6.1 平行四边形的性质 培优练习-2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·广东期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（ ）
A．四边形由矩形变为平行四边形
B．对角线的长度增大
C．四边形的面积不变
D．四边形的周长不变
2．（ 湖南省永州市新田县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题）下列命题中，正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．平行四边形是轴对称图形 D．三角形的外角和是
3．（湖南省长沙市梨江中学2024-2025学年八年级下学期数学期中考试卷）如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB=CD B．AO=CO C．AC=BD D．BO=DO
4．（2025八下·龙泉期中）已知，如图，在中，是AD上方任意一点。若的面积为4，的面积为的面积为10，则的面积为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
5．（四川省广元市利州区2024--2025学年下学期八年级期中质量检测数学试卷）如图，在中，，，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．（2025八下·宜宾期中）如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，当该直线将平行四边形的面积平分时向下平移的时间为（ ）
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
7．（浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如图，在中，，点E为边上一点，将沿直线翻折，点A落在点F处，则等于（ ）
A． B．
C． D．无法判断，与点E的位置有关
8．（2025八下·温州期中） 如图，在中， AC， BD相交于点O， 过点A作， ， . 记BE长为x， BO长为。当x， y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．xy B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2025八下·前郭尔罗斯期中）如图，在中，过点A作于点E．若，则的大小是 度．
10．（2025八下·环江期中）如图，以对角线的交点O为原点，平行于边的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若A点坐标为，则C点坐标为 ．
11．（浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如图，是由，，，无缝拼接而成，，，则四边形的面积为 ．
12．（2025八下·娄底期中）如图，在中，平分交于点F，平分交于点E，若，，则的长度为 ．
13．（2025八下·浙江期中）如图，在平行四边形ABCD中，将△ACD沿着AC所在的直线折叠得到△ACD'，AD'交BC于点E，连结 BD'，若∠ABC=60°，∠DAC=45°，AB=2，则 BD'的长是 .
14．（2025八下·东坡期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向B运动，两点同时出发，当点Q运动到点B时，点P也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当 时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．
三、证明题（共5题，共43分）
15．（2024八下·惠城期末）如图，在 ABCD中，点N、M分别在边AB、CD上，若∠BCN＝∠DAM．求证：BN＝DM．
16．（2024八下·惠阳期中）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．求证：BE＝DF．
17．（2025八下·渌口月考）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
18．（2024八下·萧山期中）如图，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
19．如图， 在平行四边形 中， 平分 ， 交 于点 ， 且 ， 延长 与 的延长线交于点 ． 求证：
（1） 是等边三角形．
（2） ．
（3） ．
四、实践探究题（共15题）
20．（2024八下·惠东期末）【综合探究】
在平面直角坐标系中，点、，点为线段的中点，则线段的中点的坐标为
（1）如图1，已知点、，则线段的中点坐标为_________；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点、的直线交轴于点，交轴于点，图中点为轴上的动点，当时，求点的坐标．
（3）如图3，在（1）（2）的条件下，且点在轴的负半轴时，点是轴上的动点，点是直线上的动点，存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为______________________．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；中心对称及中心对称图形
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，AD//BC，AB//CD，
∴EN⊥AD，EP⊥CD，
设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，
∴EM=EN+MN=k+h，
HP=EP+EH=m+n，
∵△ADE的面积为4，△EBC的面积为16，
∴，，
∴，，
∴ak=8，ak+ah=32，
∴ah=24，
∵△ECD的面积为10，
∴，
∴，
∴bm=20，
∵平行四边形ABCD面积为：BC·MN=AB·HP，
∴ah=b(m+n)=bm+bn，
∴bn=ah-bm=24-20=4，
∴△ABE的面积为：
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，根据平行四边形性质设AD=BC=a，AB=CD=b，再设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，则EM=k+h，HP=m+n，由已知得ak=8，ak+ah=32，bm=20，ah=24，然后根据平行四边形ABCD面积公式得ah=b(m+n)=bm+bn，由此得bn=4，进而根据三角形的面积公式即可得出△ABE的面积.
5．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；一次函数图象的平移变换
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：在中，，
，
如图，过点作，
，
，
，
，
将沿直线翻折，点A落在点F处，
，
，
故选：A．
【分析】
由折叠和平行四边形的性质知，由于AB//CD，可过点F作FM//AB，则FM//CD，由两直线平行内错角相等可得恰好等于.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG⊥BG交BC的延长线于点G
∵在中，AE⊥BC，AF⊥BD
∴
∴∵AE=2AF ∴BD=2BC ∵平行四边形的对角线互相平分 ∴OB=BC
∵BE=x，BO=y ∴EC=y-x，BD=2y
∵∴
易证得∴CG=BE=x，AE=DG，BG=x+y
在中，
在中，
∵AE=DG
∴ ，解得 4x=2y，即.
故答案为：B.
【分析】由已知条件中的垂直关系，联系等面积法，找到平行四边形中线段之间的数量关系，即OB=BC，再通过平行四边形对边相等，构造全等三角形，，最后结合勾股定理以及全等三角形的对应边相等，探索当x与y的值发生变化时，仍保持不变的运算结果。
9．【答案】35
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的性质
10．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
11．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设点A、点B到线段的距离分别为和，
∵，，
∴，则，
∵，，
∴，则，
∴，则，
那么，，
设，，则，，
∵，
∴，
则
，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查四边形面积公式和比值的应用，设点A、点B到线段的距离分别为和，根据已知面积和四边形面积公式求得和，进一步求得，则，设，，则，，，结合求得，则即可求得．
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2，
∴AB=CD=2，AD=BC，∠D=∠ABC=60°，AD//BC，
∴∠BCA=∠DAC=45°.
∵ △ACD沿着AC所在的直线折叠得到△ACD'，
∴AD'=AD=BC，∠D=∠AD'C=60°，∠D'AC=∠BCA=45°.
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AE=CE，AD'⊥BC.
∴BC－EC=D'A－EA，即BE=DE.
在Rt△AEB中，AB=2，∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】证明△ACE是等腰直角三角形，可得AE=CE，AD'⊥BC.于是可结合平行四边形和折叠的性质得BE=DE.先利用含30°角的直角三角形的性质求得BE的长，再利用勾股定理，即可得到BD'的值.
14．【答案】或4或2或3
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
15．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，BC＝DA，
在和中，
，
∴≌（ASA），
∴BN＝DM．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】先利用平行线的性质可得∠B＝∠D，BC＝DA，再利用“ASA”证出≌，最后利用全等三角形的性质可得BN＝DM．
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣FO，
∴EO＝FO，
在△BOE和△DOF中，
∵，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE＝DF
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再根据线段的和差可得EO=FO，最后根据SAS定理证明△BOE≌△DOF即可得出结论．
17．【答案】（1）证明：因为四边形是平行四边形，
所以
又因为E是的中点，
所以是的中位线，
所以
（2）解：由（1）是的中位线，
所以
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分可证得可得，然后证明出是的中位线，即可得到；
（2）根据三角形中位线定理求解即可．
（1）证明：因为四边形是平行四边形，
所以
又因为E是的中点，
所以是的中位线，
所以；
（2）解：由（1）是的中位线，
所以．
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
在△AOE和△COF中
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF
（2）解：由（1）得OE=OF=3.5，
∴EF=7，
∵AD∥BC，EF⊥AD，
∴EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，
∵四边形ABCD的面积为63，
∴，
∴AD=9．
答：AD的长为9
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AO=CO，AD∥BC，则∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，结合已知，用角角边即可证△AOE≌△COF，由全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”即可求解；
（2）由（1）中的全等三角形可得OE=OF=3.5，得到EF=7，再由AD∥BC，EF⊥AD，得到EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，然后根据平行四边形面积公式计算即可求解．
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）解：由（1）得OE=OF=3.5，
∴EF=7，
∵AD∥BC，EF⊥AD，
∴EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，
∵四边形ABCD的面积为63，
∴，
∴AD=9．
19．【答案】（1）证明：由平行四边形 得，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，
又∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，
又∵AB＝AE，∴AB＝AE＝BE，∴△ABE是等边三角形。
（2）证明：∵△ABE是等边三角形，
（3）证明：∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
又∵△AEC与△DEC同底等高，
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（1）先证明∠BAE＝∠AEB得AB＝BE，结合已知条件得出三边相等，证得结论。
（2）根据平行四边形的性质得出BC＝AD，再根据（1）中结论和已知条件可推得结论。
（3）先证明△FCD和△ABC的面积相等，△AEC和△DEC的面积相等，根据等量减等量差相等推导出结论。
20．【答案】（1）
（2）或
（3）或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；四边形-动点问题；坐标系中的中点公式
1 / 16.1 平行四边形的性质 培优练习-2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·广东期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（ ）
A．四边形由矩形变为平行四边形
B．对角线的长度增大
C．四边形的面积不变
D．四边形的周长不变
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
2．（ 湖南省永州市新田县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题）下列命题中，正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．平行四边形是轴对称图形 D．三角形的外角和是
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；中心对称及中心对称图形
3．（湖南省长沙市梨江中学2024-2025学年八年级下学期数学期中考试卷）如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB=CD B．AO=CO C．AC=BD D．BO=DO
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
4．（2025八下·龙泉期中）已知，如图，在中，是AD上方任意一点。若的面积为4，的面积为的面积为10，则的面积为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，AD//BC，AB//CD，
∴EN⊥AD，EP⊥CD，
设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，
∴EM=EN+MN=k+h，
HP=EP+EH=m+n，
∵△ADE的面积为4，△EBC的面积为16，
∴，，
∴，，
∴ak=8，ak+ah=32，
∴ah=24，
∵△ECD的面积为10，
∴，
∴，
∴bm=20，
∵平行四边形ABCD面积为：BC·MN=AB·HP，
∴ah=b(m+n)=bm+bn，
∴bn=ah-bm=24-20=4，
∴△ABE的面积为：
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，根据平行四边形性质设AD=BC=a，AB=CD=b，再设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，则EM=k+h，HP=m+n，由已知得ak=8，ak+ah=32，bm=20，ah=24，然后根据平行四边形ABCD面积公式得ah=b(m+n)=bm+bn，由此得bn=4，进而根据三角形的面积公式即可得出△ABE的面积.
5．（四川省广元市利州区2024--2025学年下学期八年级期中质量检测数学试卷）如图，在中，，，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
6．（2025八下·宜宾期中）如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，当该直线将平行四边形的面积平分时向下平移的时间为（ ）
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；一次函数图象的平移变换
7．（浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如图，在中，，点E为边上一点，将沿直线翻折，点A落在点F处，则等于（ ）
A． B．
C． D．无法判断，与点E的位置有关
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：在中，，
，
如图，过点作，
，
，
，
，
将沿直线翻折，点A落在点F处，
，
，
故选：A．
【分析】
由折叠和平行四边形的性质知，由于AB//CD，可过点F作FM//AB，则FM//CD，由两直线平行内错角相等可得恰好等于.
8．（2025八下·温州期中） 如图，在中， AC， BD相交于点O， 过点A作， ， . 记BE长为x， BO长为。当x， y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．xy B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG⊥BG交BC的延长线于点G
∵在中，AE⊥BC，AF⊥BD
∴
∴∵AE=2AF ∴BD=2BC ∵平行四边形的对角线互相平分 ∴OB=BC
∵BE=x，BO=y ∴EC=y-x，BD=2y
∵∴
易证得∴CG=BE=x，AE=DG，BG=x+y
在中，
在中，
∵AE=DG
∴ ，解得 4x=2y，即.
故答案为：B.
【分析】由已知条件中的垂直关系，联系等面积法，找到平行四边形中线段之间的数量关系，即OB=BC，再通过平行四边形对边相等，构造全等三角形，，最后结合勾股定理以及全等三角形的对应边相等，探索当x与y的值发生变化时，仍保持不变的运算结果。
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2025八下·前郭尔罗斯期中）如图，在中，过点A作于点E．若，则的大小是 度．
【答案】35
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的性质
10．（2025八下·环江期中）如图，以对角线的交点O为原点，平行于边的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若A点坐标为，则C点坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
11．（浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如图，是由，，，无缝拼接而成，，，则四边形的面积为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设点A、点B到线段的距离分别为和，
∵，，
∴，则，
∵，，
∴，则，
∴，则，
那么，，
设，，则，，
∵，
∴，
则
，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查四边形面积公式和比值的应用，设点A、点B到线段的距离分别为和，根据已知面积和四边形面积公式求得和，进一步求得，则，设，，则，，，结合求得，则即可求得．
12．（2025八下·娄底期中）如图，在中，平分交于点F，平分交于点E，若，，则的长度为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
13．（2025八下·浙江期中）如图，在平行四边形ABCD中，将△ACD沿着AC所在的直线折叠得到△ACD'，AD'交BC于点E，连结 BD'，若∠ABC=60°，∠DAC=45°，AB=2，则 BD'的长是 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2，
∴AB=CD=2，AD=BC，∠D=∠ABC=60°，AD//BC，
∴∠BCA=∠DAC=45°.
∵ △ACD沿着AC所在的直线折叠得到△ACD'，
∴AD'=AD=BC，∠D=∠AD'C=60°，∠D'AC=∠BCA=45°.
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AE=CE，AD'⊥BC.
∴BC－EC=D'A－EA，即BE=DE.
在Rt△AEB中，AB=2，∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】证明△ACE是等腰直角三角形，可得AE=CE，AD'⊥BC.于是可结合平行四边形和折叠的性质得BE=DE.先利用含30°角的直角三角形的性质求得BE的长，再利用勾股定理，即可得到BD'的值.
14．（2025八下·东坡期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向B运动，两点同时出发，当点Q运动到点B时，点P也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当 时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．
【答案】或4或2或3
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
三、证明题（共5题，共43分）
15．（2024八下·惠城期末）如图，在 ABCD中，点N、M分别在边AB、CD上，若∠BCN＝∠DAM．求证：BN＝DM．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，BC＝DA，
在和中，
，
∴≌（ASA），
∴BN＝DM．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】先利用平行线的性质可得∠B＝∠D，BC＝DA，再利用“ASA”证出≌，最后利用全等三角形的性质可得BN＝DM．
16．（2024八下·惠阳期中）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．求证：BE＝DF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣FO，
∴EO＝FO，
在△BOE和△DOF中，
∵，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE＝DF
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再根据线段的和差可得EO=FO，最后根据SAS定理证明△BOE≌△DOF即可得出结论．
17．（2025八下·渌口月考）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：因为四边形是平行四边形，
所以
又因为E是的中点，
所以是的中位线，
所以
（2）解：由（1）是的中位线，
所以
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分可证得可得，然后证明出是的中位线，即可得到；
（2）根据三角形中位线定理求解即可．
（1）证明：因为四边形是平行四边形，
所以
又因为E是的中点，
所以是的中位线，
所以；
（2）解：由（1）是的中位线，
所以．
18．（2024八下·萧山期中）如图，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
在△AOE和△COF中
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF
（2）解：由（1）得OE=OF=3.5，
∴EF=7，
∵AD∥BC，EF⊥AD，
∴EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，
∵四边形ABCD的面积为63，
∴，
∴AD=9．
答：AD的长为9
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AO=CO，AD∥BC，则∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，结合已知，用角角边即可证△AOE≌△COF，由全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”即可求解；
（2）由（1）中的全等三角形可得OE=OF=3.5，得到EF=7，再由AD∥BC，EF⊥AD，得到EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，然后根据平行四边形面积公式计算即可求解．
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）解：由（1）得OE=OF=3.5，
∴EF=7，
∵AD∥BC，EF⊥AD，
∴EF的长即为平行四边形ABCD中AD边上的高，
∵四边形ABCD的面积为63，
∴，
∴AD=9．
19．如图， 在平行四边形 中， 平分 ， 交 于点 ， 且 ， 延长 与 的延长线交于点 ． 求证：
（1） 是等边三角形．
（2） ．
（3） ．
【答案】（1）证明：由平行四边形 得，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，
又∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，
又∵AB＝AE，∴AB＝AE＝BE，∴△ABE是等边三角形。
（2）证明：∵△ABE是等边三角形，
（3）证明：∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
又∵△AEC与△DEC同底等高，
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（1）先证明∠BAE＝∠AEB得AB＝BE，结合已知条件得出三边相等，证得结论。
（2）根据平行四边形的性质得出BC＝AD，再根据（1）中结论和已知条件可推得结论。
（3）先证明△FCD和△ABC的面积相等，△AEC和△DEC的面积相等，根据等量减等量差相等推导出结论。
四、实践探究题（共15题）
20．（2024八下·惠东期末）【综合探究】
在平面直角坐标系中，点、，点为线段的中点，则线段的中点的坐标为
（1）如图1，已知点、，则线段的中点坐标为_________；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点、的直线交轴于点，交轴于点，图中点为轴上的动点，当时，求点的坐标．
（3）如图3，在（1）（2）的条件下，且点在轴的负半轴时，点是轴上的动点，点是直线上的动点，存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为______________________．
【答案】（1）
（2）或
（3）或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；四边形-动点问题；坐标系中的中点公式
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