苏教版高一下册数学必修第二册12.4 复数的三角形式 同步练习(含详解)

苏教版高一下册数学必修第二册-12.4 复数的三角形式同步练习
[A　基础达标]
1．下列表示复数1＋i的三角形式中，
①；②；
③；④；正确的个数是(　　)
A．1　 B．2
C．3 D．4
2．设z1，z2是复数，arg z1＝α，arg z2＝β，则arg(z1z2)有可能是下列情况中的哪些？(　　)
①α＋β；②α＋β－2π；③2π－(α＋β)；④π＋α＋β.
A．① B．①②
C．①②③ D．①②④
3. 设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i，则arg z1＋arg z2＋arg z3＝(　　)
A． B．
C． D．
4．设z为复数，且z的辐角主值为，z－2的辐角主值为，则复数z为(　　)
A．－2＋i B．2－＋i
C．－1＋i D．1＋i
5．已知|z|＝1，且非零复数ω＝(z＋i)2的辐角主值是，则这样的z共有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．若复数z满足||＝，arg()＝，则z＝________．
7．若动点P对应的复数为z，且满足|z－4i|＝2，则z的辐角主值的范围为________，|z|取得最大值时，z＝________．
8. 的三角形式为________．
9．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1·z的对应点在虚轴的负半轴上且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．
10．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根．
[B　能力测试]
11．在复平面内有五个点与方程x5＝－1＋i的五个根相对应，则这五个点中有两个点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．设复数2－i和3－i的辐角主值分别为α，β，则α＋β＝(　　)
A．135° B．315°
C．675° D．585°
13．若一个复数z的模为2，辐角为，则＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－i D．＋i
[C　拓展探究]
14．(多选)任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成z＝r的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N＋)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是(　　)
A．＝2
B．当r＝1，θ＝时，z3＝1
C．当r＝1，θ＝时，＝－i
D．当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数
15．已知|z＋1|＝，arg(z－3)＝，求复数z.
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选B．因为r＝＝，cos θ＝，sin θ＝，所以辐角主值为，所以1＋i＝＝，
故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，
故选B．
2．解析：选B．α，β均为锐角时，z1z2的辐角主值为α＋β，辐角主值均为钝角时，z1z2的辐角主值为α＋β，若α，β均大于π时，z1z2的辐角主值为α＋β－2π.
3. 解析：选C．z1＝1－2i在第四象限，设辐角主值为α，z3＝－1＋3i在第二象限设辐角主值为β，则tan α＝－2，tan β＝－3, 所以tan (α＋β)＝1，所以α＋β＝，z2＝1＋i的辐角主值为，所以arg z1＋arg z2＋arg z3＝.
4．解析：选D．设z的辐角为α，因为z的辐角主值为，所以z位于第一象限且tan α＝，故选D．
5．解析：选A．设z＝cos α＋isin α，α∈，则ω＝2(cos α＋isin α)i＝2[cos (α＋)＋isin (α＋)]；因为复数ω＝(z＋i)2的辐角主值是，所以α＝0，故选A．
6．解析：设＝z0，则|z0|＝，arg z0＝，
所以z0＝·(cos ＋isin )＝＋i，从而可由＝＋i解得z＝1＋i.
答案：1＋i
7．解析：结合图形，即把代数问题几何化、图形化，见下图：
|z－4i|＝2表示动点P到点(0，4)距离为2的点组成的曲线，|z|取得最大值时即曲线上的点|y|取最大值时，即点(0，6)，对应z＝6i.
答案：[，]　6i
8.解析：＝(－1－i)＝[cos ()＋isin ()].
答案：[cos ()＋isin ()]
9．解：因为z1＝2，
设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以z1z＝
8[cos ＋isin ].由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，
所以α＝kπ＋(k∈Z).又α∈(0，π)，所以α＝，
所以z2＝2(cos ＋isin )＝－1＋i.
10．解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，
所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又arg z2＝，
所以z2＝(cos ＋isin )，
z1＝z2＝(1＋i)z2＝(cos ＋isin )×(cos ＋isin )
＝2(cos ＋isin )，
所以z1的立方根为(cos ＋isin )，
k＝0，1，2，
即(cos ＋isin )，(cos ＋isin )，
(cos ＋isin ).
[B　能力测试]
11．解析：选B．x5＝－1＋i＝(cos ＋isin )，
x＝(cos ＋isin )，k＝0，1，2，3，4，故选B．
12．解析：选C．复数2－i和3－i均位于第四象限，α，β∈(270°，360°)，因为tan (α＋β)＝－1，所以α＋β＝675° .
13．解析：选D．由复数z的模为2，辐角为，
可得z＝2＝－1＋i.
所以＝＝＝＋i.
故选D．
[C　拓展探究]
14．解析：选AC．对于A选项，z＝r(cos θ＋isin θ)，则z2＝r2，可得|z2|＝|r2|＝r2，|z|2＝|r(cos θ＋isin θ)|2＝r2，A选项正确；
对于B选项，当r＝1，θ＝时，z3＝3＝cos 3θ＋isin 3θ＝cos π＋isin π＝－1，B选项错误；
对于C选项，当r＝1，θ＝时，z＝cos ＋isin ＝＋i，则＝－i，C选项正确；对于D选项，zn＝n＝cos nθ＋isin nθ＝cos ＋isin ，
取n＝4，则n为偶数，则z4＝cos π＋isin π＝－1不是纯虚数，D选项错误．
故选AC．
15．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋1＝(x＋1)＋yi，z－3＝－2x＋4yi，
因为|z＋1|＝，所以＝.①
因为arg(z－3)＝，所以tan ＝，即＝1.②
联立①②，解得或(经检验，当x＝－，y＝时，z－3＝－2x＋4yi＝＋i，不满足arg(z－3)＝，应舍去)
所以z＝2－i.