基础图形和三角形的性质与全等-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·莲都模拟）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠ABD==108°，∠DBC=∠BAC，
∵∠α+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ACB=∠BAC=180°-108°=72°，
∴∠α=180°-∠ACB-∠BAC=180°-72°-72°=36°，
故答案为：C.
【分析】 根据题目描述，五个完全相同的等腰三角形组合构成了内外两个正五边形，通过计算正五边形的内角可知∠ABD为108度，运用三角形内角和为180度的性质，可以推导出∠ACB和∠BAC均为72度（180°-108°），最终即可求得∠α的具体数.
2．（2025·婺城模拟）如图，面积为的正方形ABCD是由正方形EFGH和四个形状、大小一样的直角三角形组成，其中，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：设AE=x，由BE=2AE=2x，
∵AB=BC=CD，∠AEB=90°，CG=DH，∠BCG=∠CDH.
∴△AEB △CGD(SAS)
∴由勾股定理可得：AB2=AE2+BE2=5x2=S，
∵△BCG △CDH(SAS)，.
∴，
∴阴影部分面积为
故答案为：B.
【分析】设AE=x，由BE=2AE=2x，由勾股定理可得：AB2=AE2+BE2=5x2=S，进而即可求出答案.
3．（2025·南山模拟）如图，在中，为的中位线，连接CD．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，AC=BC，∠B=70°
∴∠A=∠B=70°
∴∠ACB=180°-70°×2=40°
∵AC=BC，AD=DB
∴
∵DE为△ABC的中位线
∴DE∥BC
∴∠EDC=∠DCB=20°
故答案为：C
【分析】根据等边对等角可得∠A=∠B=70°，再根据三角形内角和定理可得∠ACB=40°，根据等腰三角形性质可得，再根据三角形中位线定理可得DE∥BC，再根据直线平行性质即可求出答案.
4．（2020七上·蜀山期末）如果 和 互余，则下列式子中表示 补角是（ ）
①180°－ ；② ＋2 ；③2 ＋ ；④ ＋90°
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵ ，
∴ 是 的补角，故①符合题意．
∵ 互余，
∴ ．
∴ 是 的补角，故②符合题意．
∵ 互余，
∴ ，
∵无法判断 的大小，
∴无法判断 是否为 的补角，故③无法确定．
∵ 互余，
∴ ．
∴ 是 的补角，故④符合题意．
综上可知：①②④符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据 和 互余可得，再结合题意 补角=，即可
5．（2025·温州模拟）如图，BD是正方形ABCD的对角线，为边BC上的动点（不与端点重合），点在BC的延长线上，且，过点作于点，连结．则下列比值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接AG、CG。
四边形ABCD是正方形
为等腰直角三角形
故答案为：A.
【分析】由于正方形的每一个内角都是90度，其对角线平分一组对角，因此可连接AG、CG，则可证与全等，则有AG等于CG；由于FG垂直BD且等于45度，则可得是等腰直角三角形，则有FG等于BG，再利用已知BE等于CF，则可证与全等，则有EG等于CG，此时等量代换得AG等于EG；由于BE等于CF，则可得EF等于BC等于AB，可证明与全等，则利用全等的性质可把转化到的位置上，从而得到等于90度，即是等腰直角三角形，则由勾股定理或锐角三角函数知其直角边与斜边的比必然是定值.
6．（2025九下·温州模拟）如图，在中，，设，且是定值.点是AC上一点，点为AB中点，连接CE，将线段CE绕点顺时针旋转，得到线段EF交AC于点，若点关于直线DE的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（ ）
A．AD B．CD C．CG D．DE
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接.
中，
为的中点
中，
关于直线对称
设，则
中，，即：
整理得：，即：
是定值，
为定值.
故答案为：B.
【分析】由于轴对称图形的对应角相等，结合旋转的定义可推导出是直角，则是和的公共斜边，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理可表示出的平方值，进而可表示出的平方值，此时可设出的长，则可分别表示出的长，利用勾股定理可得出，由于只知道是定值，即都是变量，所以线段的值不固定，但由于则可继续表示出的值，此时恰好得出的值是的一半，则只有是定值.
二、填空题
7．（2025·拱墅模拟） 在图中，中，， BD是的角平分线，点在BD上，过点E作，交AB于点.若，，，则 .
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于点H， 则∠BHD =∠C =90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠HBD=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△HBD≌△CBD(AAS)
∵EF⊥BD于点E，
∴∠BEF = 90°，
∵BE=4， BF=5，
∴BD=BE+DE=4+3=7，
故答案为：
【分析】作DH⊥AB于点H， 则∠BHD=∠C=90°， 而∠HBD=∠CBD， BD=BD， 可根据“AAS”证明△HBD≌△CBD，根据勾股定理求得DE =EF=3， 则BD=7， 由余弦的定义求出BH长，即可求出BC长解题.
8．（2025·崇州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点D和点E；作直线DE分别交线段AB，AC于点F，G.若CG=1，AG=3，则AF的值为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接BG，
由作图过程可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，
∴，AG=BG=3.
∵∠ACB=90°，CG=1，
∴AC=AG+CG=4，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接BG，由线段垂直平分线的性质可得，AG=BG=3，由勾股定理得，，进而可得答案.
9．（2025·南山模拟）如图，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图像上，AC交轴于点．若是AC的中点，的面积为5，则的值为 ．
【答案】-10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：作CD⊥y轴，垂足为点D
在△AOB和△CDB中
∴△AOB≌△CDB
∴
∴
∴
∵反比例函数图象在第二象限
∴k=-10
故答案为：-10
【分析】作CD⊥y轴，垂足为点D。根据全等三角形判定定理可得△AOB≌△CDB，则，即，再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
10．（2025·成都模拟）如图，在中，，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为 ．
【答案】12
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
由作图知，，平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：，
故答案为：12．
【分析】利用勾股定理得，然后根据角平分线尺规作图得，从而证出，进而根据全等三角形对应边相等得得，接下来求出，进行等量代换即可得的周长．
11．（2025·文成二模）如图，在中，是BC边上的中线，将沿AD翻折至，点落在点处，连结CE，BE．记四边形ADEC面积为的面积为，则的值是 ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，延长AD交BE于点F，
∵AC∶BC=3∶4，
∴设AC=3x，BC=4x，
在Rt△ABC中，AB=，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=2x，
在Rt△ACD中，AD=；
由翻折得AE=AB=5x，DE=BD=CD=2x，
∴AD是BE的垂直平分线，∠DBE=∠DEB，∠DEC=∠DCE，
∵∠DBE+∠DEB+∠DEC+∠DCE=2(∠BED+∠DEC)=180°，
∴∠BEC=∠BED+∠CED=90°，
∴△BCE是直角三角形，
设DF=y，则AF=AD+DF=，
由勾股定理得AF2=AE2-EF2，EF2=DE2-DF2，
∴AF2=AE2-DE2+DF2，即，
解得，即DF=，
∵∠AFB=∠CEB=90°，
∴DF∥CE，
∴△BDF∽△BCE，
∴，即，
∴
∴，
∵S△ABC=，S△BCE=，
∵点D是BC的中点，
∴S△ACD=S△ABD=，S△CED=，
∴S1=S△ACD+S△CDE=，S2=S△ABD=3x2，
∴.
故答案为：.
【分析】延长AD交BE于F，设AC=3x，BC=4x，由勾股定理得AB=5x，AD=；由翻折得AE=AB=5x，DE=BD=CD=2x，根据“到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线”得AD是BE的垂直平分线，由等边对等角及三角形的内角定理可推出△BCE是直角三角形，设DF=y，则AF=AD+DF=，由勾股定理可得AF2=AE2-DE2+DF2，据此建立方程求出，即DF=，由同位角相等两直线平行，得DF∥CE，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BDF∽△BCE，由相似三角形对应边成比例建立方程可得，根据勾股定理表示出BE，然后根据三角形面积计算公式分别计算出△ABC、△BCE的面积，由等底同高三角形面积相等得出△ACD、△ABD、△CED的面积，进而根据S1=S△ACD+S△CDE算出S1，最后再求出两个面积之比即可.
12．（2025·成都模拟）如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示）
【答案】3；
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：当时，
∵均为偶数，
∴当时，有，
∴，
∵不满足，故不满足题意，舍去；
当时，有，
∴，故满足题意；
当时，有，
∴或，故满足题意；
综上所述，当时，“幸运三角形” 有3个；
当（为不小于2的正整数）时，
∵均为偶数，
∴当时，有，
∴c无解；
当时，有，
∴，故满足题意，有1个；
当时，有，
∴或，故满足题意，有2个；
......
当时，，
∴，故满足题意，有个；
综上所述，满足条件的 “幸运三角形” 的个数为个，
故答案为：3，．
【分析】当时，根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，来确定满足条件c的值，从而确定满足条件的 “幸运三角形” 的个数；同理当（为不小于2的正整数）时，利用三角形三边关系来确定满足条件c的值，找出对应的满足条件的 “幸运三角形” 的个数的规律，最后求和即可.
三、作图题
13．（2025·宁乡市模拟）如图，在中，．
（1）尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若（1）中，，求的度数．
【答案】（1）解：如图即为所求作；
（2）解：，，
，
平分，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）利用基本作图并结合题意画出的平分线即可；
（2）由三角形的内角和等于180°求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义得∠ABD=∠ABC，然后根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”即可求解．
（1）解：如图即为所求作；
（2）解：，，
，
平分，
，
．
四、解答题
14．（2025·婺城模拟）如图，在中，，点是BC的中点，点在BD上，连结.
（1）若，求的度数.
（2）若，求的度数.
【答案】（1）解：由条件可知∠C=∠B=40°，
∴∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∵点D是BC的中点，
∴，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=40°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=10°
（2）解：由条件可知∠CAE=∠CEA，
根据解析(1)可知：∠B=∠BAE，∠B=∠C，
∴∠CAE=∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，
∴∠BAC+∠B+∠C
=∠BAE+∠CAE+∠B+∠C
=5∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
解得：∠B=36°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出∠C=∠B=40°，根据三线合一求出，根据AE=BE，求出∠BAE=∠B=40°，即可得出答案；
(2)根据CA=CE，得出∠CAE=∠CEA，根据解析(1)可知：∠B=∠BAE，∠B=∠C，根据三角形内角和得出5∠B=180°，即可求出结果.
15．（2025·长沙模拟）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点为中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵的垂直平分线交于点，
∴
∵
∴，
∵H为中点，
∴；
（2）解：∵，
∴
∴
∵
∴
∴．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)由线段垂直平分线的性质得到再根据等腰三角形三线合一的性质即可完成证明；
(2)结合 (1)的结论，根据三角形外角、等腰三角形和三角形内角和的性质计算，即可完成求解.
16．（2025·衢州模拟）如图，在中，是内一点，连结CD，将线段CD绕点逆时针旋转到CE，使，连结.
（1）求证：.
（2）当时，求与的度数和.
【答案】（1）解：∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE-∠DCB=∠ACB-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）.
（2）解：∵∠CBA=60°，CA=CB，
∴△CAB是等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE＋∠BAD=∠CAD＋∠BAD=∠CAB=60°.
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用等式性质证得∠ACD=∠BCE，再利用SAS证明；
（2）先证明△CAB是等边三角形，求得∠CAB=60°，再根据全等三角形的性质证得∠CAD=∠CBE，然后利用两角之和求得∠CBE＋∠BAD.
17．（2025·书院模拟）在平面直角坐标系中，直线文轴于点，交轴于点，点的坐标为.
（1）求直线BC的函数表达式.
（2）点是轴上一动点，连接BD、CD，当的面积是面积的时，求点的坐标.
（3）点坐标为，连接CE，点为直线AB上一点，若，求点坐标.
【答案】（1）解：当x=0时，y=4，当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，
∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线BC的解析式为：
（2）解：∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，
∴OA=2，OB=4，
∴，
∴，
解得：CD=3，
∴点D的坐标为：或
（3）解：过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，
则∠EOC=∠ECF=∠CGF=90°，
∴∠CEO+∠OCE=∠GCF+∠OCE=90°，
∴∠CEO=∠GCF，
又∵∠CEP=45°，
∴CE=CF，
∴△COE≌△FGC，
∴FG=OC=1，CG=OE=2，
∴OG=OC+CG=3，
∴点F的坐标为(3，-1)，
根据（1）得到直线EF的解析式为，
解方程组得，
∴点P的坐标为，
如图，过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，
同理可得点F的坐标为(-1，1)，
根据（1）得到直线EF的解析式为，
解方程组得，
∴点P的坐标为，
∴点P的坐标为：或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出△OAB的面积，然后根据倍数关系求出△BCD的面积，即可得到CD长解题即可；
（3）分为两种情况，过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，证明△COE≌△FGC，求出点F的坐标，即可得到直线EF的解析式，然后联立方程组求出交点P的坐标即可.
五、实践探究题
18．（2024九下·南阳模拟）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
【答案】（1）证明：是BD的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
解：（2）是BD的中点，N是CD的中点，
，
.
∵P是BD的中点，M是AB的中点，
∴PM∥AD，
.
由（1）可知，
.
（3）是直角三角形，证明如下：
如图，取BD的中点P，连接PM，PN，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等边三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线等于第三边的一半得，，结合AD=BC可得，利用等边对等角即可得到；
（2）根据三角形的中位线平行第三边得PN∥BC，PM∥AD，由二直线平行，同位角相等得，由二直线平行，内错角相等得，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明；
（3）取BD的中点P，连接PM，PN，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可推出PM∥AD，PN∥BC，，，结合已知推出PM=PN，由等边对等角得∠PMN=∠PNM，然后根据二直线平行，内错角相等（同位角相等），再结合对顶角相等及等量代换可得，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△CGN是等边三角形，得CN=GN=DN，由等边对等角及三角形外角性质可求出，从而求出度数，即可求证的形状.
六、阅读理解题
19．（2024九下·凉州模拟）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．
【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；
，
，
∵，，
，，
，
，
∵
，
∴ __________；
②，，则__________；
【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；
【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________．
【答案】（1）①
②9
（2）结论：．理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）①，
，
∵，，
，，
，
，
∵，，，
∴；
故答案为：
②由①知，
，
∵，，
∴；
故答案为：；
（3）延长，过点作于，如图所示：
，，
，
，，
∴，
，，
，
延长，过点作于，如图所示：
，
，
，
，
由平行线间的平行线段相等可得，
．
故答案为：．
【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
②根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得，根据角之间的关系可得，由全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）延长，过点作于，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，由边之间的关系可得PE=4，延长，过点作于，根据直线平行性质可得AF∥CP，PE∥CF，则，再根据三角形面积即可求出答案.
七、综合题
20．（2025·崇州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象分别交于点A（-1，a） 和点B
（1）求直线的表达式；
（2）如图 2，直线经过点B与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D， 点D将线段BC分成CD， BD两条线段， 且， 连接AD，求
（3）在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点E，使是以BC为斜边的直角三角形， 若存在， 请求出点E的坐标； 若不存在， 请说明理由.
【答案】（1）解：将点A(-1，a)代入反比例函数y=得a=-3，
∴A(-1，-3)，
将A(-1，-3)代入直线l得，-2+m=-3，
解得m=-1，
∴直线l的表达式为y=2x-1；
（2）解：联立，解得或，
∴，
过B作轴于点H，过C作轴于点G，
则
∴C（-3，-1）
即
设 A B 与 轴交于点 ，则 ，
（3）解：
①当点在轴上时，设 ，
∵△BCE是以BC为斜边的直角三角形，
解得 ，
或 ；
②当点在轴上时，设，
∴△BCE是以BC为斜边的直角三角形，
∴BE2+CE2=BC2，
∴
整理得：2m2-2m-13 = 0，
解得，
，
综上，点E坐标为或或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)将A代入反比例函数求a值，再将A代入l1求m即可得解；
(2)先求出，过B作BH⊥x轴于点H，过C作CG⊥x轴于点G，即可得出，从而可求出点C坐标、D坐标，进而利用割补法求解即可；
(3)分类讨论，设出点E坐标，利用两点距离公式分别表示出BE、CE、BC，再利用勾股定理建立方程求解即可.
1 / 1基础图形和三角形的性质与全等-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·莲都模拟）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·婺城模拟）如图，面积为的正方形ABCD是由正方形EFGH和四个形状、大小一样的直角三角形组成，其中，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·南山模拟）如图，在中，为的中位线，连接CD．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020七上·蜀山期末）如果 和 互余，则下列式子中表示 补角是（ ）
①180°－ ；② ＋2 ；③2 ＋ ；④ ＋90°
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
5．（2025·温州模拟）如图，BD是正方形ABCD的对角线，为边BC上的动点（不与端点重合），点在BC的延长线上，且，过点作于点，连结．则下列比值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·温州模拟）如图，在中，，设，且是定值.点是AC上一点，点为AB中点，连接CE，将线段CE绕点顺时针旋转，得到线段EF交AC于点，若点关于直线DE的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（ ）
A．AD B．CD C．CG D．DE
二、填空题
7．（2025·拱墅模拟） 在图中，中，， BD是的角平分线，点在BD上，过点E作，交AB于点.若，，，则 .
8．（2025·崇州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点D和点E；作直线DE分别交线段AB，AC于点F，G.若CG=1，AG=3，则AF的值为 ．
9．（2025·南山模拟）如图，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图像上，AC交轴于点．若是AC的中点，的面积为5，则的值为 ．
10．（2025·成都模拟）如图，在中，，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为 ．
11．（2025·文成二模）如图，在中，是BC边上的中线，将沿AD翻折至，点落在点处，连结CE，BE．记四边形ADEC面积为的面积为，则的值是 ．
12．（2025·成都模拟）如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示）
三、作图题
13．（2025·宁乡市模拟）如图，在中，．
（1）尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若（1）中，，求的度数．
四、解答题
14．（2025·婺城模拟）如图，在中，，点是BC的中点，点在BD上，连结.
（1）若，求的度数.
（2）若，求的度数.
15．（2025·长沙模拟）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点为中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
16．（2025·衢州模拟）如图，在中，是内一点，连结CD，将线段CD绕点逆时针旋转到CE，使，连结.
（1）求证：.
（2）当时，求与的度数和.
17．（2025·书院模拟）在平面直角坐标系中，直线文轴于点，交轴于点，点的坐标为.
（1）求直线BC的函数表达式.
（2）点是轴上一动点，连接BD、CD，当的面积是面积的时，求点的坐标.
（3）点坐标为，连接CE，点为直线AB上一点，若，求点坐标.
五、实践探究题
18．（2024九下·南阳模拟）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
六、阅读理解题
19．（2024九下·凉州模拟）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．
【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；
，
，
∵，，
，，
，
，
∵
，
∴ __________；
②，，则__________；
【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；
【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________．
七、综合题
20．（2025·崇州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象分别交于点A（-1，a） 和点B
（1）求直线的表达式；
（2）如图 2，直线经过点B与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D， 点D将线段BC分成CD， BD两条线段， 且， 连接AD，求
（3）在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点E，使是以BC为斜边的直角三角形， 若存在， 请求出点E的坐标； 若不存在， 请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠ABD==108°，∠DBC=∠BAC，
∵∠α+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ACB=∠BAC=180°-108°=72°，
∴∠α=180°-∠ACB-∠BAC=180°-72°-72°=36°，
故答案为：C.
【分析】 根据题目描述，五个完全相同的等腰三角形组合构成了内外两个正五边形，通过计算正五边形的内角可知∠ABD为108度，运用三角形内角和为180度的性质，可以推导出∠ACB和∠BAC均为72度（180°-108°），最终即可求得∠α的具体数.
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：设AE=x，由BE=2AE=2x，
∵AB=BC=CD，∠AEB=90°，CG=DH，∠BCG=∠CDH.
∴△AEB △CGD(SAS)
∴由勾股定理可得：AB2=AE2+BE2=5x2=S，
∵△BCG △CDH(SAS)，.
∴，
∴阴影部分面积为
故答案为：B.
【分析】设AE=x，由BE=2AE=2x，由勾股定理可得：AB2=AE2+BE2=5x2=S，进而即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，AC=BC，∠B=70°
∴∠A=∠B=70°
∴∠ACB=180°-70°×2=40°
∵AC=BC，AD=DB
∴
∵DE为△ABC的中位线
∴DE∥BC
∴∠EDC=∠DCB=20°
故答案为：C
【分析】根据等边对等角可得∠A=∠B=70°，再根据三角形内角和定理可得∠ACB=40°，根据等腰三角形性质可得，再根据三角形中位线定理可得DE∥BC，再根据直线平行性质即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵ ，
∴ 是 的补角，故①符合题意．
∵ 互余，
∴ ．
∴ 是 的补角，故②符合题意．
∵ 互余，
∴ ，
∵无法判断 的大小，
∴无法判断 是否为 的补角，故③无法确定．
∵ 互余，
∴ ．
∴ 是 的补角，故④符合题意．
综上可知：①②④符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据 和 互余可得，再结合题意 补角=，即可
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接AG、CG。
四边形ABCD是正方形
为等腰直角三角形
故答案为：A.
【分析】由于正方形的每一个内角都是90度，其对角线平分一组对角，因此可连接AG、CG，则可证与全等，则有AG等于CG；由于FG垂直BD且等于45度，则可得是等腰直角三角形，则有FG等于BG，再利用已知BE等于CF，则可证与全等，则有EG等于CG，此时等量代换得AG等于EG；由于BE等于CF，则可得EF等于BC等于AB，可证明与全等，则利用全等的性质可把转化到的位置上，从而得到等于90度，即是等腰直角三角形，则由勾股定理或锐角三角函数知其直角边与斜边的比必然是定值.
6．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接.
中，
为的中点
中，
关于直线对称
设，则
中，，即：
整理得：，即：
是定值，
为定值.
故答案为：B.
【分析】由于轴对称图形的对应角相等，结合旋转的定义可推导出是直角，则是和的公共斜边，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理可表示出的平方值，进而可表示出的平方值，此时可设出的长，则可分别表示出的长，利用勾股定理可得出，由于只知道是定值，即都是变量，所以线段的值不固定，但由于则可继续表示出的值，此时恰好得出的值是的一半，则只有是定值.
7．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于点H， 则∠BHD =∠C =90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠HBD=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△HBD≌△CBD(AAS)
∵EF⊥BD于点E，
∴∠BEF = 90°，
∵BE=4， BF=5，
∴BD=BE+DE=4+3=7，
故答案为：
【分析】作DH⊥AB于点H， 则∠BHD=∠C=90°， 而∠HBD=∠CBD， BD=BD， 可根据“AAS”证明△HBD≌△CBD，根据勾股定理求得DE =EF=3， 则BD=7， 由余弦的定义求出BH长，即可求出BC长解题.
8．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接BG，
由作图过程可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，
∴，AG=BG=3.
∵∠ACB=90°，CG=1，
∴AC=AG+CG=4，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接BG，由线段垂直平分线的性质可得，AG=BG=3，由勾股定理得，，进而可得答案.
9．【答案】-10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：作CD⊥y轴，垂足为点D
在△AOB和△CDB中
∴△AOB≌△CDB
∴
∴
∴
∵反比例函数图象在第二象限
∴k=-10
故答案为：-10
【分析】作CD⊥y轴，垂足为点D。根据全等三角形判定定理可得△AOB≌△CDB，则，即，再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
10．【答案】12
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
由作图知，，平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：，
故答案为：12．
【分析】利用勾股定理得，然后根据角平分线尺规作图得，从而证出，进而根据全等三角形对应边相等得得，接下来求出，进行等量代换即可得的周长．
11．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，延长AD交BE于点F，
∵AC∶BC=3∶4，
∴设AC=3x，BC=4x，
在Rt△ABC中，AB=，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=2x，
在Rt△ACD中，AD=；
由翻折得AE=AB=5x，DE=BD=CD=2x，
∴AD是BE的垂直平分线，∠DBE=∠DEB，∠DEC=∠DCE，
∵∠DBE+∠DEB+∠DEC+∠DCE=2(∠BED+∠DEC)=180°，
∴∠BEC=∠BED+∠CED=90°，
∴△BCE是直角三角形，
设DF=y，则AF=AD+DF=，
由勾股定理得AF2=AE2-EF2，EF2=DE2-DF2，
∴AF2=AE2-DE2+DF2，即，
解得，即DF=，
∵∠AFB=∠CEB=90°，
∴DF∥CE，
∴△BDF∽△BCE，
∴，即，
∴
∴，
∵S△ABC=，S△BCE=，
∵点D是BC的中点，
∴S△ACD=S△ABD=，S△CED=，
∴S1=S△ACD+S△CDE=，S2=S△ABD=3x2，
∴.
故答案为：.
【分析】延长AD交BE于F，设AC=3x，BC=4x，由勾股定理得AB=5x，AD=；由翻折得AE=AB=5x，DE=BD=CD=2x，根据“到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线”得AD是BE的垂直平分线，由等边对等角及三角形的内角定理可推出△BCE是直角三角形，设DF=y，则AF=AD+DF=，由勾股定理可得AF2=AE2-DE2+DF2，据此建立方程求出，即DF=，由同位角相等两直线平行，得DF∥CE，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BDF∽△BCE，由相似三角形对应边成比例建立方程可得，根据勾股定理表示出BE，然后根据三角形面积计算公式分别计算出△ABC、△BCE的面积，由等底同高三角形面积相等得出△ACD、△ABD、△CED的面积，进而根据S1=S△ACD+S△CDE算出S1，最后再求出两个面积之比即可.
12．【答案】3；
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：当时，
∵均为偶数，
∴当时，有，
∴，
∵不满足，故不满足题意，舍去；
当时，有，
∴，故满足题意；
当时，有，
∴或，故满足题意；
综上所述，当时，“幸运三角形” 有3个；
当（为不小于2的正整数）时，
∵均为偶数，
∴当时，有，
∴c无解；
当时，有，
∴，故满足题意，有1个；
当时，有，
∴或，故满足题意，有2个；
......
当时，，
∴，故满足题意，有个；
综上所述，满足条件的 “幸运三角形” 的个数为个，
故答案为：3，．
【分析】当时，根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，来确定满足条件c的值，从而确定满足条件的 “幸运三角形” 的个数；同理当（为不小于2的正整数）时，利用三角形三边关系来确定满足条件c的值，找出对应的满足条件的 “幸运三角形” 的个数的规律，最后求和即可.
13．【答案】（1）解：如图即为所求作；
（2）解：，，
，
平分，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）利用基本作图并结合题意画出的平分线即可；
（2）由三角形的内角和等于180°求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义得∠ABD=∠ABC，然后根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”即可求解．
（1）解：如图即为所求作；
（2）解：，，
，
平分，
，
．
14．【答案】（1）解：由条件可知∠C=∠B=40°，
∴∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∵点D是BC的中点，
∴，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=40°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=10°
（2）解：由条件可知∠CAE=∠CEA，
根据解析(1)可知：∠B=∠BAE，∠B=∠C，
∴∠CAE=∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，
∴∠BAC+∠B+∠C
=∠BAE+∠CAE+∠B+∠C
=5∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
解得：∠B=36°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出∠C=∠B=40°，根据三线合一求出，根据AE=BE，求出∠BAE=∠B=40°，即可得出答案；
(2)根据CA=CE，得出∠CAE=∠CEA，根据解析(1)可知：∠B=∠BAE，∠B=∠C，根据三角形内角和得出5∠B=180°，即可求出结果.
15．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵的垂直平分线交于点，
∴
∵
∴，
∵H为中点，
∴；
（2）解：∵，
∴
∴
∵
∴
∴．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)由线段垂直平分线的性质得到再根据等腰三角形三线合一的性质即可完成证明；
(2)结合 (1)的结论，根据三角形外角、等腰三角形和三角形内角和的性质计算，即可完成求解.
16．【答案】（1）解：∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE-∠DCB=∠ACB-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）.
（2）解：∵∠CBA=60°，CA=CB，
∴△CAB是等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE＋∠BAD=∠CAD＋∠BAD=∠CAB=60°.
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用等式性质证得∠ACD=∠BCE，再利用SAS证明；
（2）先证明△CAB是等边三角形，求得∠CAB=60°，再根据全等三角形的性质证得∠CAD=∠CBE，然后利用两角之和求得∠CBE＋∠BAD.
17．【答案】（1）解：当x=0时，y=4，当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，
∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线BC的解析式为：
（2）解：∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，
∴OA=2，OB=4，
∴，
∴，
解得：CD=3，
∴点D的坐标为：或
（3）解：过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，
则∠EOC=∠ECF=∠CGF=90°，
∴∠CEO+∠OCE=∠GCF+∠OCE=90°，
∴∠CEO=∠GCF，
又∵∠CEP=45°，
∴CE=CF，
∴△COE≌△FGC，
∴FG=OC=1，CG=OE=2，
∴OG=OC+CG=3，
∴点F的坐标为(3，-1)，
根据（1）得到直线EF的解析式为，
解方程组得，
∴点P的坐标为，
如图，过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，
同理可得点F的坐标为(-1，1)，
根据（1）得到直线EF的解析式为，
解方程组得，
∴点P的坐标为，
∴点P的坐标为：或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出△OAB的面积，然后根据倍数关系求出△BCD的面积，即可得到CD长解题即可；
（3）分为两种情况，过点C作CF⊥CE交EP于点F，过F作FG⊥x轴于点G，证明△COE≌△FGC，求出点F的坐标，即可得到直线EF的解析式，然后联立方程组求出交点P的坐标即可.
18．【答案】（1）证明：是BD的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
解：（2）是BD的中点，N是CD的中点，
，
.
∵P是BD的中点，M是AB的中点，
∴PM∥AD，
.
由（1）可知，
.
（3）是直角三角形，证明如下：
如图，取BD的中点P，连接PM，PN，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等边三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线等于第三边的一半得，，结合AD=BC可得，利用等边对等角即可得到；
（2）根据三角形的中位线平行第三边得PN∥BC，PM∥AD，由二直线平行，同位角相等得，由二直线平行，内错角相等得，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明；
（3）取BD的中点P，连接PM，PN，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可推出PM∥AD，PN∥BC，，，结合已知推出PM=PN，由等边对等角得∠PMN=∠PNM，然后根据二直线平行，内错角相等（同位角相等），再结合对顶角相等及等量代换可得，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△CGN是等边三角形，得CN=GN=DN，由等边对等角及三角形外角性质可求出，从而求出度数，即可求证的形状.
19．【答案】（1）①
②9
（2）结论：．理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）①，
，
∵，，
，，
，
，
∵，，，
∴；
故答案为：
②由①知，
，
∵，，
∴；
故答案为：；
（3）延长，过点作于，如图所示：
，，
，
，，
∴，
，，
，
延长，过点作于，如图所示：
，
，
，
，
由平行线间的平行线段相等可得，
．
故答案为：．
【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
②根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得，根据角之间的关系可得，由全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）延长，过点作于，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，由边之间的关系可得PE=4，延长，过点作于，根据直线平行性质可得AF∥CP，PE∥CF，则，再根据三角形面积即可求出答案.
20．【答案】（1）解：将点A(-1，a)代入反比例函数y=得a=-3，
∴A(-1，-3)，
将A(-1，-3)代入直线l得，-2+m=-3，
解得m=-1，
∴直线l的表达式为y=2x-1；
（2）解：联立，解得或，
∴，
过B作轴于点H，过C作轴于点G，
则
∴C（-3，-1）
即
设 A B 与 轴交于点 ，则 ，
（3）解：
①当点在轴上时，设 ，
∵△BCE是以BC为斜边的直角三角形，
解得 ，
或 ；
②当点在轴上时，设，
∴△BCE是以BC为斜边的直角三角形，
∴BE2+CE2=BC2，
∴
整理得：2m2-2m-13 = 0，
解得，
，
综上，点E坐标为或或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)将A代入反比例函数求a值，再将A代入l1求m即可得解；
(2)先求出，过B作BH⊥x轴于点H，过C作CG⊥x轴于点G，即可得出，从而可求出点C坐标、D坐标，进而利用割补法求解即可；
(3)分类讨论，设出点E坐标，利用两点距离公式分别表示出BE、CE、BC，再利用勾股定理建立方程求解即可.
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