6.2 平行四边形的判定 培优练习-2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·慈利期中）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·惠城期中）已知四边形，下列条件不能判断它是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·路桥期中）下列命题正确的是（ ）
A．平行四边形的两条对角线互相垂直
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．平行四边形的四条边相等
D．四个角相等的四边形是矩形
4．（2025八下·诸暨期中）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（广西南宁市第三十七中学2024-2025学年八年级下学期4月第一次月考数学试卷）在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或6 D．3或6
6．（2024八下·泉州月考）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
7．（2024八下·金沙期末）如图，在中，对角线与相交于点，要在对角线上找点，，分别连接，，，，使四边形为平行四边形.现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（ ）
甲方案：只需要满足；
乙方案：只需要满足.
A．只有甲方案正确 B．只有乙方案正确
C．甲、乙方案都正确 D．甲、乙方案都不正确
8．如图， 在 中， 分别是边 的中点， 分别交 于点 ． 有下列结论： ①， ②， ③， ④． 其中正确结论的个数为（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2025八下·惠城期中）如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件 使四边形是平行四边形．
10．（2025八下·娄底期中）如图，四边形是由四边形的各边中点依次连接而形成的四边形，则四边形一定是 ．
11．（2025八下·苏州月考）如图，若：、、的面积分别为、、，则阴影部分的面积是 ．
12．（四川省自贡市富顺县第二中学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S2＝48，S3＝9，则S1的值为 .
13．（2025八下·龙港期中） 如图，点G是等边三角形ABC内任意一点，GD//BC，GE//AC，GF//AB，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，AB=6，则DG+EG+FG= .
14．（2025八下·义乌期中）如图，在平行四边形中，，，平分，，G是的中点，连接，则 ．
三、证明题（共5题，共43分）
15．（2025八下·东莞期中）如图，的对角线，相交于点，，是上的两个点，并且，求证：四边形是平行四边形．
16．（2024八下·从江月考）如图所示，在平行四边形AECF中，对角线AC，EF相交于点O，点B，D在对角线EF所在直线上，且BE=DF.
（1）试说明四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC=8，AB=6，AC⊥AB，求线段BD的长.
17．（2025八下·路桥期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
18．（2025八下·来宾期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：．
（2）直接写出与的数量关系．
（3）若，，，求的长．
19．（2024八下·沾化期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为．
（1）点B的坐标为___________；
（2）连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上；
（3）当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________.
四、实践探究题（共15分）
20．（2024八下·铁锋期中）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，A是y轴的正半轴上一点，点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上，的长满足，过点B作直线的垂线，交于点D．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）求线段的长；
（3）在平面内是否存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的两条对角线互相平分，而菱形的对角线才互相垂直，故结论错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，而不是菱形，故结论错误；
C、平等四边形的对边相等，而菱形的四条边才相等，故结论错误；
D、由于四边形的内角和是360度，当四个角相等时每一个角都是90度，则四边形肯定是矩形，故结论正确.
故答案为：D.
【分析】平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等、邻角互补；菱形、矩形都是特殊的平行四边形，它们都具有平行四边形的所有性质，但区别在于菱形的四条边相等，对角线互相垂直；而矩形的四个角都是直角，对角线相等，注意区别.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、添加条件BD=CE，无法证明四边形BCED为平行四边形，符合题意；
B、∵ ABCD，
∴AE//BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴四边形BCED为平行四边形，故B不符合题意；
C、∵ ABCD，
∴AE//BC，
∵BD//CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故C不符合题意；
∵ ABCD，
∴AE//BC，
∵∠BDC=∠ECD
∴BD//CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】添加条件BD=CE，无法得到四边形BCED为平行四边形，A符合题意；
添加条件AD=DE后，证明DE=BC，根据DE//BC，进而可得结论，B不符合题意；
添加条件BD//CE，根据AE//BC，从而证明结论，C不符合题意；
添加条件∠BDC=∠ECD，可证BD//CE，根据AE//BC进而证明结论，D不符合题意.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：根据作法可以发现，，
则两组对边分别相等，那么，四边形为平行四边形，
故答案为：B．
【分析】根据尺规作图方法“ 以点B为圆心，长为半径画弧 ”可得，“ 以点D为圆心，长为半径画弧”，可得CD=AB，则判定四边形为平行四边形的依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：甲方案：在 ABCD中，OA=OC，OB=OD．
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF．
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF．
在四边形AECF中，∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
乙方案：在 ABCD中，OA=OC，∠AOE=∠COF．
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴AE=CF．
在四边形AECF中，∵AE∥CF、AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
观察选项，选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】甲方案：根据平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC，OB=OD；结合BF=DE推知OE=OF；在四边形AECF中，对角线互相平分，则该四边形是平行四边形；
乙方案：首先证明△AOE≌△COF，然后由该全等三角形的对应边相等推知AE=CF，则由“AE∥CF、AE=CF”可以判定四边形AECF为平行四边形．
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵点M、N分别是AB与CD的中点，
∴AM=CN=AB=CD，AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，AN=CM，
在△ABP中，点M是AB的中点，且MQ∥AP，
∴BQ=PQ，MQ=AP，
同理PD=PQ，
∴PD=PQ=BQ，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDQ，
在△ABP与△CDQ中，
∵AB=CD，∠ABP=∠CDQ，BP=DQ，
∴△ABP≌△CDQ，
∴AP=CQ，故②正确；
∵AP=CQ，MQ=AP，
∴MQ=CQ，即CQ=2MQ，故③正确；
∵BQ=PQ=PD，
∴PD=BD，
∴S△APD=S△ABD，
∵S△ABD=S平行四边形ABCD，
∴S△APD=×S平行四边形ABCD=S平行四边形ABCD，故④错误，
综上正确的有①②③共3个.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，根据中点定义可推出AM∥CN且AM=CN，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AMCN是平行四边形，得AN∥CM，AN=CM，然后根据三角形的中位线定理可得BQ=PQ，MQ=AP，PD=PQ，据此可判断①；用SAS证△ABP≌△CDQ，得AP=CQ，可判断②；由AP=CQ，MQ=AP，可得CQ=2MQ，据此可判断③；由同高三角形的面积之间的关系等于对应底之间的关系得S△APD=S△ABD，由平行四边形的性质可得S△ABD=S平行四边形ABCD，据此即可判断④.
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
10．【答案】平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接、，如图所示：
∵E，F，G，H分别是边，，，的中点，
∴EF是△ABD的中位线，FG是△ABC的中位线，GH是△BCD的中位线，EH是△ACD的中位线，
∴，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：平行四边形．
【分析】根据中位线的性质得出，，，，根据平行公理得出，，即可得出答案.
11．【答案】15.5
【知识点】平行四边形的判定与性质
12．【答案】3
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
13．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长FG交BC于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=6，
∵GF∥AB，GE∥AC，
∴∠GHE=∠B=60°，∠GEH=∠C=60°，
∴△GEH与△FCH都是等边三角形，
∴GE=GH，FH=HC，
∴HF=GF+GH=GF+GE=HC
∵GD∥BC，FH∥AB，
∴四边形BDGH是平行四边形，
∴DG=BH，
∴DG+EG+FG=BH+HC=BC=6.
故答案为：6.
【分析】延长FG交BC于点H，由等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，AB=BC=6，由二直线平行，同位角相等得∠GHE=∠B=60°及∠GEH=∠C=60°，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△GEH与△FCH都是等边三角形， 由等边三角形的三边相等得GE=GH，FH=HC，从而根据线段和差及等量代换可得GF+GE=HC；由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BDGH是平行四边形，由平行四边形的对边相等得DG=BH，从而根据线段和差及等量代换可得DG+EG+FG=BH+HC=BC，此题得解.
14．【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴，
延长、交于点T，过点F作，如下图：
则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴点H为斜边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
故答案为：2．
【分析】
延长交的延长线于点，由平行四边形的性质结合角平分线的概念可得，即，；因为，则，过点作，则；因为平行四边形对边平行，即BC //AD，则FH//BG，又BG=4，则四边形BHFG是平行四边形，则．
15．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出，再求出OE=OF，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可。
16．【答案】（1）证明：∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF.
又∵BE=DF，
∴OB=OD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
（2）解：∵AO=CO，AC=8，
∴AO=4.
∵AB=6，AC⊥AB，
∴BO===2.
∴BD=2BO=4.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分，再结合已知条件得出OE＝OF，OA＝OC，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证得结论，
（2）可判定△AOB是直角三角形，结合平行四边形对角线互相平分的性质及勾股定理可计算出OB，BD.
17．【答案】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF．
（2）证明：∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD．
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由于AE=CF，AB=CD，可利用垂直的概念得△ABE和△CDF都是直角三角形，则直接应用HL定理即可证明两三角形全等；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABE＝∠CDF，则内错角相等两直线平行，即AB//CD，又AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形.
18．【答案】（1）证明：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形为平行四边形，
；
（2）
（3）解：由（1）得是的中位线，
∴，，
，
点是的中点，
，
∵，，
，
在中，根据勾股定理，，
，
由（1）得四边形为平行四边形，
．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（2）解：由（1）得是的中位线，四边形为平行四边形，
∴；
【分析】（1）根据中位线的判定和性质得出，再根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则CD=AF，即可求出答案.
（2）根据三角形中位线定理及平行四边形性质即可求出答案.
（3）根据三角形中位线定理可得，，根据中点可得，根据直线平行性质可得，再根据勾股定理可得AF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（1）证明：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形为平行四边形，
；
（2）解：由（1）得是的中位线，四边形为平行四边形，
∴；
（3）解：由（1）得是的中位线，
∴，，
，
点是的中点，
，
∵，，
，
在中，根据勾股定理，，
，
由（1）得四边形为平行四边形，
．
19．【答案】（1）
（2）4
（3）或或
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
20．【答案】（1），，
（2）
（3）存在，点P的坐标为或或
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的判定；算术平方根的性质（双重非负性）
1 / 16.2 平行四边形的判定 培优练习-2024-2025 学年北师大版八年级数学下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·慈利期中）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
2．（2025八下·惠城期中）已知四边形，下列条件不能判断它是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定
3．（2025八下·路桥期中）下列命题正确的是（ ）
A．平行四边形的两条对角线互相垂直
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．平行四边形的四条边相等
D．四个角相等的四边形是矩形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的两条对角线互相平分，而菱形的对角线才互相垂直，故结论错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，而不是菱形，故结论错误；
C、平等四边形的对边相等，而菱形的四条边才相等，故结论错误；
D、由于四边形的内角和是360度，当四个角相等时每一个角都是90度，则四边形肯定是矩形，故结论正确.
故答案为：D.
【分析】平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等、邻角互补；菱形、矩形都是特殊的平行四边形，它们都具有平行四边形的所有性质，但区别在于菱形的四条边相等，对角线互相垂直；而矩形的四个角都是直角，对角线相等，注意区别.
4．（2025八下·诸暨期中）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、添加条件BD=CE，无法证明四边形BCED为平行四边形，符合题意；
B、∵ ABCD，
∴AE//BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴四边形BCED为平行四边形，故B不符合题意；
C、∵ ABCD，
∴AE//BC，
∵BD//CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故C不符合题意；
∵ ABCD，
∴AE//BC，
∵∠BDC=∠ECD
∴BD//CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】添加条件BD=CE，无法得到四边形BCED为平行四边形，A符合题意；
添加条件AD=DE后，证明DE=BC，根据DE//BC，进而可得结论，B不符合题意；
添加条件BD//CE，根据AE//BC，从而证明结论，C不符合题意；
添加条件∠BDC=∠ECD，可证BD//CE，根据AE//BC进而证明结论，D不符合题意.
5．（广西南宁市第三十七中学2024-2025学年八年级下学期4月第一次月考数学试卷）在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或6 D．3或6
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
6．（2024八下·泉州月考）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：根据作法可以发现，，
则两组对边分别相等，那么，四边形为平行四边形，
故答案为：B．
【分析】根据尺规作图方法“ 以点B为圆心，长为半径画弧 ”可得，“ 以点D为圆心，长为半径画弧”，可得CD=AB，则判定四边形为平行四边形的依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.
7．（2024八下·金沙期末）如图，在中，对角线与相交于点，要在对角线上找点，，分别连接，，，，使四边形为平行四边形.现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（ ）
甲方案：只需要满足；
乙方案：只需要满足.
A．只有甲方案正确 B．只有乙方案正确
C．甲、乙方案都正确 D．甲、乙方案都不正确
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：甲方案：在 ABCD中，OA=OC，OB=OD．
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF．
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF．
在四边形AECF中，∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
乙方案：在 ABCD中，OA=OC，∠AOE=∠COF．
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴AE=CF．
在四边形AECF中，∵AE∥CF、AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
故该方案符合题意．
观察选项，选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】甲方案：根据平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC，OB=OD；结合BF=DE推知OE=OF；在四边形AECF中，对角线互相平分，则该四边形是平行四边形；
乙方案：首先证明△AOE≌△COF，然后由该全等三角形的对应边相等推知AE=CF，则由“AE∥CF、AE=CF”可以判定四边形AECF为平行四边形．
8．如图， 在 中， 分别是边 的中点， 分别交 于点 ． 有下列结论： ①， ②， ③， ④． 其中正确结论的个数为（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵点M、N分别是AB与CD的中点，
∴AM=CN=AB=CD，AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，AN=CM，
在△ABP中，点M是AB的中点，且MQ∥AP，
∴BQ=PQ，MQ=AP，
同理PD=PQ，
∴PD=PQ=BQ，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDQ，
在△ABP与△CDQ中，
∵AB=CD，∠ABP=∠CDQ，BP=DQ，
∴△ABP≌△CDQ，
∴AP=CQ，故②正确；
∵AP=CQ，MQ=AP，
∴MQ=CQ，即CQ=2MQ，故③正确；
∵BQ=PQ=PD，
∴PD=BD，
∴S△APD=S△ABD，
∵S△ABD=S平行四边形ABCD，
∴S△APD=×S平行四边形ABCD=S平行四边形ABCD，故④错误，
综上正确的有①②③共3个.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，根据中点定义可推出AM∥CN且AM=CN，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AMCN是平行四边形，得AN∥CM，AN=CM，然后根据三角形的中位线定理可得BQ=PQ，MQ=AP，PD=PQ，据此可判断①；用SAS证△ABP≌△CDQ，得AP=CQ，可判断②；由AP=CQ，MQ=AP，可得CQ=2MQ，据此可判断③；由同高三角形的面积之间的关系等于对应底之间的关系得S△APD=S△ABD，由平行四边形的性质可得S△ABD=S平行四边形ABCD，据此即可判断④.
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2025八下·惠城期中）如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件 使四边形是平行四边形．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
10．（2025八下·娄底期中）如图，四边形是由四边形的各边中点依次连接而形成的四边形，则四边形一定是 ．
【答案】平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接、，如图所示：
∵E，F，G，H分别是边，，，的中点，
∴EF是△ABD的中位线，FG是△ABC的中位线，GH是△BCD的中位线，EH是△ACD的中位线，
∴，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：平行四边形．
【分析】根据中位线的性质得出，，，，根据平行公理得出，，即可得出答案.
11．（2025八下·苏州月考）如图，若：、、的面积分别为、、，则阴影部分的面积是 ．
【答案】15.5
【知识点】平行四边形的判定与性质
12．（四川省自贡市富顺县第二中学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S2＝48，S3＝9，则S1的值为 .
【答案】3
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
13．（2025八下·龙港期中） 如图，点G是等边三角形ABC内任意一点，GD//BC，GE//AC，GF//AB，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，AB=6，则DG+EG+FG= .
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长FG交BC于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=6，
∵GF∥AB，GE∥AC，
∴∠GHE=∠B=60°，∠GEH=∠C=60°，
∴△GEH与△FCH都是等边三角形，
∴GE=GH，FH=HC，
∴HF=GF+GH=GF+GE=HC
∵GD∥BC，FH∥AB，
∴四边形BDGH是平行四边形，
∴DG=BH，
∴DG+EG+FG=BH+HC=BC=6.
故答案为：6.
【分析】延长FG交BC于点H，由等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，AB=BC=6，由二直线平行，同位角相等得∠GHE=∠B=60°及∠GEH=∠C=60°，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△GEH与△FCH都是等边三角形， 由等边三角形的三边相等得GE=GH，FH=HC，从而根据线段和差及等量代换可得GF+GE=HC；由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BDGH是平行四边形，由平行四边形的对边相等得DG=BH，从而根据线段和差及等量代换可得DG+EG+FG=BH+HC=BC，此题得解.
14．（2025八下·义乌期中）如图，在平行四边形中，，，平分，，G是的中点，连接，则 ．
【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴，
延长、交于点T，过点F作，如下图：
则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴点H为斜边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
故答案为：2．
【分析】
延长交的延长线于点，由平行四边形的性质结合角平分线的概念可得，即，；因为，则，过点作，则；因为平行四边形对边平行，即BC //AD，则FH//BG，又BG=4，则四边形BHFG是平行四边形，则．
三、证明题（共5题，共43分）
15．（2025八下·东莞期中）如图，的对角线，相交于点，，是上的两个点，并且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出，再求出OE=OF，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可。
16．（2024八下·从江月考）如图所示，在平行四边形AECF中，对角线AC，EF相交于点O，点B，D在对角线EF所在直线上，且BE=DF.
（1）试说明四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC=8，AB=6，AC⊥AB，求线段BD的长.
【答案】（1）证明：∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF.
又∵BE=DF，
∴OB=OD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
（2）解：∵AO=CO，AC=8，
∴AO=4.
∵AB=6，AC⊥AB，
∴BO===2.
∴BD=2BO=4.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分，再结合已知条件得出OE＝OF，OA＝OC，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证得结论，
（2）可判定△AOB是直角三角形，结合平行四边形对角线互相平分的性质及勾股定理可计算出OB，BD.
17．（2025八下·路桥期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF．
（2）证明：∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD．
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由于AE=CF，AB=CD，可利用垂直的概念得△ABE和△CDF都是直角三角形，则直接应用HL定理即可证明两三角形全等；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABE＝∠CDF，则内错角相等两直线平行，即AB//CD，又AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形.
18．（2025八下·来宾期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：．
（2）直接写出与的数量关系．
（3）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形为平行四边形，
；
（2）
（3）解：由（1）得是的中位线，
∴，，
，
点是的中点，
，
∵，，
，
在中，根据勾股定理，，
，
由（1）得四边形为平行四边形，
．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（2）解：由（1）得是的中位线，四边形为平行四边形，
∴；
【分析】（1）根据中位线的判定和性质得出，再根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则CD=AF，即可求出答案.
（2）根据三角形中位线定理及平行四边形性质即可求出答案.
（3）根据三角形中位线定理可得，，根据中点可得，根据直线平行性质可得，再根据勾股定理可得AF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（1）证明：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形为平行四边形，
；
（2）解：由（1）得是的中位线，四边形为平行四边形，
∴；
（3）解：由（1）得是的中位线，
∴，，
，
点是的中点，
，
∵，，
，
在中，根据勾股定理，，
，
由（1）得四边形为平行四边形，
．
19．（2024八下·沾化期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为．
（1）点B的坐标为___________；
（2）连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上；
（3）当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________.
【答案】（1）
（2）4
（3）或或
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
四、实践探究题（共15分）
20．（2024八下·铁锋期中）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，A是y轴的正半轴上一点，点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上，的长满足，过点B作直线的垂线，交于点D．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）求线段的长；
（3）在平面内是否存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）
（3）存在，点P的坐标为或或
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的判定；算术平方根的性质（双重非负性）
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