四边形之平行四边形与菱形-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·湖南模拟）如图，在菱形中，，分别是，的中点，，则的长为( )
A． B． C． D．不确定
2．（2025·舟山模拟）如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九下·浙江模拟）如图，为的对角线上一点，过点作，的平行线，分别交，，，于四点，连结．若的面积为，则的面积为（ ）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25
4．（2025·书院模拟）在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，连接CE，CF.若，，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．6
5．（2024·丽水模拟）如图，中，为钝角，以为边向外作平行四边形，为钝角，连结，，设，，的面积分别为，，，若知道的面积，则下列代数式的值可求的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·广州期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ）
①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
二、填空题
7．（2025·文成二模）如图，在中，分别是AB，AC边上的中点，于点，过点作交BC于点，连结GF，则GF的长为 ．
8．（2025·舟山模拟）如图，菱形中，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，连接，当与第一次垂直时，的度数为 ．
9．（2025·温州模拟）如图，点E，F分别在平行四边形的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则 ， ．
10．（2025九下·罗湖月考）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号）
11．（2025·杭州模拟）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为
12．（2025·宝安模拟）如图，在中，，将沿对角线翻折至与相交于点，连接，则的值为 ．
三、作图题
13．（2025·临安模拟）已知：在矩形中，是对角线．求作：菱形，使点分别在边上．
作法：如图，①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于点；
②作直线交于点，与分别交于点；
③连接．
所以四边形就是所求的菱形．
根据上面设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵，
∴是的垂直平分线 （填推理根据）．
∴．
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∴ ．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形 （填推理根据）．
又∵，
∴四边形是菱形 （填推理根据）．
四、解答题
14．（2025·杭州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE.
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形.
（2）若，，求线段BE的长.
15．（2025·宁波模拟） 小宁同学按如下步骤作四边形 ABCD：①画；②以点 A 为圆心，3cm长为半径画弧，分别交 AM， AN 于点 B， D； ③分别以点 B， D， 为圆心，3cm长为半径画弧，两弧交于点 C；④连接 BC， DC.
（1） 求证：四边形 ABCD 是菱形.
（2） 连结 BD，若 ，求四边形 ABCD 的面积.
16．（2025·兴宁模拟）如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）点是线段上一点，满足交于点．
①求证：；
②若，求的长．
五、实践探究题
17．（2025·广西壮族自治区模拟）【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．
（1）如图1，在中，，，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，其中，平移的距离是______．同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是______
（2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等．
①请问两种瓷砖每块各多少元？
②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少．按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要______元．
18．（2024·东莞模拟）综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究．
【背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点P、Q．
（1）【感知】如图1，若点P是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你写出这个关系式______．
（2）【探究】如图2，小阳说“点P为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由．
（3）【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出线段的长．
六、阅读理解题
19．（2019·北京模拟）阅读理解：
如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．
简单应用：
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是 ；
（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′= °；
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有 个（包含四边形ABCD）．
拓展提升：
（4）当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．
七、综合题
20．（2024·高青模拟）如图，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P．
（1）连接，求证：；
（2）在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离；
（3）在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围；
（4）已知与边交于H点，若，直接写出点到的距离．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，
∵E， F分别是AC， CD的中点，
所以EF的长为4，
故答案为：A.
【分析】先求解 再利用三角形的中位线的性质求解即可.
2．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，设题中的正八边形为正八边形AFHIJKLG，过点C作MC垂直KL于点C
∵八边形AFHIJKLG为正八边形，
∴正八边形AFHIJKLG的每个内角为，
∵∠ABC =65°
∴在五边形ABCLG中∠BCL=180°×(5-2)-3×135°-65°=70°，
由入射角等于反射角得：∠DCM=∠BCM，
∴90-∠DCM=90°-∠BCM，
即∠DCK=∠BCL=70°，
∴在五边形CDIJK中，
∠CDI=180°×(5-2)-3 ×135°-70°= 65°，
同理可得：∠EDH=∠CDI=65°，
∴在五边形AFHDE中，
∠AED=180°×(5-2)-3×135°-65°= 70°；
故答案为：A.
【分析】设题中的正八边形为正八边形AFHIJKLG，过点C作MC⊥KL于点C，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据五边形的内角和可得∠BCL的度数，从而可得∠DCK的度数，同理可得∠EDH，∠CDI的度数，最后根据五边形的内角和求解即可得.
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴S△ABD=S△CBD·
∵EF//AB，GH//BC，
∴EF//AB//CD，GH//BC//AD，
∴四边形AEPG、四边形PHCF、四边形GPFB和四边形BDEP都是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴.
∴，
∴S△PFH=S△APE.
∴△APE的面积为2.5，
∴△APE的面积为2.5，
故答案为：B.
【分析】先根据平行四边形的性质，得出AB//CD，AD//BC，从而可是S△ABD=S△CBD，再证明四边形AEPG、四边形PHCF、四边形GPFB和四边形BDEP都是平行四边形，从而可得，，，，结合，可得S△PFH=S△APE，从而可求得△APE的面积为2.5，也就可得△APE的面积为2.5.
4．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC和BD交于点O，连接EF交AC与点M，过点E作EN⊥CF于点N，
∵ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠EAC=∠FAC，AC⊥BD，
又∵E、F是AB、AD的中点，
∴AE=AF，
∴△AEC≌△AFC，
∴CF=CE=10，
又∵，
∴EN=CE×sin∠ECF=6，
∴，
∴FN=CF-CN=10-8=2，
∴，
又∵AE=AF，∠EAC=∠FAC，
∴，
∴，
又∵E、F是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴AM=MO=，
∴，
∴BC=AB=2AE= ，
故答案为：A.
【分析】连接AC和BD交于点O，连接EF交AC与点M，过点E作EN⊥CF于点N，根据菱形的性质得到△AEC≌△AFC，即可得到CF=CE=10，然后根据正弦的定义和勾股定理求出CN、EF和CM长，再根据三角形的中位线得到EF∥BD，求出AM长，然后利用勾股定理求出AE长解题即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：分别过点A、D、E作直线CB的垂线，垂足分别为T、H、F，过点E作EP⊥DH，交DH的延长线于P，连接BE，如图，
∵
∴四边形EFHP为矩形，
∴
∴
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∵
∴
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
又∵
∴
=
=
=
=
=
∴若知道的面积，则下列代数式的值可求的是：，
故答案为：B.
【分析】分别过点A、D、E作直线CB的垂线，垂足分别为T、H、F，过点E作EP⊥DH，交DH的延长线于P，连接BE，先证然后利用"AAS"证明则进而根据三角形的面积公式可得到：根据几何图形得到： 进而即可求解.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∴CD=DE，
∴AB=DE.
∵∠BAG=∠EDG，∠AGB=∠DGE，AB=DE，
∴△ABG≌△DEG，
∴AG=DG，
∴OG为△ACD的中位线，
∴OG=CD=AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE为平行四边形.
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△BCD、△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴四边形ABDE为菱形，故④正确；
∴AD⊥BE.
∵四边形ABDE为菱形，
∴△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS）.
∵AG=DO，∠BAG=∠CDO，AB=CD，
∴△BGA≌△COD，
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②错误；
∵OB=OD，
∴S△BOG=S△DOG.
∵四边形ABDE为菱形，
∴S△ADG=S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，故③正确.
故答案为：A.
【分析】由菱形的性质可得AB=BC=AD=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，根据平行线的性质可得∠BAG=∠EDG，则△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，利用AAS证明△ABG≌△DEG，得到AG=DG，推出OG为△ACD的中位线，据此判断①；易得△BCD、△ABD为等边三角形，得到AB=BD=AD，∠ODC=60°，进而判断④；由菱形的性质可得△BGA≌△BGD≌△EGD，利用SAS证明△BGA≌△COD，进而判断②；易得S△BOG=S△DOG，S△ADG=S△DGE，据此判断③.
7．【答案】4
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接ED交GF于点O，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
又∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴DF=AC=2.5，DE=AB=3，EF=BC=2.5，EF∥GD，
又∵EG∥DF，
∴四边形DFEG是平行四边形，
又∵DF=EF=2.5，
∴平行四边形DFEG是菱形，
∴ED⊥DF，GF=2OF，EO=ED=1.5，
∴OF=，
∴GF=2OF=4.
故答案为：4.
【分析】连接ED交GF于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得DF=AC=2.5，DE=AB=3，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得EF=BC=2.5，EF∥GD，由“两组对边分别平行得四边形是平行四边形”得四边形DFEG是平行四边形，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得平行四边形DFEG是菱形，由菱形对角线互相垂直平分得ED⊥DF，EO=ED=1.5，GF=2OF，进而利用勾股定理算出OF即可得出答案.
8．【答案】
【知识点】角的运算；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，ABIICD，∠ABC=∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°，
由旋转可得：
AB=AB'，∠BCD=∠B'C'D'=60°，∠ABC=∠AB'C'=∠ADC，
∴AB'=B'C'=AD=CD，
如图所示，连接BD，设B'C'与CD交于点E，
∵AB'= AD，
∴∠AB'D= ∠ADB'，
∴∠AB'C'-∠AB'D=∠ADC-∠ADB'，即
∠EB'D=∠EDB'，
∴EB'=ED，
∴B'C'-EB'=CD-ED，即EC'=EC，
∴∠EC'C=∠ECC'，
∵B'C'⊥CD，即∠CEC'=90°，
∴∠EC'C=∠ECC'==45°，
∴∠D'C'C=∠D'C'B'+∠EC'C=60°+45°=105°；
故答案为：105°.
【分析】根据菱形的性质及旋转的性质可得AB'=B'C'=AD=CD，如图所示，连接B'D，设B'C'与CD交于点E，可证EC'=EC，∠EC'C=∠ECC'，由此得到∠EC'C=∠ECC=45°，由∠D'C'C=∠D'C'B+∠EC'C=60°+45°=105，即可求解.
9．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵点D关于的对称点G恰好在的延长线上，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】根据轴对称的性质得，，根据平行四边形的性质得，，从而得，进行等量代换后可得，进而由等腰三角形的判定推出，由可设，则，，即可得出，接下来根据相似三角形的判定证明，由相似三角形对应边成比例的性质得出，设，则，求出，最后求出的值.
10．【答案】①②④
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故①正确．
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故②正确．
∵，
∴四边形是菱形，
故③错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】根据平行四边形性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则．根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可判断①，②；根据菱形判定定理可判断③；再根据角之间的关系可得，则，根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可判断④.
11．【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】∵四边形是菱形，
∴设，
∴，
如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G，
∵线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，
∴，，
∴
∴点，D，O三点共线
∴，
∴
∴
∵
∴
由对称可得，
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴．
故答案为：．
【分析】
如图所示，连接A`D，OE，由轴对称的性质知：OB`=OB、OA`=OA；由于由菱形的性质知：OC=OA、OB=OD、ACBD；即OC=OA`、OD=OB`、O、D、A`三点共线，则A`、C关于直线OE对称，B`、D也关于直线OE对称，即OE平分；此时可设AC=10a，BD=6a，则OB`=OB=3a，OC=5a，即CB`=2a，则：=2：3， 由轴对称的性质知，，即，则．
12．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
，
，
，
，
，
，
设
，
过点作于点，如图
，
，
，
设
，
在中，，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得，根据平行线分线段成比例定理可得，即，设，则，过点作于点，根据等腰直角三角形性质可得， 再根据勾股定理可得AC，设，则，再根据勾股定理建立方程，化简可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】（1）解：补全图形如图所示：
（2）到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）证明：连接，
∵，
∴是的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【分析】（1）根据作法作图；
（2）根据线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理求解．
（1）解：补全图形如图所示：
；
（2）证明：连接，
，
∵，
∴是的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：
∵点E为AO的中点，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可求得 ，再结合E、F为中点，可求得 则可证得四边形EBFD为平行四边形；
(2)根据勾股定理求出 再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可.
15．【答案】（1）证明：根据作法得 ，
∴ 四边形 ABCD 为菱形
（2）解：连结 AC，BD 交于点 O，
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴，，
∵，
∴.
∴ 的面积为 ，
∴ 菱形 ABCD 的面积为
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图的概念
【解析】【分析】(1)由作图过程可知AB=AD=CD=BC，则可得四边形ABCD是菱形；
(2)连接AC，交BD于点O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AC=2OA，，则，，再根据四边形ABCD的面积为可得答案.
16．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）①证明：
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②解：由①得，
，即，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行线成比例定理可得，即，即可求出答案.
（2）①根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，根据角之间的关系可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
②根据相似三角形判定定理可得，代值计算即可求出答案.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）①证明：
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②解：由①得，
，即，
．
17．【答案】（1）3；；
（2）解：①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为元，由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，
∴，
∴正三角形瓷砖每块的价格为10元，则正六边形瓷砖每块的价格为50元，
②520.
【知识点】勾股定理；平面镶嵌（密铺）；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1所示，过点B作于E，
∵图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，
∴平移的距离是AD=3；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由平移的性质可得：图4中的四边形的面积与图1中的平行四边形的面积相同，
∴图5的面积，
故答案为：3；；
（2）②由题意得一个正六边形所占的区域相当于6个正三角形所占的区域，而，
∴为了使总费用会更少，则正六边形瓷砖要尽可能的多，
根据图7结合题意可知正六边形瓷砖最多可以使用8块，此时正三角形瓷砖需要12块，
∴购买瓷砖最少需要元，
故答案为：520．
【分析】（1）如图1，过点B作于E，根据平移的性质，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，平移的距离是3，图4中的四边形的面积与图1中的平行四边形的面积相同，利用直角三角形两个锐角互余，可求出，利用直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半，可求出AE，利用勾股定理可求出BE，再求出，进而求得到结果；
（2）①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为元，然后根据用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等列出方程求解即可；②由题意得一个正六边形所占的区域相当于6个正三角形所占的区域，而，则为了使总费用会更少，则正六边形瓷砖要尽可能的多，根据图形找出正六边形瓷砖最多的情形并进行计算即可．
（1）解：由题意得，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，其中，平移的距离是3；
如图1所示，过点B作于E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由平移的性质可得图4中的四边形的面积与图1中的平行四边形的面积相同，
∴图5的面积，
故答案为：3；；
（2）解：①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
∴，
∴正三角形瓷砖每块的价格为10元，则正六边形瓷砖每块的价格为50元，
②由题意得一个正六边形所占的区域相当于6个正三角形所占的区域，而，
∴为了使总费用会更少，则正六边形瓷砖要尽可能的多，
根据图7结合题意可知正六边形瓷砖最多可以使用8块，此时正三角形瓷砖需要12块，
∴购买瓷砖最少需要元，
故答案为：520．
18．【答案】（1）
（2）解：同意；理由如下：
连接，
同法（1）可得：，
∴；
（3）线段的长为2或4
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）连接，
∵在菱形中，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）过点作于点，
同（1）可知：为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或；
由（2）知：，
∴，
∴或2．
【分析】（1）连接，根据菱形性质可得再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）连接，根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（3）过点作于点，根据等边三角形性质可得， 再根据勾股定理可得，PE=1，再根据边之间的关系可得PC，由全等三角形性质可得，即可求出答案.
19．【答案】（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴AB≠AD，BC≠CD，∴平行四边形不一定为“完美筝形”； ②∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∴AB≠AD，BC≠CD，∴矩形不一定为“完美筝形”； ③∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴菱形不一定为“完美筝形”； ④∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴正方形一定为“完美筝形”； ∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；故答案为：正方形；
（2）根据题意得：∠B′=∠B=90°，∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，∵∠AEB′+∠BEB′=180°，∴∠AEB′=∠BCB′，∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，∴∠BCE=∠ECF=40°，∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；故答案为：80；
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下； 根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”； ∵四边形ABCD是“完美筝形”，∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，∴∠OD′E=∠OB′F=90°，∵四边形AECF为菱形，∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，在△OED′和△OFB′中，∵∠OD′E=∠OB′F，∠EOD′=∠FOB′，D′E=B′F，∴△OED′≌△OFB′（AAS），∴OD′=OB′，OE=OF，∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”； ∴包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；故答案为：5；
（4）当图③中的∠BCD=90°时，如图所示：四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∵∠EB′F=90°，∴∠A+∠EB′F=180°，∴A、E、B′、F四点共圆，∵AE=AF，∴ ，∴∠AB′E=∠AB′F= ∠EB′F=45°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】 （1）根据“完美风筝”的定义和平行四边形、矩形、菱形、正方形 的性质判断即可得到结果。
（2）根据对折得到∠BCD′=∠B′EC′=∠BCD＝40°，再由四边形内角和，邻补角的定义推出 ∠AEB′=∠BCB′即可得出答案。，
（3） 由折叠可得BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，即可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；
（4）当图③中的∠BCD=90°时，四边形ABCD是正方形， ∠A+∠EB′F=180° 由此可得A、E、B′、F四点共圆，再由AE=AF得出弧AE＝弧AF，根据圆周角定理即可得出∠AB′E的度数
20．【答案】（1）证明：连接
，
∵点E是的中点
∴
又∵，，
∴
（2）解：连接，当点落在上时，点与点D之间距离最小，∵，，
∴，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴点与点D之间的最小距离为．
（3）解：当点落在上时，
∵，平分，
∴
又由（2）得，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
当点落在上时，
连接交于F点，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
．
若点落在的内部（不包含边界），的取值范围为．
（4）解：延长交于M点，延长交延长线于N点，连接，∵，，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵
∴四边形是矩形，
，
∵，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴
．
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，运用得到解题．
（2）连接，当点落在上时，点与点D之间距离最小，根据勾股定理求出和DE长，即可解题．
（3）当点落在上时，得到，即可求出，进而得到；当点落在上时，连接交于F点，由即可推理得到，进然后证明，根据三角形的中位线求出AP长；
（4）延长交于M点，延长交延长线于N点，连接，根据旋转得到，即可得到，根据三角形等面积法求出，然后推导得到，即可求出B'M的值解题即可.
1 / 1四边形之平行四边形与菱形-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·湖南模拟）如图，在菱形中，，分别是，的中点，，则的长为( )
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，
∵E， F分别是AC， CD的中点，
所以EF的长为4，
故答案为：A.
【分析】先求解 再利用三角形的中位线的性质求解即可.
2．（2025·舟山模拟）如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，设题中的正八边形为正八边形AFHIJKLG，过点C作MC垂直KL于点C
∵八边形AFHIJKLG为正八边形，
∴正八边形AFHIJKLG的每个内角为，
∵∠ABC =65°
∴在五边形ABCLG中∠BCL=180°×(5-2)-3×135°-65°=70°，
由入射角等于反射角得：∠DCM=∠BCM，
∴90-∠DCM=90°-∠BCM，
即∠DCK=∠BCL=70°，
∴在五边形CDIJK中，
∠CDI=180°×(5-2)-3 ×135°-70°= 65°，
同理可得：∠EDH=∠CDI=65°，
∴在五边形AFHDE中，
∠AED=180°×(5-2)-3×135°-65°= 70°；
故答案为：A.
【分析】设题中的正八边形为正八边形AFHIJKLG，过点C作MC⊥KL于点C，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据五边形的内角和可得∠BCL的度数，从而可得∠DCK的度数，同理可得∠EDH，∠CDI的度数，最后根据五边形的内角和求解即可得.
3．（2025九下·浙江模拟）如图，为的对角线上一点，过点作，的平行线，分别交，，，于四点，连结．若的面积为，则的面积为（ ）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴S△ABD=S△CBD·
∵EF//AB，GH//BC，
∴EF//AB//CD，GH//BC//AD，
∴四边形AEPG、四边形PHCF、四边形GPFB和四边形BDEP都是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴.
∴，
∴S△PFH=S△APE.
∴△APE的面积为2.5，
∴△APE的面积为2.5，
故答案为：B.
【分析】先根据平行四边形的性质，得出AB//CD，AD//BC，从而可是S△ABD=S△CBD，再证明四边形AEPG、四边形PHCF、四边形GPFB和四边形BDEP都是平行四边形，从而可得，，，，结合，可得S△PFH=S△APE，从而可求得△APE的面积为2.5，也就可得△APE的面积为2.5.
4．（2025·书院模拟）在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，连接CE，CF.若，，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC和BD交于点O，连接EF交AC与点M，过点E作EN⊥CF于点N，
∵ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠EAC=∠FAC，AC⊥BD，
又∵E、F是AB、AD的中点，
∴AE=AF，
∴△AEC≌△AFC，
∴CF=CE=10，
又∵，
∴EN=CE×sin∠ECF=6，
∴，
∴FN=CF-CN=10-8=2，
∴，
又∵AE=AF，∠EAC=∠FAC，
∴，
∴，
又∵E、F是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴AM=MO=，
∴，
∴BC=AB=2AE= ，
故答案为：A.
【分析】连接AC和BD交于点O，连接EF交AC与点M，过点E作EN⊥CF于点N，根据菱形的性质得到△AEC≌△AFC，即可得到CF=CE=10，然后根据正弦的定义和勾股定理求出CN、EF和CM长，再根据三角形的中位线得到EF∥BD，求出AM长，然后利用勾股定理求出AE长解题即可.
5．（2024·丽水模拟）如图，中，为钝角，以为边向外作平行四边形，为钝角，连结，，设，，的面积分别为，，，若知道的面积，则下列代数式的值可求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：分别过点A、D、E作直线CB的垂线，垂足分别为T、H、F，过点E作EP⊥DH，交DH的延长线于P，连接BE，如图，
∵
∴四边形EFHP为矩形，
∴
∴
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∵
∴
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
又∵
∴
=
=
=
=
=
∴若知道的面积，则下列代数式的值可求的是：，
故答案为：B.
【分析】分别过点A、D、E作直线CB的垂线，垂足分别为T、H、F，过点E作EP⊥DH，交DH的延长线于P，连接BE，先证然后利用"AAS"证明则进而根据三角形的面积公式可得到：根据几何图形得到： 进而即可求解.
6．（2023八下·广州期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ）
①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∴CD=DE，
∴AB=DE.
∵∠BAG=∠EDG，∠AGB=∠DGE，AB=DE，
∴△ABG≌△DEG，
∴AG=DG，
∴OG为△ACD的中位线，
∴OG=CD=AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE为平行四边形.
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△BCD、△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴四边形ABDE为菱形，故④正确；
∴AD⊥BE.
∵四边形ABDE为菱形，
∴△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS）.
∵AG=DO，∠BAG=∠CDO，AB=CD，
∴△BGA≌△COD，
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②错误；
∵OB=OD，
∴S△BOG=S△DOG.
∵四边形ABDE为菱形，
∴S△ADG=S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，故③正确.
故答案为：A.
【分析】由菱形的性质可得AB=BC=AD=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，根据平行线的性质可得∠BAG=∠EDG，则△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，利用AAS证明△ABG≌△DEG，得到AG=DG，推出OG为△ACD的中位线，据此判断①；易得△BCD、△ABD为等边三角形，得到AB=BD=AD，∠ODC=60°，进而判断④；由菱形的性质可得△BGA≌△BGD≌△EGD，利用SAS证明△BGA≌△COD，进而判断②；易得S△BOG=S△DOG，S△ADG=S△DGE，据此判断③.
二、填空题
7．（2025·文成二模）如图，在中，分别是AB，AC边上的中点，于点，过点作交BC于点，连结GF，则GF的长为 ．
【答案】4
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接ED交GF于点O，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
又∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴DF=AC=2.5，DE=AB=3，EF=BC=2.5，EF∥GD，
又∵EG∥DF，
∴四边形DFEG是平行四边形，
又∵DF=EF=2.5，
∴平行四边形DFEG是菱形，
∴ED⊥DF，GF=2OF，EO=ED=1.5，
∴OF=，
∴GF=2OF=4.
故答案为：4.
【分析】连接ED交GF于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得DF=AC=2.5，DE=AB=3，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得EF=BC=2.5，EF∥GD，由“两组对边分别平行得四边形是平行四边形”得四边形DFEG是平行四边形，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得平行四边形DFEG是菱形，由菱形对角线互相垂直平分得ED⊥DF，EO=ED=1.5，GF=2OF，进而利用勾股定理算出OF即可得出答案.
8．（2025·舟山模拟）如图，菱形中，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，连接，当与第一次垂直时，的度数为 ．
【答案】
【知识点】角的运算；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，ABIICD，∠ABC=∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°，
由旋转可得：
AB=AB'，∠BCD=∠B'C'D'=60°，∠ABC=∠AB'C'=∠ADC，
∴AB'=B'C'=AD=CD，
如图所示，连接BD，设B'C'与CD交于点E，
∵AB'= AD，
∴∠AB'D= ∠ADB'，
∴∠AB'C'-∠AB'D=∠ADC-∠ADB'，即
∠EB'D=∠EDB'，
∴EB'=ED，
∴B'C'-EB'=CD-ED，即EC'=EC，
∴∠EC'C=∠ECC'，
∵B'C'⊥CD，即∠CEC'=90°，
∴∠EC'C=∠ECC'==45°，
∴∠D'C'C=∠D'C'B'+∠EC'C=60°+45°=105°；
故答案为：105°.
【分析】根据菱形的性质及旋转的性质可得AB'=B'C'=AD=CD，如图所示，连接B'D，设B'C'与CD交于点E，可证EC'=EC，∠EC'C=∠ECC'，由此得到∠EC'C=∠ECC=45°，由∠D'C'C=∠D'C'B+∠EC'C=60°+45°=105，即可求解.
9．（2025·温州模拟）如图，点E，F分别在平行四边形的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则 ， ．
【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵点D关于的对称点G恰好在的延长线上，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】根据轴对称的性质得，，根据平行四边形的性质得，，从而得，进行等量代换后可得，进而由等腰三角形的判定推出，由可设，则，，即可得出，接下来根据相似三角形的判定证明，由相似三角形对应边成比例的性质得出，设，则，求出，最后求出的值.
10．（2025九下·罗湖月考）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号）
【答案】①②④
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故①正确．
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故②正确．
∵，
∴四边形是菱形，
故③错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】根据平行四边形性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则．根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可判断①，②；根据菱形判定定理可判断③；再根据角之间的关系可得，则，根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可判断④.
11．（2025·杭州模拟）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】∵四边形是菱形，
∴设，
∴，
如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G，
∵线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，
∴，，
∴
∴点，D，O三点共线
∴，
∴
∴
∵
∴
由对称可得，
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴．
故答案为：．
【分析】
如图所示，连接A`D，OE，由轴对称的性质知：OB`=OB、OA`=OA；由于由菱形的性质知：OC=OA、OB=OD、ACBD；即OC=OA`、OD=OB`、O、D、A`三点共线，则A`、C关于直线OE对称，B`、D也关于直线OE对称，即OE平分；此时可设AC=10a，BD=6a，则OB`=OB=3a，OC=5a，即CB`=2a，则：=2：3， 由轴对称的性质知，，即，则．
12．（2025·宝安模拟）如图，在中，，将沿对角线翻折至与相交于点，连接，则的值为 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
，
，
，
，
，
，
设
，
过点作于点，如图
，
，
，
设
，
在中，，
，
，
，
，
故答案是：．
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得，根据平行线分线段成比例定理可得，即，设，则，过点作于点，根据等腰直角三角形性质可得， 再根据勾股定理可得AC，设，则，再根据勾股定理建立方程，化简可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、作图题
13．（2025·临安模拟）已知：在矩形中，是对角线．求作：菱形，使点分别在边上．
作法：如图，①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于点；
②作直线交于点，与分别交于点；
③连接．
所以四边形就是所求的菱形．
根据上面设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵，
∴是的垂直平分线 （填推理根据）．
∴．
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∴ ．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形 （填推理根据）．
又∵，
∴四边形是菱形 （填推理根据）．
【答案】（1）解：补全图形如图所示：
（2）到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）证明：连接，
∵，
∴是的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【分析】（1）根据作法作图；
（2）根据线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理求解．
（1）解：补全图形如图所示：
；
（2）证明：连接，
，
∵，
∴是的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
四、解答题
14．（2025·杭州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE.
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形.
（2）若，，求线段BE的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：
∵点E为AO的中点，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可求得 ，再结合E、F为中点，可求得 则可证得四边形EBFD为平行四边形；
(2)根据勾股定理求出 再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可.
15．（2025·宁波模拟） 小宁同学按如下步骤作四边形 ABCD：①画；②以点 A 为圆心，3cm长为半径画弧，分别交 AM， AN 于点 B， D； ③分别以点 B， D， 为圆心，3cm长为半径画弧，两弧交于点 C；④连接 BC， DC.
（1） 求证：四边形 ABCD 是菱形.
（2） 连结 BD，若 ，求四边形 ABCD 的面积.
【答案】（1）证明：根据作法得 ，
∴ 四边形 ABCD 为菱形
（2）解：连结 AC，BD 交于点 O，
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴，，
∵，
∴.
∴ 的面积为 ，
∴ 菱形 ABCD 的面积为
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图的概念
【解析】【分析】(1)由作图过程可知AB=AD=CD=BC，则可得四边形ABCD是菱形；
(2)连接AC，交BD于点O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AC=2OA，，则，，再根据四边形ABCD的面积为可得答案.
16．（2025·兴宁模拟）如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）点是线段上一点，满足交于点．
①求证：；
②若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）①证明：
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②解：由①得，
，即，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行线成比例定理可得，即，即可求出答案.
（2）①根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，根据角之间的关系可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
②根据相似三角形判定定理可得，代值计算即可求出答案.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）①证明：
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②解：由①得，
，即，
．
五、实践探究题
17．（2025·广西壮族自治区模拟）【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．
（1）如图1，在中，，，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，其中，平移的距离是______．同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是______
（2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等．
①请问两种瓷砖每块各多少元？
②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少．按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要______元．
【答案】（1）3；；
（2）解：①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为元，由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，
∴，
∴正三角形瓷砖每块的价格为10元，则正六边形瓷砖每块的价格为50元，
②520.
【知识点】勾股定理；平面镶嵌（密铺）；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1所示，过点B作于E，
∵图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，
∴平移的距离是AD=3；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由平移的性质可得：图4中的四边形的面积与图1中的平行四边形的面积相同，
∴图5的面积，
故答案为：3；；
（2）②由题意得一个正六边形所占的区域相当于6个正三角形所占的区域，而，
∴为了使总费用会更少，则正六边形瓷砖要尽可能的多，
根据图7结合题意可知正六边形瓷砖最多可以使用8块，此时正三角形瓷砖需要12块，
∴购买瓷砖最少需要元，
故答案为：520．
【分析】（1）如图1，过点B作于E，根据平移的性质，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，平移的距离是3，图4中的四边形的面积与图1中的平行四边形的面积相同，利用直角三角形两个锐角互余，可求出，利用直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半，可求出AE，利用勾股定理可求出BE，再求出，进而求得到结果；
（2）①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为元，然后根据用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等列出方程求解即可；②由题意得一个正六边形所占的区域相当于6个正三角形所占的区域，而，则为了使总费用会更少，则正六边形瓷砖要尽可能的多，根据图形找出正六边形瓷砖最多的情形并进行计算即可．
（1）解：由题意得，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，其中，平移的距离是3；
如图1所示，过点B作于E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由平移的性质可得图4中的四边形的面积与图1中的平行四边形的面积相同，
∴图5的面积，
故答案为：3；；
（2）解：①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
∴，
∴正三角形瓷砖每块的价格为10元，则正六边形瓷砖每块的价格为50元，
②由题意得一个正六边形所占的区域相当于6个正三角形所占的区域，而，
∴为了使总费用会更少，则正六边形瓷砖要尽可能的多，
根据图7结合题意可知正六边形瓷砖最多可以使用8块，此时正三角形瓷砖需要12块，
∴购买瓷砖最少需要元，
故答案为：520．
18．（2024·东莞模拟）综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究．
【背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点P、Q．
（1）【感知】如图1，若点P是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你写出这个关系式______．
（2）【探究】如图2，小阳说“点P为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由．
（3）【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）解：同意；理由如下：
连接，
同法（1）可得：，
∴；
（3）线段的长为2或4
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）连接，
∵在菱形中，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）过点作于点，
同（1）可知：为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或；
由（2）知：，
∴，
∴或2．
【分析】（1）连接，根据菱形性质可得再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）连接，根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（3）过点作于点，根据等边三角形性质可得， 再根据勾股定理可得，PE=1，再根据边之间的关系可得PC，由全等三角形性质可得，即可求出答案.
六、阅读理解题
19．（2019·北京模拟）阅读理解：
如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．
简单应用：
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是 ；
（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′= °；
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有 个（包含四边形ABCD）．
拓展提升：
（4）当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．
【答案】（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴AB≠AD，BC≠CD，∴平行四边形不一定为“完美筝形”； ②∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∴AB≠AD，BC≠CD，∴矩形不一定为“完美筝形”； ③∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴菱形不一定为“完美筝形”； ④∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴正方形一定为“完美筝形”； ∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；故答案为：正方形；
（2）根据题意得：∠B′=∠B=90°，∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，∵∠AEB′+∠BEB′=180°，∴∠AEB′=∠BCB′，∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，∴∠BCE=∠ECF=40°，∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；故答案为：80；
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下； 根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”； ∵四边形ABCD是“完美筝形”，∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，∴∠OD′E=∠OB′F=90°，∵四边形AECF为菱形，∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，在△OED′和△OFB′中，∵∠OD′E=∠OB′F，∠EOD′=∠FOB′，D′E=B′F，∴△OED′≌△OFB′（AAS），∴OD′=OB′，OE=OF，∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”； ∴包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；故答案为：5；
（4）当图③中的∠BCD=90°时，如图所示：四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∵∠EB′F=90°，∴∠A+∠EB′F=180°，∴A、E、B′、F四点共圆，∵AE=AF，∴ ，∴∠AB′E=∠AB′F= ∠EB′F=45°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】 （1）根据“完美风筝”的定义和平行四边形、矩形、菱形、正方形 的性质判断即可得到结果。
（2）根据对折得到∠BCD′=∠B′EC′=∠BCD＝40°，再由四边形内角和，邻补角的定义推出 ∠AEB′=∠BCB′即可得出答案。，
（3） 由折叠可得BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，即可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；
（4）当图③中的∠BCD=90°时，四边形ABCD是正方形， ∠A+∠EB′F=180° 由此可得A、E、B′、F四点共圆，再由AE=AF得出弧AE＝弧AF，根据圆周角定理即可得出∠AB′E的度数
七、综合题
20．（2024·高青模拟）如图，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P．
（1）连接，求证：；
（2）在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离；
（3）在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围；
（4）已知与边交于H点，若，直接写出点到的距离．
【答案】（1）证明：连接
，
∵点E是的中点
∴
又∵，，
∴
（2）解：连接，当点落在上时，点与点D之间距离最小，∵，，
∴，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴点与点D之间的最小距离为．
（3）解：当点落在上时，
∵，平分，
∴
又由（2）得，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
当点落在上时，
连接交于F点，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
．
若点落在的内部（不包含边界），的取值范围为．
（4）解：延长交于M点，延长交延长线于N点，连接，∵，，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵
∴四边形是矩形，
，
∵，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴
．
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，运用得到解题．
（2）连接，当点落在上时，点与点D之间距离最小，根据勾股定理求出和DE长，即可解题．
（3）当点落在上时，得到，即可求出，进而得到；当点落在上时，连接交于F点，由即可推理得到，进然后证明，根据三角形的中位线求出AP长；
（4）延长交于M点，延长交延长线于N点，连接，根据旋转得到，即可得到，根据三角形等面积法求出，然后推导得到，即可求出B'M的值解题即可.
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