC内（包括边界）一点，且以B、Q、E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标．
【答案】（1）解：∵矩形AOBC的顶点C的坐标是（2 ，6），
∴OA＝BC＝6，OB＝AC＝2 ，
∴点A（0，6），点B（2 ，0），
设直线AB解析式为：y＝kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣ x+6
（2）解：∵点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，
∴AP＝BQ＝t，
∴OP＝6﹣t，
∵PE⊥AO，
∴点E纵坐标为6﹣t，
∴6﹣t＝﹣ x+6，
∴x＝ t，
∴点E（ t，6﹣t），
∴当0＜t＜3时，S＝ × t（6﹣2t）＝﹣ t2+ t
（3）解：如图，当四边形EHBQ是菱形时，延长PE交BC于F，
∵AB＝ ＝ ＝4 ，
∴OB＝ AB，
∴∠BAO＝30°，
∵AO∥BC，PE⊥AO，
∴∠ABC＝∠BAO＝30°，PE⊥BC，
∵四边形EHBQ是菱形，
∴BQ＝EQ＝t，EH∥BQ，
∴∠QEB＝∠EBQ＝30°，
∴∠FEQ＝30°，
∴FQ＝ EQ＝ t，
∴BC＝t+t+ t＝6，
∴t＝ ，
∴BQ＝ ＝EH，点E（ ， ），
∴点H（ ， ）；
如图，若四边形EHQB是菱形，延长PE交BC于F，
∵四边形EHQB是菱形，
∴BE＝BQ＝t，EH∥BQ，
∵∠ABC＝30°，EF⊥BC，
∴BE＝2EF，
∴t＝2（2 ）
∴t＝24﹣12 ，
∴点E（8 ﹣12，12 ﹣18），
∴点H（8 ﹣12，6）
【解析】【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求直线AB的解析式；（2）先求出点E坐标，再利用三角形面积公式可求解；（3）分两种情况讨论，利用菱形的性质和直角三角形的性质可求解．
42．如图，直线y=﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线yx+3交y轴于点C，两直线相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线yx+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG=FG，且∠CGF=∠ABC时，求点G的坐标．
【答案】（1）解：根据题意可得： ，
解得： ，
∴点D坐标(2，4)
（2）解：∵直线y=﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，
∴点B(0，8)，点A(4，0)．
∵直线y x+3交y轴于点C，
∴点C(0，3)．
∵AE∥y轴交直线y x+3于点E，
∴点E(4，5)
∵点B(0，8)，点A(4，0)，点C(0，3)，点E(4，5)，
∴BC=5，AE=5，AC 5，BE 5，
∴BC=AE=AC=BE，
∴四边形ACBE是菱形
（3）解：∵BC=AC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠CGF=∠ABC，∠AGF=∠ABC+∠BFG=∠AGC+∠CGF，
∴∠AGC=∠BFG，且FG=CG，∠ABC=∠CAB，
∴△ACG≌△BGF(AAS)，
∴BG=AC=5，
设点G(a，﹣2a+8)，
∴(﹣2a+8﹣8)2+(a﹣0)2=52，
∴a=± ，
∵点G在线段AB上，
∴a ，
∴点G( ，8﹣2 )
【解析】【分析】(1)两个解析式组成方程组，可求交点D坐标； (2)先求出点A，点B，点E，点C坐标，由两点距离公式可求BC=AE=AC=BE=5，可证四边形ACBE是菱形； (3)由“AAS”可证△ACG≌△BGF，可得BG=AC=5，由两点距离公式可求点G坐标．
43．如图：已知直线y1＝kx＋b经过点A（5，0），B（1，4），与直线y2＝2x﹣4交于C点.
（1）求直线y1的解析式以及y2与x轴的交点D的坐标；
（2）求C点的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式y1＞y2＞0时x的取值范围.
【答案】（1）解：根据题意得：
解得
∴y1的解析式为y1= x+5，
在y2＝2x﹣4中令y2=0，则可得：
2x-4=0，
∴x=2，
∴D点坐标为（2，0）
（2）解：由题意可得：
解得
∴C(3，2)
（3）解：如图，分别过D和C作x轴的垂线l和m，
则两直线夹在l和m之间的部分满足y1＞y2＞0，此时2∴满足不等式y1＞y2＞0的x的取值范围为2【解析】【分析】（1）由题意把点A、B的坐标代入直线y1的解析式可得关于k、b的方程组可求得k、b的值；再令y2=0可求得点D的坐标；
（2）将直线y1和y2的解析式联立解方程组即可求得点C的坐标；
（3）分别过D和C作x轴的垂线l和m，则两直线夹在l和m之间的部分满足y1＞y2＞0，写出对应的x的范围即可.
44．某产品生产车间有工人10名，已知每名工人每天可生产甲种产品10个或乙种产品12个，且每生产一个甲种产品可获得利润100元，每生产一个乙种产品可获得利润150元．在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．
（1）求出此车间每天获取利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）若要使此车间每天获取利润为14800元，要派多少名工人去生产甲种产品？
（3）若要使此车间每天获取利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适？
【答案】（1）解：设每天安排x名工人生产甲种产品，则有（10-x）人生产乙产品，
y=10x×100+12（10-x）×150=-800x+18000，
答：每天获取利润y（元）与x（人）之间的函数关系式为y=-800x+18000；
（2）解：当y=14800时，即：-800x+18000=14800，
解得：x=4，
答：安排4人生产甲产品；
（3）解：由题意得：
-800x+18000≥15600，
解得：x≤3，
当x≤3时，10-x≥7，
因此至少要派7名工人生产乙产品．
【解析】【分析】（1）根据利润计算方法分别表示出甲产品、乙产品的利润，最后求和即得y，（2）把y=14800代入y与x的函数关系式，求出x的值，（3）列不等式求出x的取值范围，进而求出生产乙产品的人数的取值范围，确定至少安排乙产品的人数．
45．
（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（1，2）处．则①OA的长为　 　；②点B的坐标为　 　（直接写结果）；
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt△ACB如图放置，直角顶点
C(-1，0)，点A(0，4)，试求直线AB的函数表达式；
（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点B（4；3），过点B作BA y轴，垂足为点A；作BC x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线 上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt△APQ，若存在，请求出此时P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：如图2，过点B作 轴．
，
≌ ，
， ，
．
设直线AB的表达式为
将 和 代入，得
，
解得 ，
直线AB的函数表达式
（3）解：如图3，设 ，分两种情况：
当点Q在x轴下方时， 轴，与BP的延长线交于点 ．
，
，
在 与 中
≌
，
， ，
，
解得
此时点P与点C重合，
；
当点Q在x轴上方时， 轴，与PB的延长线交于点 ．
同理可证 ≌ ．
同理求得
综上，P的坐标为： ，
【解析】【解答】(1)如图1，作 轴， 轴．
，
， ，
，
≌ ，
， ，
．
故答案为 ， ；
【分析】（1）由 可得， ， ， ，易证 ≌ ， ， ，因此 ；（2）同（1）可证 ≌ ， ， ， ，求得 最后代入求出一次函数解析式即可；（3）分两种情况讨论 当点Q在x轴下方时， 当点Q在x轴上方时 根据等腰 构建一线三直角，从而求解．
46．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．
（1）请判断：FG与CE的数量关系和位置关系；（不要求证明）
（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；
（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
【答案】（1）解：结论：FG=CE，FG∥CE．理由：如图1中，设DE与CF交于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，
在△CBF和△DCE中，
，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC
（2）解：结论仍然成立．理由：如图2中，设DE与CF交于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，
在△CBF和△DCE中，
，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形．
∴GF=EC，
∴GF=EC，GF∥EC
（3）解：结论仍然成立．理由：如图3中，设DE与FC的延长线交于点M．
∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，∴∠CBF=∠DCE=90°在△CBF和△DCE中， ，∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE
∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．
【解析】【分析】（1）结论：FG=CE，FG∥CE．如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可。
（2）结论仍然成立．如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．
（3）结论仍然成立．如图3中，设DE与FC的延长线交于点M，证明方法类似．
47．为有效预防传染病的传播，学校需购买甲、乙两种消毒液每天对班级进行消杀工作，经了解，每桶甲种消毒液的售价比乙种消毒液的售价多10元，学校用600元和400元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的售价分别是每桶多少元；
（2）由于消杀工作的需要，学校需再次购买两种消毒液共500桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数，求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少，最少总金额是多少元？
（3）商家决定对甲、乙两种消毒液打九折销售，在（2）中所需资金总额最少的条件下，学校用节省下来的钱全部购进A，B两种高压喷壶．已知A种高压喷壶50元/个，B种高压喷壶80元/个，请直接写出购进方案．
【答案】（1）解：设乙种消毒液的售价为 元，则甲种消毒液的售价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：甲种消毒液的零售价为 元，乙种消毒液的零售价为 元；
（2）解：设甲种消毒液购买 桶，则乙种消毒液购买 桶，
由题意得： ≥ ，
解得： ≥ ，
设所需资金总额为 元，则 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 取得最小值，最小值 ，
答：当甲种消毒液购买 桶时，所需资金总额最少，最少总金额是 元；
（3）解：学校节省下来的钱为： （元），
设购进 种高压喷壶 个， 种高压喷壶 个，
由题意得： ，
整理得： ，
∵ 、 均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴购进方案有 种：
①购进 种高压喷壶 个， 种高压喷壶 个；
②购进 种高压喷壶 个， 种高压喷壶 个；
③购进 种高压喷壶 个， 种高压喷壶 个．
【解析】【分析】（1）根据每桶甲种消毒液的售价比乙种消毒液的售价多10元，学校用600元和400元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，找出等量关系列方程求解即可；
（2）根据题意先求出 ≥ ， 再求出 ， 最后求解即可；
（3）根据题意先求出 学校节省下来的钱为1250元，再求出 ， 最后求解即可。
48．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点B，交y轴于点A，点P为直线上一点，点P的横坐标为．
（1）求点B的坐标；
（2）过P作轴于H，连接，点C在线段上，点D是x轴正半轴上一点，若，设的面积为S，求S与m之间的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，且交延长线于点E，连接，当、时，求k的值．
【答案】（1）解：直线交x轴于点B
当时，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点作轴，使得，垂足为，连接，，
∵轴，轴
∴，
∵
∴
又∵
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
（3）解：∵
∴
∵
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，取点，使得，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
过点作轴，垂足分别为，
∴
∴，
过点作，则是等腰直角三角形，，
∴
∴
∴
设，则，
∵，
∴
∴
在中，
∴，
则
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【解析】【分析】（1）先求出当时， ，再求出x=11，最后求点的坐标即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后利用平行四边形的判定与性质证明求解即可；
（3）结合函数图象，利用相似三角形的判定与性质，锐角三角函数计算求解即可。
49．如图，将一个长方形OABC纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，，，将长方形折叠后，点B恰好落在OA边上的点E处，折痕所在直线经过点C且与AB边交于点D，与x轴的正半轴交于点F．
（1）求点D的坐标及直线CD的解析式；
（2）点P是线段CF上的一个动点，若OP将△COF的面积分为1：2两部分，求点P的坐标．
【答案】（1）解：折痕CD是四边形EDBC的对称轴，且矩形边，，
∴在Rt△COE中，CE=BC=5，OC=4，
由勾股定理，得OE=，
AE=OA-OE=5-3=2，
依题意可设D（5，t），则AD=t，DE=BD=4-t，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2+AD2=DE2，
，
解得：，
D（5，）；
设D、C两点所在的直线的解析式为y=kx+b
则
解得 ，
∴直线DC所在的直线的解析式为：．
（2）解：∵点P在直线CD上，
∴设P（m，），
∵点F是直线CD与x轴的交点，
∴，
解得：x=8，
∴F（8，0），
∴S△COF=，
①当S△COP：S△FOP=2：1时，则S△COP=，
∴，
解得：，
∴=，
∴；
②当S△COP：S△FOP=1：2时，则S△COP=，
∴，
解得：，
∴=，
∴；
∴P点的坐标为或．
【解析】【分析】（1）设D（5，t），则AD=t，DE=BD=4-t，利用勾股定理可得，求出t的值，即可得到点D的坐标，再利用待定系数法求出直线DC的解析式；
（2）分两种情况：①当S△COP：S△FOP=2：1时，则S△COP=，②当S△COP：S△FOP=1：2时，则S△COP=，再分别求解即可。
50．如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为（4，3）
（1）顶点C的坐标为（　 　，　 　），顶点B的坐标为（　 　，　 　）；
（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，当运动时间为2秒时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时k的值．
（3）若正方形OABC以每秒 个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落到x轴上时停止下滑．设正方形OABC在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．
【答案】（1）﹣3；4；1；7
（2）解：由题意得，AO=CO=BC=AB=5，
当t=2时，CP=2．
①当点Q在OA上时，∵PQ≥AB＞PC，
∴只存在一点Q，使QC=QP．
作QD⊥PC于点D（如图2中），则CD=PD=1，
∴QA=2k=5﹣1=4，
∴k=2．②当点Q在OC上时，由于∠C=90°所以只存在一点Q，使CP=CQ=2，
∴2k=10﹣2=8，∴k=4．
综上所述，k的值为2或4
（3）解：①当点A运动到点O时，t=3．
当0＜t≤3时，设O’C’交x轴于点E，作A’F⊥x轴于点F（如图3中）．
则△A’OF∽△EOO’，
∴ = = ，OO′= t，
∴EO′= t，
∴S= t2．②当点C运动到x轴上时，t=4
当3＜t≤4时（如图4中），设A’B’交x轴于点F，
则A’O=A′O= t﹣5，
∴A′F= ．
∴S= （ + t）×5= ．
综上所述，S=
【解析】【解答】解：（1）如图1中，作CM⊥x轴于，AN⊥x轴于N．连接AC、BO交于点K．
易证△AON≌△COM，可得CM=ON=4，OM=AN=3，
∴C（﹣3，4），∵CK=AK，OK=BK，
∴K（ ， ），B（1，7），
故答案为﹣3，4，1，7
【分析】（1）如图1中，作CM⊥x轴于，AN⊥x轴于N．连接AC、BO交于点K．易证△AON≌△COM，可得CM=ON=4，OM=AN=3，推出C（﹣3，4），由CK=AK，OK=BK，可得K（ ， ），B（1，7）．（2）分两种情形①当点Q在OA上时．②当点Q在OC上时．分别计算即可．（3）分两种情形①当点A运动到点O时，t=3，当0＜t≤3时，设O’C’交x轴于点E，作A’F⊥x轴于点F（如图3中）．②当点C运动到x轴上时，t=4当3＜t≤4时（如图4中），设A’B’交x轴于点F．分别求解即可．
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