北师大版2024-2025学年七年级（下）期末数学模拟试卷2（含解析）

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北师大版2024-2025学年七年级（下）期末数学模拟试卷2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．氧原子直径大约是0.0000000016m．将0.0000000016用科学记数法表示是（　　）
A．16×10﹣9 B．1.6×10﹣9 C．1.6×10﹣10 D．16×10﹣10
2．下列各式中，运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．
C．（﹣2023）0＝2023 D．a8÷a4＝a2
3．在单词statistics（统计学）中任意选择一个字母，字母为“s”的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CD∥AB的是（　　）
①∠1＝∠4
②∠2＝∠3
③∠5＝∠B
④∠DCB+∠B＝180°
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
5．已知矩形的面积为5，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．某兴趣小组想用3根木棍组成一个三角形，3根木棍的长度不可能是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．2，5，7 D．4，7，7
7．下列图形中，对称轴最多的是（　　）
A．等边三角形 B．正方形
C．正六边形 D．圆环
8．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝40°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
9．P是锐角△ABC内部一点，且点P到△ABC三条边的距离相等，过点P作BC边的平行线分别交AB，AC于点E、F，若△ABC的周长为20cm，BC＝7cm，则△AEF的周长为（　　）
A．6 B．14 C．13 D．8
10．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如x2+ax＝b2的方程，可用如图解法：作直角三角形ABC，其中∠C＝90°，AC＝b，BC，在斜边AB上截取BD＝BC，则该方程的其中一个正根是（　　）
A．线段AC的长 B．线段BC的长
C．线段AD的长 D．线段CD的长
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝110°，点D在AC上，将△ABD沿BD折叠，点A落在BC上的点E处，若∠EDC＝25°，则∠C的度数为 　 　 ．
12．（4分）如果事件A是“上学时，在路上遇到班主任”，事件B是“上学时，在路上遇到同班同学”，那么P（A） 　 　 P（B）．（填“＞”、“＜”或“＝”）
13．（4分）如图，有一张长方形纸片ABCD，其中AD＝9，明明把这张纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，如果BE＝5，请你帮明明计算一下AE的长为 　 　 ．
14．（4分）若正方体的棱长为4×104，那么它的体积为 　 　 ．（用科学记数法表示）
15．（4分）已知AB∥CD，把一块等腰直角三角板（其中∠EFG＝90°）如图放置，若∠EAF＝30°，则∠AFE＝　 　 ．
16．（4分）如图1，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE＝4BE，连接EF，CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，如图2是点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是　 　 ．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（6分）化简：a（1﹣2a）+（a+1）（a﹣1）+a2．
18．（6分）如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．
19．（6分）某商场举办有奖销售活动：购物每满100元便可抽奖一次，抽奖箱内共放有奖券200张，其中，特等奖1张，一等奖10张，二等奖100张，其余均为未中奖．问抽到一等奖和抽到二等奖是等可能的
吗？中奖的可能性大还是不中奖的可能性大？
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．（7分）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+（2x﹣1）2﹣5x（x﹣2），其中x．
21．（7分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作BC的垂直平分线MN交AB于点D；
（2）连接CD，若∠A＝50°，∠B＝25°，求∠ACD的度数．
22．（7分）已知点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别位于直线AD的两侧，AF＝DE，AB＝CD，AF∥DE，
（1）如图1，求证：BE∥CF；
（2）如图2，连接EF，交AD于点O，延长EB交AF于点G，延长FC交DE于点H，请直接写出图2中所有的全等的三角形（不包含（1）中的全等三角形）．
五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
23．（9分）周末，妈妈带小明兄弟俩去公园．到公园后，小明在亭子里看书，妈妈带着弟弟往小路走，几分钟后，小明发现弟弟的水杯忘记拿了，跑步去追妈妈和弟弟，小明跑步过程速度保持不变．如图，表示到公园后小明和弟弟行走的路程s（m）与弟弟行走的时间t（min）之间的关系．请结合图象，解答下列问题：
（1）曲线刻画的变化关系中，自变量是 　 　 ，因变量是 　 　 ；
（2）图中点A表示的实际意义是什么？
（3）小明的速度是多少米/分？直接写出小明的路程s与时间t的关系式．
24．（9分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，E是AD边的中点，连接BE并延长，与CD的延长线交于点F．
（1）若2CD＝3AB，请判断CD与CF之间的数量关系；
（2）连接CE，若CE⊥BF，求证：AB+CD＝BC．
25．（9分）数学是研究数量关系和空间形式的科学．对于一些特殊的整式运算，我们要善于观察并发现规律：（x≠1）
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1．
（1）尝试：（x5﹣1）÷（x﹣1）＝　 　 ；
（2）猜想：（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝　 　 ；
（3）利用以上结论求值：
①1+5+52+53+54+ +52024；
②若1+x+x2+ +x2021＝1，x2022＝　 　 ．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【考点】科学记数法—表示较小的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.0000000016＝1.6×10﹣9．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．【考点】同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方与积的乘方
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、幂的乘方与积的乘方以及同底数的除法等知识进行判断．
解：A、（﹣a3）2＝a6≠﹣a6，该选项不符合题意；
B、（）﹣2＝4，正确，该选项符合题意；
C、（﹣2023）0＝1≠2023，该选项不符合题意；
D、a8÷a4＝a4≠a2，该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、幂的乘方与积的乘方以及同底数的除法等知识点．熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
3．【考点】概率公式
【分析】根据题意，可以写出任意选择一个字母的所有可能性和选择的字母是s的可能性，从而可以求出相应的概率．
解：在单词statistics（统计学）中任意选择一个字母一共有10种可能性，其中字母为“s”的可能性有3种，
∴任意选择一个字母，字母为“s”的概率是，
故选：C．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
4．【考点】平行线的判定
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可．
解：①当∠1＝∠4时，由内错角相等，两直线平行得CD∥AB，故①符合题意；
②当∠2＝∠3时，由内错角相等，两直线平行得BC∥AD，故②不符合题意；
③当∠5＝∠B时，由同位角相等，两直线平行得CD∥AB，故③符合题意；
④当∠DCB+∠B＝180°时，由同旁内角互补，两直线平行得CD∥AB，故④符合题意；
故符合题意的有①③④．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
5．【考点】函数关系式
【分析】根据矩形的面积＝长×宽，可得矩形的面积一定时，它的长y与宽x成反比例关系，据此判断出它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为哪个即可．
解：∵矩形的面积一定，
∴它的长y与宽x成反比例关系（x＞0，y＞0）．
∴它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为：
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键．
6．【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系“三角形的第三边大于两边之和，而小于第三边”进行分析判断．
解：A、2+3＞4，能构成三角形，不符合题意；
B、3+4＞5，能构成三角形，不符合题意；
C、2+5＝7，不能构成三角形，符合题意；
D、7+4＞7，能构成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
7．【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念找出各图形的对称轴的条数，然后进行判断即可．
解：A、等腰三角形有1条对称轴，是底边上的高所在的直线，
B、正方形有4条对称轴，是2条对边中点所在的直线与2条对角线所在的直线，
C、正六边形有12条对称轴，是6条对边中点所在的直线与6条相对的对角线所在的直线，
D、圆环有无数条对称轴，是过圆心的直线．
所以对称轴最多的图形是圆．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的性质，准确找出常见图形的对称轴是解题的关键．
8．【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠ACB（180°﹣∠A）＝70°，再由MN垂直平分线AC可知AD＝CD，所以∠ACD＝∠A，再根据∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD即可得出结论．
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣40°）＝70°，
∵DF是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝70°﹣40°＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
9．【考点】角平分线的性质
【分析】根据题意画出图形，进而利用角平分线的性质和平行线的性质解答即可．
解：如图：
∵点P到△ABC三条边的距离相等，
∴点P是△ABC的内角平分线的交点，
∴∠EBP＝∠PBC，∠FCP＝∠PCB，
∵EF∥BC，
∵∠EPB＝∠PBC，∠FPC＝∠PCB，
∴∠EBP＝∠EPB，∠FPC＝∠FCP，
∴BE＝EP，PF＝FC，
∵△ABC的周长为20cm，BC＝7cm，
∴AB+AC＝20﹣7＝13（cm），
∴△AEF的周长＝AE+EP+PF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝13（cm），
故选：C．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
10．【考点】一元二次方程的应用
【分析】设AD＝x，AC＝b，DB＝BC，根据勾股定理列出关系式，化简即可得到结果．
解：设AD＝x，AC＝b，DB＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝AD+BD＝x，
根据勾股定理得：b2+（）2＝（x）2，即x2+ax＝b2，
则这个方程的一个正根是线段AD的长．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，以及数学常识，弄清题意是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【考点】三角形内角和定理
【分析】根据翻折的性质得到∠A＝∠BED，再根据三角形内角和定理和外角的性质得出∠C+25°+∠C＝80°即可求解．
解：∵∠ABC＝110°，
∴∠A+∠C＝180°﹣110°＝70°，
由翻折变换可知，∠A＝∠BED，
∵∠BED＝∠C+∠EDC＝∠C+25°，
∴∠A＝∠C+25°，
∴∠C+25°+∠C＝70°，
即∠C＝22.5°，
故答案为：22.5°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握翻折的性质以及三角形内角和是180°是正确解答的前提．
12．【考点】概率的意义
【分析】根据概率的意义，即可解答．
解：根据生活常识可知，在一个班级中，一个人有几十个同学，但只有一个班主任，
所以遇到同学的概率大于遇见班主任的概率，那么P（A）＜P（B），
故答案为：＜．
【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
13．【考点】翻折变换（折叠问题）
【分析】根据折叠的性质可得BE＝ED，根据线段的和差即可得解．
解：根据折叠的性质得，BE＝DE＝5，
∵AD＝9，
∴AE＝AD﹣DE＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．
14．【考点】幂的乘方与积的乘方；科学记数法—表示较大的数
【分析】根据正方体的体积公式进行求解即可．
解：4×104＝40000，
由题意得，该正方体体积为40000×40000×40000＝64000000000000＝6.4×1013，
故答案为：6.4×1013．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，科学记数法和有理数乘法计算等知识点，熟知正方体体积公式是解题的关键．
15．【考点】等腰直角三角形；平行线的性质
【分析】先利用等腰三角形的性质和平行线的性质求出∠AFG的度数，再利用角的和差关系求出∠AFE．
解：∵△EFG是等腰直角三角板，∠EFG＝90°，
∴∠FEG＝∠FGE＝45°．
∵AB∥CD，
∴∠HAE+∠FGE＝180°，∠HAF＝∠AFG．
∴∠HAE＝135°，
∵∠EAF＝30°，
∴∠HAF＝∠AFG＝∠HAE﹣∠EAF＝105°．
∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE＝∠AFG﹣∠EFG
＝105°﹣90°
＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题主要考查了平行线和等腰三角形，掌握平行线的性质和等腰三角形的性质及角的和差关系是解决本题的关键．
16．【考点】动点问题的函数图象
【分析】依据题意，连接AF，由对称的性质可得AF＝CF，所以y＝EF+CF＝EF+AF，当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，根据图2可计算BC＝5，如图3，作辅助线，构建直角三角形，计算AE的长可解答．
解：如图1，连接AF，AE，AE交BD于F1，
∵在菱形ABCD中点A，点C关于BD对称，
∴AF＝CF，
∴y＝EF+CF＝EF+AF．
当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长．
如图2，当x＝0时，y＝6，
设BE＝a，则CE＝4a，
∴y＝a+5a＝6，
∴a＝1，
∴BC＝5，
由图2知：BD＝6．
如图3，连接AC交BD于G，连接EG，过点E作EH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，．
由勾股定理得：CG＝4，
∴△ECG的面积S△BCGCG EH．
∴3×44×EH，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴图象最低点的纵坐标是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．【考点】平方差公式；单项式乘多项式
【分析】利用单项式乘以多项式，平方差公式化简整式．
解：a（1﹣2a）+（a+1）（a﹣1）+a2．
＝a﹣2a2+a2﹣1+a2
＝a﹣1．
【点评】本题考查了整式的化简，解题的关键是掌握单项式乘以多项式，平方差公式．
18．【考点】平行线的判定与性质
【分析】依据角平分线的定义，即可得到∠BEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2，再根据∠1+∠2＝90°，即可得到∠BEF+∠DFE＝180°，进而得出AB∥CD．
证明：∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，
∴∠BEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BEF+∠DFE＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．
19．【考点】可能性的大小
【分析】先根据总奖券以及各中奖个数，即可求出不中奖的张数；接下来算出一等奖、二等奖和不中奖的概率比较，即可得到结论．
解：200﹣（1+10+100）＝89（张），
一等奖概率：10÷200，
二等奖概率：100÷200，
未中奖概率：89÷200，
，
，
所以摸到一等奖和二等奖不是等可能的，且中奖的可能性大．
【点评】本题侧重考查有关可能性的题目，解题的关键是掌握确定可能性大小的方法．
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】先用完全平方，平方差公式等展开，再合并同类项，化简后将x的值代入．
解：原式＝x2﹣1+4x2﹣4x+1﹣5x2+10x
＝6x，
当x时，
原式＝6×（）
＝﹣2．
【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方，平方差公式及去括号，合并同类项法则，把所求式子化简．
21．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图求解即可；
（2）由中垂线的性质可得BD＝CD，据此知∠B＝∠BCD＝25°，继而得∠ADC＝50°，最后在△ACD中根据内角和定理求解即可．
解：（1）如图所示，MN即为所求．
（2）∵MN是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴∠B＝∠BCD＝25°，
∴∠ADC＝50°，
∵∠A＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝80°．
【点评】本题主要考查线段中垂线的尺规作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及线段中垂线的性质等知识点．
22．【考点】全等三角形的判定
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A＝∠D，根据AB＝CD求出AC＝DB，根据全等三角形的判定定理得出△ACF≌△DBE，再根据全等三角形的性质定理得出∠ACF＝∠DBE即可；
（2）根据全等三角形的判定定理并结合图形得出答案即可．
（1）证明：∵AF∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝DB，
在△ACF和△DBE中，
，
∴△ACF≌△DBE（SAS），
∴∠ACF＝∠DBE，
∴BE∥CF；
（2）解：图中的全等三角形有△ABG≌△DCH，△AOF≌△DOE，△EGF≌△FHE，△BOE≌△COF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质和判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
23．【考点】函数的图象；常量与变量；函数关系式
【分析】（1）根据题意得出自变量和因变量即可；
（2）根据题意得出点A表示的实际意义即可；
（3）根据题意求出小明的速度，得出小明的路程s与时间t的关系式即可．
解：（1）曲线刻画的变化关系中，自变量是弟弟行走的时间t，因变量是弟弟行走的路程s．
故答案为：弟弟行走的时间t；弟弟行走的路程s．
（2）图中点A表示的实际意义是弟弟行走5min，行走的路程是240m时，小明追上弟弟．
（3）小明的速度为240÷（5﹣4）＝240（m/min），
∵小明的速度是240m/min，小明在弟弟出发后4min开始出发，
∴小明行驶的路程s＝240（t﹣4）＝240t﹣960．
【点评】本题主要考查了函数的图象、常量和变量和函数关系式，解题的关键是理解题意．
24．【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）证明△ABE≌△DFE（AAS），由全等三角形的性质得出AB＝DF，则可得出结论；
（2）由全等三角形的性质可得出结论．
（1）解：CFCD．
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠F，
∵E是AD边的中点，
∴AE＝ED，
在△ABE和△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴AB＝DF，
又∵2CD＝3AB，
∴CF＝CD+DF＝CD+AB＝CDCD．
（2）证明：∵△ABE≌△DFE，
∴BE＝EF，
又∵CE⊥BF，
∴BC＝CF＝CD+DF＝CD+AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明△ABE≌△DFE是解题的关键．
25．【考点】整式的混合运算；规律型：数字的变化类
【分析】（1）根据所给的等式进行求解即可；
（2）对所给的等式进行分析，总结出其规律即可；
（3）利用（2）的结论对①②进行求解即可．
解：（1）（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1，
故答案为：x4+x3+x2+x+1；
（2）（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1，
故答案为：xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1；
（3）①由题意知，（52025﹣1）÷（5﹣1）＝52024+52023+…+52+5+1，
∴1+5+52+…+52023+52024；
②∵（x2022﹣1）÷（x﹣1）＝x2021+x2020+…+x2+x+1，1+x+x2+ +x2021＝1，
∴（x2022﹣1）÷（x﹣1）＝1，
可得：x＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的等式的规律
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