6.2 平行四边形的判定 培优练习-2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题(每题3分,共24分)
1.(2025八下·慈利期中)根据所标数据,不能判断下列四边形是平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
2.(2025八下·惠城期中)已知四边形,下列条件不能判断它是平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
3.(2025八下·路桥期中)下列命题正确的是( )
A.平行四边形的两条对角线互相垂直
B.对角线相等的平行四边形是菱形
C.平行四边形的四条边相等
D.四个角相等的四边形是矩形
4.(2025八下·诸暨期中)如图,是的边延长线上一点,连接,,,交于点.添加以下条件,不能判定四边形为平行四边形的是( )
A. B. C. D.
5.(广西南宁市第三十七中学2024-2025学年八年级下学期4月第一次月考数学试卷)在等边三角形中,,射线,点从点出发,沿射线以的速度运动,同时点从点出发,沿射线以的速度运动,设运动时间为,当以为顶点的四边形是平行四边形时,的值为( )
A.2 B.3 C.2或6 D.3或6
6.(2024八下·泉州月考)如图,已知,用尺规进行如下操作:①以点B为圆心,长为半径画弧;②以点D为圆心,长为半径画弧;③两弧在上方交于点C,连接.可直接判定四边形为平行四边形的条件是( )
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等
7.(2024八下·金沙期末)如图,在中,对角线与相交于点,要在对角线上找点,,分别连接,,,,使四边形为平行四边形.现有甲、乙两种方案,下列说法正确的是( )
甲方案:只需要满足;
乙方案:只需要满足.
A.只有甲方案正确 B.只有乙方案正确
C.甲、乙方案都正确 D.甲、乙方案都不正确
8.如图, 在 中, 分别是边 的中点, 分别交 于点 . 有下列结论: ①, ②, ③, ④. 其中正确结论的个数为( )
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
二、填空题(每题3分,共18分)
9.(2025八下·惠城期中)如图,在中,点,在对角线上,连接,,,,请添加一个条件 (1) 使四边形是平行四边形.
10.(2025八下·娄底期中)如图,四边形是由四边形的各边中点依次连接而形成的四边形,则四边形一定是 .
11.(2025八下·苏州月考)如图,若:、、的面积分别为、、,则阴影部分的面积是 .
12.(四川省自贡市富顺县第二中学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠DCB=90°,且BC=2AD,分别以AB、BC、DC为边向外作正方形,它们的面积分别为S1、S2、S3.若S2=48,S3=9,则S1的值为 (1) .
13.(2025八下·龙港期中) 如图,点G是等边三角形ABC内任意一点,GD//BC,GE//AC,GF//AB,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,AB=6,则DG+EG+FG= .
14.(浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题)如图,在平行四边形中,,,平分,,G是的中点,连接,则 (1) .
三、证明题(共5题,共43分)
15.(2025八下·东莞期中)如图,的对角线,相交于点,,是上的两个点,并且,求证:四边形是平行四边形.
16.(2024八下·从江月考)如图所示,在平行四边形AECF中,对角线AC,EF相交于点O,点B,D在对角线EF所在直线上,且BE=DF.
(1)试说明四边形ABCD是平行四边形;
(2)若AC=8,AB=6,AC⊥AB,求线段BD的长.
17.(2025八下·路桥期中)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)求证:四边形ABCD是平行四边形.
18.(2025八下·来宾期中)如图,在中,点、分别是、的中点,连接,过点作交的延长线于点,连接.
(1)求证:.
(2)直接写出与的数量关系.
(3)若,,,求的长.
19.(2024八下·沾化期末)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形的边边,,,P、Q分别是边、上的动点,点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动,同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动,当其中一点到达终点时,两点都停止运动,设运动时间为.
(1)点B的坐标为___________;
(2)连接、交于点E,过Q点作于D,当___________时,D、E、P三点在一条直线上;
(3)当点P运动到的中点时,在平面内找一点M,使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形,则点M的坐标为___________.
四、实践探究题(共15分)
20.(2024八下·铁锋期中)综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,A是y轴的正半轴上一点,点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上,的长满足,过点B作直线的垂线,交于点D.
(1)求点A、点B、点C的坐标;
(2)求线段的长;
(3)在平面内是否存在一点P,使以A,B,C,P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
2.【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质;平行四边形的判定
3.【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质;菱形的判定;矩形的判定;真命题与假命题
【解析】【解答】解:A、平行四边形的两条对角线互相平分,而菱形的对角线才互相垂直,故结论错误;
B、对角线相等的平行四边形是矩形,而不是菱形,故结论错误;
C、平等四边形的对边相等,而菱形的四条边才相等,故结论错误;
D、由于四边形的内角和是360度,当四个角相等时每一个角都是90度,则四边形肯定是矩形,故结论正确.
故答案为:D.
【分析】平行四边形的对边平行且相等,对角线互相平分,对角相等、邻角互补;菱形、矩形都是特殊的平行四边形,它们都具有平行四边形的所有性质,但区别在于菱形的四条边相等,对角线互相垂直;而矩形的四个角都是直角,对角线相等,注意区别.
4.【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解:A、添加条件BD=CE,无法证明四边形BCED为平行四边形,符合题意;
B、∵ ABCD,
∴AE//BC,AD=BC,
∵AD=DE,
∴四边形BCED为平行四边形,故B不符合题意;
C、∵ ABCD,
∴AE//BC,
∵BD//CE,
∴四边形BCED为平行四边形,故C不符合题意;
∵ ABCD,
∴AE//BC,
∵∠BDC=∠ECD
∴BD//CE,
∴四边形BCED为平行四边形,故D不符合题意;
故答案为:A.
【分析】添加条件BD=CE,无法得到四边形BCED为平行四边形,A符合题意;
添加条件AD=DE后,证明DE=BC,根据DE//BC,进而可得结论,B不符合题意;
添加条件BD//CE,根据AE//BC,从而证明结论,C不符合题意;
添加条件∠BDC=∠ECD,可证BD//CE,根据AE//BC进而证明结论,D不符合题意.
5.【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
6.【答案】B
【知识点】平行四边形的判定;尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解:根据作法可以发现,,
则两组对边分别相等,那么,四边形为平行四边形,
故答案为:B.
【分析】根据尺规作图方法“ 以点B为圆心,长为半径画弧 ”可得,“ 以点D为圆心,长为半径画弧”,可得CD=AB,则判定四边形为平行四边形的依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.
7.【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解:甲方案:在 ABCD中,OA=OC,OB=OD.
∵BF=DE,
∴BF-EF=DE-EF,即BE=DF.
∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF.
在四边形AECF中,∵OA=OC,OE=OF,
∴四边形AECF为平行四边形.
故该方案符合题意.
乙方案:在 ABCD中,OA=OC,∠AOE=∠COF.
∵AE∥CF,
∴∠EAO=∠FCO.
在△AOE与△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴AE=CF.
在四边形AECF中,∵AE∥CF、AE=CF,
∴四边形AECF为平行四边形.
故该方案符合题意.
观察选项,选项C符合题意.
故答案为:C.
【分析】甲方案:根据平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC,OB=OD;结合BF=DE推知OE=OF;在四边形AECF中,对角线互相平分,则该四边形是平行四边形;
乙方案:首先证明△AOE≌△COF,然后由该全等三角形的对应边相等推知AE=CF,则由“AE∥CF、AE=CF”可以判定四边形AECF为平行四边形.
8.【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵点M、N分别是AB与CD的中点,
∴AM=CN=AB=CD,AM∥CN,
∴四边形AMCN是平行四边形,
∴AN∥CM,AN=CM,
在△ABP中,点M是AB的中点,且MQ∥AP,
∴BQ=PQ,MQ=AP,
同理PD=PQ,
∴PD=PQ=BQ,故①正确;
∵AB∥CD,
∴∠ABP=∠CDQ,
在△ABP与△CDQ中,
∵AB=CD,∠ABP=∠CDQ,BP=DQ,
∴△ABP≌△CDQ,
∴AP=CQ,故②正确;
∵AP=CQ,MQ=AP,
∴MQ=CQ,即CQ=2MQ,故③正确;
∵BQ=PQ=PD,
∴PD=BD,
∴S△APD=S△ABD,
∵S△ABD=S平行四边形ABCD,
∴S△APD=×S平行四边形ABCD=S平行四边形ABCD,故④错误,
综上正确的有①②③共3个.
故答案为:B.
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD,AB=CD,根据中点定义可推出AM∥CN且AM=CN,由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AMCN是平行四边形,得AN∥CM,AN=CM,然后根据三角形的中位线定理可得BQ=PQ,MQ=AP,PD=PQ,据此可判断①;用SAS证△ABP≌△CDQ,得AP=CQ,可判断②;由AP=CQ,MQ=AP,可得CQ=2MQ,据此可判断③;由同高三角形的面积之间的关系等于对应底之间的关系得S△APD=S△ABD,由平行四边形的性质可得S△ABD=S平行四边形ABCD,据此即可判断④.
9.【答案】(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
10.【答案】平行四边形
【知识点】平行四边形的判定;三角形的中位线定理
11.【答案】15.5
【知识点】平行四边形的判定与性质
12.【答案】3
【知识点】勾股定理;平行四边形的判定与性质
13.【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图,延长FG交BC于点H,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,AB=BC=6,
∵GF∥AB,GE∥AC,
∴∠GHE=∠B=60°,∠GEH=∠C=60°,
∴△GEH与△FCH都是等边三角形,
∴GE=GH,FH=HC,
∴HF=GF+GH=GF+GE=HC
∵GD∥BC,FH∥AB,
∴四边形BDGH是平行四边形,
∴DG=BH,
∴DG+EG+FG=BH+HC=BC=6.
故答案为:6.
【分析】延长FG交BC于点H,由等边三角形的性质得∠B=∠C=60°,AB=BC=6,由二直线平行,同位角相等得∠GHE=∠B=60°及∠GEH=∠C=60°,由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△GEH与△FCH都是等边三角形, 由等边三角形的三边相等得GE=GH,FH=HC,从而根据线段和差及等量代换可得GF+GE=HC;由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BDGH是平行四边形,由平行四边形的对边相等得DG=BH,从而根据线段和差及等量代换可得DG+EG+FG=BH+HC=BC,此题得解.
14.【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线
15.【答案】证明:∵四边形是平行四边形,
∴,
∵,
∴,
即,
∴四边形是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出,再求出OE=OF,最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可。
16.【答案】(1)证明:∵四边形AECF是平行四边形,
∴OA=OC,OE=OF.
又∵BE=DF,
∴OB=OD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
(2)解:∵AO=CO,AC=8,
∴AO=4.
∵AB=6,AC⊥AB,
∴BO===2.
∴BD=2BO=4.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形对角线互相平分,再结合已知条件得出OE=OF,OA=OC,再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证得结论,
(2)可判定△AOB是直角三角形,结合平行四边形对角线互相平分的性质及勾股定理可计算出OB,BD.
17.【答案】(1)证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵AB=CD,AE=CF,
∴△ABE≌△CDF.
(2)证明:∵△ABE≌△CDF,
∴∠ABE=∠CDF,
∴AB∥CD.
∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL;平行四边形的判定;全等三角形中对应边的关系;全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)由于AE=CF,AB=CD,可利用垂直的概念得△ABE和△CDF都是直角三角形,则直接应用HL定理即可证明两三角形全等;
(2)由全等三角形的性质可得∠ABE=∠CDF,则内错角相等两直线平行,即AB//CD,又AB=CD,则四边形ABCD是平行四边形.
18.【答案】(1)证明:点、分别是、的中点,
是的中位线,
,
又,
四边形为平行四边形,
;
(2)
(3)解:由(1)得是的中位线,
∴,,
,
点是的中点,
,
∵,,
,
在中,根据勾股定理,,
,
由(1)得四边形为平行四边形,
.
【知识点】平行线的性质;勾股定理;平行四边形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】(2)解:由(1)得是的中位线,四边形为平行四边形,
∴;
【分析】(1)根据中位线的判定和性质得出,再根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形,则CD=AF,即可求出答案.
(2)根据三角形中位线定理及平行四边形性质即可求出答案.
(3)根据三角形中位线定理可得,,根据中点可得,根据直线平行性质可得,再根据勾股定理可得AF,再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
(1)证明:点、分别是、的中点,
是的中位线,
,
又,
四边形为平行四边形,
;
(2)解:由(1)得是的中位线,四边形为平行四边形,
∴;
(3)解:由(1)得是的中位线,
∴,,
,
点是的中点,
,
∵,,
,
在中,根据勾股定理,,
,
由(1)得四边形为平行四边形,
.
19.【答案】(1)
(2)4
(3)或或
【知识点】坐标与图形性质;三角形全等及其性质;等腰三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质
20.【答案】(1),,
(2)
(3)存在,点P的坐标为或或
【知识点】坐标与图形性质;勾股定理;平行四边形的判定;算术平方根的性质(双重非负性)
1 / 16.2 平行四边形的判定 培优练习-2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题(每题3分,共24分)
1.(2025八下·慈利期中)根据所标数据,不能判断下列四边形是平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
2.(2025八下·惠城期中)已知四边形,下列条件不能判断它是平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质;平行四边形的判定
3.(2025八下·路桥期中)下列命题正确的是( )
A.平行四边形的两条对角线互相垂直
B.对角线相等的平行四边形是菱形
C.平行四边形的四条边相等
D.四个角相等的四边形是矩形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质;菱形的判定;矩形的判定;真命题与假命题
【解析】【解答】解:A、平行四边形的两条对角线互相平分,而菱形的对角线才互相垂直,故结论错误;
B、对角线相等的平行四边形是矩形,而不是菱形,故结论错误;
C、平等四边形的对边相等,而菱形的四条边才相等,故结论错误;
D、由于四边形的内角和是360度,当四个角相等时每一个角都是90度,则四边形肯定是矩形,故结论正确.
故答案为:D.
【分析】平行四边形的对边平行且相等,对角线互相平分,对角相等、邻角互补;菱形、矩形都是特殊的平行四边形,它们都具有平行四边形的所有性质,但区别在于菱形的四条边相等,对角线互相垂直;而矩形的四个角都是直角,对角线相等,注意区别.
4.(2025八下·诸暨期中)如图,是的边延长线上一点,连接,,,交于点.添加以下条件,不能判定四边形为平行四边形的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解:A、添加条件BD=CE,无法证明四边形BCED为平行四边形,符合题意;
B、∵ ABCD,
∴AE//BC,AD=BC,
∵AD=DE,
∴四边形BCED为平行四边形,故B不符合题意;
C、∵ ABCD,
∴AE//BC,
∵BD//CE,
∴四边形BCED为平行四边形,故C不符合题意;
∵ ABCD,
∴AE//BC,
∵∠BDC=∠ECD
∴BD//CE,
∴四边形BCED为平行四边形,故D不符合题意;
故答案为:A.
【分析】添加条件BD=CE,无法得到四边形BCED为平行四边形,A符合题意;
添加条件AD=DE后,证明DE=BC,根据DE//BC,进而可得结论,B不符合题意;
添加条件BD//CE,根据AE//BC,从而证明结论,C不符合题意;
添加条件∠BDC=∠ECD,可证BD//CE,根据AE//BC进而证明结论,D不符合题意.
5.(广西南宁市第三十七中学2024-2025学年八年级下学期4月第一次月考数学试卷)在等边三角形中,,射线,点从点出发,沿射线以的速度运动,同时点从点出发,沿射线以的速度运动,设运动时间为,当以为顶点的四边形是平行四边形时,的值为( )
A.2 B.3 C.2或6 D.3或6
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
6.(2024八下·泉州月考)如图,已知,用尺规进行如下操作:①以点B为圆心,长为半径画弧;②以点D为圆心,长为半径画弧;③两弧在上方交于点C,连接.可直接判定四边形为平行四边形的条件是( )
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定;尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解:根据作法可以发现,,
则两组对边分别相等,那么,四边形为平行四边形,
故答案为:B.
【分析】根据尺规作图方法“ 以点B为圆心,长为半径画弧 ”可得,“ 以点D为圆心,长为半径画弧”,可得CD=AB,则判定四边形为平行四边形的依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.
7.(2024八下·金沙期末)如图,在中,对角线与相交于点,要在对角线上找点,,分别连接,,,,使四边形为平行四边形.现有甲、乙两种方案,下列说法正确的是( )
甲方案:只需要满足;
乙方案:只需要满足.
A.只有甲方案正确 B.只有乙方案正确
C.甲、乙方案都正确 D.甲、乙方案都不正确
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解:甲方案:在 ABCD中,OA=OC,OB=OD.
∵BF=DE,
∴BF-EF=DE-EF,即BE=DF.
∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF.
在四边形AECF中,∵OA=OC,OE=OF,
∴四边形AECF为平行四边形.
故该方案符合题意.
乙方案:在 ABCD中,OA=OC,∠AOE=∠COF.
∵AE∥CF,
∴∠EAO=∠FCO.
在△AOE与△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴AE=CF.
在四边形AECF中,∵AE∥CF、AE=CF,
∴四边形AECF为平行四边形.
故该方案符合题意.
观察选项,选项C符合题意.
故答案为:C.
【分析】甲方案:根据平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC,OB=OD;结合BF=DE推知OE=OF;在四边形AECF中,对角线互相平分,则该四边形是平行四边形;
乙方案:首先证明△AOE≌△COF,然后由该全等三角形的对应边相等推知AE=CF,则由“AE∥CF、AE=CF”可以判定四边形AECF为平行四边形.
8.如图, 在 中, 分别是边 的中点, 分别交 于点 . 有下列结论: ①, ②, ③, ④. 其中正确结论的个数为( )
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵点M、N分别是AB与CD的中点,
∴AM=CN=AB=CD,AM∥CN,
∴四边形AMCN是平行四边形,
∴AN∥CM,AN=CM,
在△ABP中,点M是AB的中点,且MQ∥AP,
∴BQ=PQ,MQ=AP,
同理PD=PQ,
∴PD=PQ=BQ,故①正确;
∵AB∥CD,
∴∠ABP=∠CDQ,
在△ABP与△CDQ中,
∵AB=CD,∠ABP=∠CDQ,BP=DQ,
∴△ABP≌△CDQ,
∴AP=CQ,故②正确;
∵AP=CQ,MQ=AP,
∴MQ=CQ,即CQ=2MQ,故③正确;
∵BQ=PQ=PD,
∴PD=BD,
∴S△APD=S△ABD,
∵S△ABD=S平行四边形ABCD,
∴S△APD=×S平行四边形ABCD=S平行四边形ABCD,故④错误,
综上正确的有①②③共3个.
故答案为:B.
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD,AB=CD,根据中点定义可推出AM∥CN且AM=CN,由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AMCN是平行四边形,得AN∥CM,AN=CM,然后根据三角形的中位线定理可得BQ=PQ,MQ=AP,PD=PQ,据此可判断①;用SAS证△ABP≌△CDQ,得AP=CQ,可判断②;由AP=CQ,MQ=AP,可得CQ=2MQ,据此可判断③;由同高三角形的面积之间的关系等于对应底之间的关系得S△APD=S△ABD,由平行四边形的性质可得S△ABD=S平行四边形ABCD,据此即可判断④.
二、填空题(每题3分,共18分)
9.(2025八下·惠城期中)如图,在中,点,在对角线上,连接,,,,请添加一个条件 (1) 使四边形是平行四边形.
【答案】(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
10.(2025八下·娄底期中)如图,四边形是由四边形的各边中点依次连接而形成的四边形,则四边形一定是 .
【答案】平行四边形
【知识点】平行四边形的判定;三角形的中位线定理
11.(2025八下·苏州月考)如图,若:、、的面积分别为、、,则阴影部分的面积是 .
【答案】15.5
【知识点】平行四边形的判定与性质
12.(四川省自贡市富顺县第二中学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠DCB=90°,且BC=2AD,分别以AB、BC、DC为边向外作正方形,它们的面积分别为S1、S2、S3.若S2=48,S3=9,则S1的值为 (1) .
【答案】3
【知识点】勾股定理;平行四边形的判定与性质
13.(2025八下·龙港期中) 如图,点G是等边三角形ABC内任意一点,GD//BC,GE//AC,GF//AB,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,AB=6,则DG+EG+FG= .
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图,延长FG交BC于点H,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,AB=BC=6,
∵GF∥AB,GE∥AC,
∴∠GHE=∠B=60°,∠GEH=∠C=60°,
∴△GEH与△FCH都是等边三角形,
∴GE=GH,FH=HC,
∴HF=GF+GH=GF+GE=HC
∵GD∥BC,FH∥AB,
∴四边形BDGH是平行四边形,
∴DG=BH,
∴DG+EG+FG=BH+HC=BC=6.
故答案为:6.
【分析】延长FG交BC于点H,由等边三角形的性质得∠B=∠C=60°,AB=BC=6,由二直线平行,同位角相等得∠GHE=∠B=60°及∠GEH=∠C=60°,由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△GEH与△FCH都是等边三角形, 由等边三角形的三边相等得GE=GH,FH=HC,从而根据线段和差及等量代换可得GF+GE=HC;由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BDGH是平行四边形,由平行四边形的对边相等得DG=BH,从而根据线段和差及等量代换可得DG+EG+FG=BH+HC=BC,此题得解.
14.(浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题)如图,在平行四边形中,,,平分,,G是的中点,连接,则 (1) .
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线
三、证明题(共5题,共43分)
15.(2025八下·东莞期中)如图,的对角线,相交于点,,是上的两个点,并且,求证:四边形是平行四边形.
【答案】证明:∵四边形是平行四边形,
∴,
∵,
∴,
即,
∴四边形是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出,再求出OE=OF,最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可。
16.(2024八下·从江月考)如图所示,在平行四边形AECF中,对角线AC,EF相交于点O,点B,D在对角线EF所在直线上,且BE=DF.
(1)试说明四边形ABCD是平行四边形;
(2)若AC=8,AB=6,AC⊥AB,求线段BD的长.
【答案】(1)证明:∵四边形AECF是平行四边形,
∴OA=OC,OE=OF.
又∵BE=DF,
∴OB=OD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
(2)解:∵AO=CO,AC=8,
∴AO=4.
∵AB=6,AC⊥AB,
∴BO===2.
∴BD=2BO=4.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形对角线互相平分,再结合已知条件得出OE=OF,OA=OC,再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证得结论,
(2)可判定△AOB是直角三角形,结合平行四边形对角线互相平分的性质及勾股定理可计算出OB,BD.
17.(2025八下·路桥期中)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)求证:四边形ABCD是平行四边形.
【答案】(1)证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵AB=CD,AE=CF,
∴△ABE≌△CDF.
(2)证明:∵△ABE≌△CDF,
∴∠ABE=∠CDF,
∴AB∥CD.
∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL;平行四边形的判定;全等三角形中对应边的关系;全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)由于AE=CF,AB=CD,可利用垂直的概念得△ABE和△CDF都是直角三角形,则直接应用HL定理即可证明两三角形全等;
(2)由全等三角形的性质可得∠ABE=∠CDF,则内错角相等两直线平行,即AB//CD,又AB=CD,则四边形ABCD是平行四边形.
18.(2025八下·来宾期中)如图,在中,点、分别是、的中点,连接,过点作交的延长线于点,连接.
(1)求证:.
(2)直接写出与的数量关系.
(3)若,,,求的长.
【答案】(1)证明:点、分别是、的中点,
是的中位线,
,
又,
四边形为平行四边形,
;
(2)
(3)解:由(1)得是的中位线,
∴,,
,
点是的中点,
,
∵,,
,
在中,根据勾股定理,,
,
由(1)得四边形为平行四边形,
.
【知识点】平行线的性质;勾股定理;平行四边形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】(2)解:由(1)得是的中位线,四边形为平行四边形,
∴;
【分析】(1)根据中位线的判定和性质得出,再根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形,则CD=AF,即可求出答案.
(2)根据三角形中位线定理及平行四边形性质即可求出答案.
(3)根据三角形中位线定理可得,,根据中点可得,根据直线平行性质可得,再根据勾股定理可得AF,再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
(1)证明:点、分别是、的中点,
是的中位线,
,
又,
四边形为平行四边形,
;
(2)解:由(1)得是的中位线,四边形为平行四边形,
∴;
(3)解:由(1)得是的中位线,
∴,,
,
点是的中点,
,
∵,,
,
在中,根据勾股定理,,
,
由(1)得四边形为平行四边形,
.
19.(2024八下·沾化期末)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形的边边,,,P、Q分别是边、上的动点,点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动,同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动,当其中一点到达终点时,两点都停止运动,设运动时间为.
(1)点B的坐标为___________;
(2)连接、交于点E,过Q点作于D,当___________时,D、E、P三点在一条直线上;
(3)当点P运动到的中点时,在平面内找一点M,使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形,则点M的坐标为___________.
【答案】(1)
(2)4
(3)或或
【知识点】坐标与图形性质;三角形全等及其性质;等腰三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质
四、实践探究题(共15分)
20.(2024八下·铁锋期中)综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,A是y轴的正半轴上一点,点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上,的长满足,过点B作直线的垂线,交于点D.
(1)求点A、点B、点C的坐标;
(2)求线段的长;
(3)在平面内是否存在一点P,使以A,B,C,P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),,
(2)
(3)存在,点P的坐标为或或
【知识点】坐标与图形性质;勾股定理;平行四边形的判定;算术平方根的性质(双重非负性)
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