四边形之矩形与正方形-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·文成二模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（，和中间一个小正方形EFGH组成，连结BH，若，则BH的长为（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2024·台州模拟）如图，在矩形ABCD中，BC>AB，先以点A为圆心，AB长为半径画弧交边AD于点E；再以点D为圆心，DE长为半径画弧交边DC于点F；最后以点C为圆心，CF长为半径画弧交边BC于点G.求BG的长，只需要知道（ ）
A．线段AB的长 B．线段AD的长 C．线段DE的长 D．线段CF的长
3．（2025·龙港模拟）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接，．若，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
4．（2025·上城模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点O为对角线BD的中点，E为线段AB上一点，连结EO，并延长交DC于点F，以点F为圆心，适当长为半径画弧，交FD于点M，交EF于点N。再以点N为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结FP，并延长交线段AB于点Q。则下列两个命题中说法正确的是（ ）
①△QEF为等腰三角形：②设AE长为x，BQ长为y，则（4-x）（4-y）=4。
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
5．（2025·萧山模拟）如图，E是正方形的边上一动点（不与C，D重合），连结，以为边作正方形，点M是的中点，连结．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
6．（2025·乐清二模）如图，在矩形ABCD中，是BC上一点，交AD于点，交对角线AC于点，连接BG，DG，DE．若求阴影部分的面积，则只需要知道（ ）
A．的面积 B．的面积
C．四边形ABEF的面积 D．四边形CDFE的面积
二、填空题
7．（2025·潮阳模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的4倍，那么我们称这个矩形是给定矩形的“倍倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和a时，其“倍倍矩形”的对角线的长度是 ．
8．（2025·潮南模拟）如图，A，B分别是y轴和x轴上的一点，以为斜边构造等腰直角，点D的坐标是，连结，线段的最小值是 ．
9．（广东省深圳市南山外国语学校（集团） 2024-2025学年九年级 数学 四月二次模拟试题）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边上，且．当时，的最小值为 ．
10．（2025·北川模拟）如图，在中，，，，D为边上一动点，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接，则的最小值为 ．
11．（2025·成都模拟）如图，在矩形中，点为矩形对角线的中点，点为上一点，点为射线上一点，若，，则的最小值为 ．
12．（2025·叙州模拟）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为 ．
三、作图题
13．（2025·深圳模拟）如图，在中，，为的外角的平分线，，垂足为，点为上一点，连接，交于点．
（1）在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由；
（2）若四边形为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形，使为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法）
四、解答题
14．（2025·新会模拟）追本溯源
题（1）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）：
（1）如图1，把一个长方形纸片按如图方式折一下，得到四边形是___________；（填“特殊的四边形”的名称）
拓展应用
（2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点的直线折叠，使得点恰好落在上的处，为折痕．若，求．
15．（2024九上·江西期末）如图，中，，平分，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）作于F，若，，求的长．
16．（2023九上·兰州期中） 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
17．（2025·深圳模拟）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离．
【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________．
【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________．
五、实践探究题
18．（2025·罗湖模拟）
（1）【新知探究】
对于正数，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题：
的值 的值 的值
5 4
4 4
4 m
3
①表格中的 ▲ ；
②根据表格，猜想与的大小关系（ ）；
A B C D
③当满足条件： ▲ 时，；
（2）【理解应用】
①已知，，当 ▲ 时，代数式取得最大值是 ▲ ；
②如图1，已知，在Rt中，，，求周长的最大值．
（3）【拓展提升】
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，为CD边上的动点，PA交BD于，过点作交BC边于点，连AF交BD于点，则面积的最小值是 ▲ ．
六、阅读理解题
19．（2024九下·湖州模拟）阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点E、F分别为、边上的点，，连接，求证：．我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点A顺时针旋转得到（如图2），此时即是．
请回答：在图2中，的度数是 ．
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形中，，，，E是上一点，若，，求的长度．
（2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值．
七、综合题
20．（2025·成都模拟）已知平行四边形，，点E为对角线上一动点，连接，以为一边在的右侧作，使，连接．
（1）若且，当，如图①，求此时度数；
（2）若且，当，时，如图②，判断C，D，F三点是否共线并说明理由；
（3）如图③若，且，，当是以为底的等腰三角形时，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形，
∴AB=CD=5，EH=GF=1，
∵Rt△ABE≌Rt△AHD，
∴∠AEB=∠AHD=90°，BE=AH，
设BE=AH=x，则AE=x+1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2，即(x+1)2+x2=52，
解得x=3，
∴BE=3，
在Rt△BEH中，BH=.
故答案为：D.
【分析】由正方形的四边相等得AB=CD=5，EH=GF=1，由全等三角形的对应边相等得BE=AH，设BE=AH=x，则AE=x+1，在Rt△ABE中，由勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而得出BE的长，最后在Rt△BEH中，利用勾股定理算出BH的长即可.
2．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=AE，DE=DF，CF=CG，
∴设AB=AE=CD=x，CF=CG=y，
∴DE=DF=x-y，
∴AD=BC=x+x-y，
∴BG=BC-CG=2x-y-y=2（x-y）=2DE，
∴求BG的长，只需要知道线段DE的长即可；
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，结合图可设AB=AE=CD=x，CF=CG=y，求得BG=BC-CG=2x-y-y=2（x-y）=2DE，即可得出结论.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
4．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由作图可得∠MFN=∠PFN，
又∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠QEF=∠EFD，∠EBD=∠BDF，
∴∠QFE=∠QEF，
∴QE=QF=8-x-y，故①正确；
又∵ 点O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，
又∵∠QFE=∠QEF，∠EBD=∠BDF，
∴△OBE≌△ODF，
∴BE=DF，
∴FC=AE=x，
过点Q作QG⊥BC于点G，
则BCGQ是矩形，
∴CG=BQ=y，
∴FG=x-y，
在Rt△QFG中，QG2+FG2=QF2，即42=(8-x-y)2-(x-y)2，
整理得16=(8-x-y+x-y)(8-x-y-x+y)，即(4-x)(4-y)=4，故②正确；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得∠QEF=∠EFD，根据作图得到∠MFN=∠PFN，即可得到∠QFE=∠QEF，进而得到QE=QF判断①；然后证明△OBE≌△ODF，即可得到BE=DF，即可得到FC=AE=x，然后过点Q作QG⊥BC于点G，即可得到FG=x-y，再在Rt△QFG中根据勾股定理解题即可.
5．【答案】A
【知识点】正方形的性质；四边形的综合；四点共圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
② 如图所示，连接BD，EM.
∵，
∴，
∴
∴四点共圆，且
∴
∵正方形ABCD中，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴B、M、D三点共线，
故选：A．
【分析】
① 连接，由正方形的性质知，则可证，则，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，故结论正确；
② 连接BD，EM，则是等腰直角三角形，且、，则可证明点四点共圆，则由圆周角定理得；再利用SAS证，则，因为正方形ABCD中，则B、M、D三点共线.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设AB=BE=x，EC=y，
由FE∥CD得，，
∴，
由GE∥AB得，△GEC∽△ABC，
∴，
即，
∴GE=
则===xy，
又∵SCDFE=EC·DC=xy=，
故答案为：D.
【分析】根据平行线间的距离相等，得到阴影部分面积为△GBC面积，设B=BE=x，EC=y，通过相似将GE用x，y的代数式表示，进而可表示△GBC的面积为xy，即为四边形CDFE的一半.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
8．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；已知正弦值求边长
9．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
10．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过作于，将绕点逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于，
∴，，，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴点在直线上运动，当点与点重合时，的值最小，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】过作于，将绕点逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于，根据旋转的性质得，，，从而得，进而推出，得，于是根据正方形的判定证出四边形是正方形，得，，然后设，证出，即可得三点共线，于是有点在直线上运动，当点与点重合时，的值最小，接下来利用勾股定理求出，根据面积法和勾股定理得，，最后求出，即可得出答案．
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；平移的性质
13．【答案】（1）（答案不唯一）
理由：，
，
，
∴∠EAB=2∠C.
平分，
，
∴∠C=∠GAE，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：如下图所示，在射线上截取，
连接、，
四边形即为所求．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，根据角平分线定义可得∠C=∠GAE，根据直线平行判定定理可得，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）在射线上截取，连接、，四边形即为所求．
（1）解：添加：答案不唯一
理由：，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：如下图所示，在射线上截取，
连接、，
四边形即为所求．
14．【答案】（1）正方形；（2）．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质
15．【答案】（1）证明：∵，平分，
∴，
∴.
∵，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形.
（2）解：∵，平分，
∴.
∵，
∴.
∵四边形是矩形，
∴，.
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质三线合一证得，再根据平行线的性质证得，然后根据，可得，再利用有三个角是直角的四边形是矩形，可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质求出BD，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积，求出EF.
（1）证明：∵，平分，
∴，
∴.
∵，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，平分，
∴.
∵，
∴.
∵四边形是矩形，
∴，.
∵，
∴．
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC.
又∵DG⊥AC，
∴CD＝OD
∵F是BO中点，OF＝2cm，
∴BO＝4cm.
∴DO＝BO＝4cm，
∴DC＝4cm，DB＝8cm，
∴CB＝＝4 (cm)，
∴矩形ABCD的面积为4×4＝16 (cm2)．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质得出 OA＝OB＝OC＝OD ，然后再根据等式的性质得出 OE＝OF＝OG＝OH， 进一步根据矩形的判定即可得出 四边形EFGH是矩形 ；
（2）首先根据垂直平分线的性质得出CD=OD，在根据矩形的性质得出OD=OB，即可得出CD=2OF=4cm，DB=8cm。进一步根据勾股定理可求得BC=4，根据矩形的面积计算公式，即可得出矩形ABCD的面积为16（ cm2)
17．【答案】[问题原型]；[问题延伸]；[问题拓展]
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
18．【答案】（1）①
②C
③a=b
（2）①20；100
②解：设BC=a，AC=b
∴
∵
∴
∴
∴周长的最大值为
（3）
【知识点】二次根式的化简求值；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得
故答案为：
②由表格可得：
，即
故答案为：C
③当且仅当a=b时，
故答案为：a=b
（2）①∵
∴x-10>0，30-x>0
∴当x-10=30-x，即x=20时，代数值取得最大值为(20-10)(30-20)=100
故答案为：20；100
（3）连接AC交BD于点O，连接CE
由正方形对称性可得，AE=CE，∠BCE=∠BAE
∵正方形ABCD的边长为4
∴AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD
∴
∵FE⊥AP
∴∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE
∴EF=EC=EA
∴∠EAF=45°
∵AO⊥BD，
∴
当OG=OE时，S△ACE最小
此时AO是GE的垂直平分线
∴AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°
∵OB=OD，AB=AD
∴△ABG≌△ADE
∴BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO
过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x
∵∠ABD=∠ADB=45°
∴
∴
解得：
∴
∴
∴面积的最小值为
【分析】（1）①根据几何平均数的定义计算即可求出答案.
②根据表格信息即可求出答案.
③根据表格信息即可求出答案.
（2）①根据不等式性质可得x-10>0，30-x>0，再根据（1）中结论即可求出答案.
②设BC=a，AC=b，根据勾股定理可得，根据（1）中结论可得，则，即可求出答案.
（3）连接AC交BD于点O，连接CE，根据正方形性质可得AE=CE，∠BCE=∠BAE，AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD，根据勾股定理可得，则，根据角之间的关系可得∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE，则EF=EC=EA，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得，当OG=OE时，S△ACE最小，此时AO是GE的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°，再根据全等三角形判定定理可得△ABG≌△ADE，则BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO，过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x，根据等腰直角三角形性质可得，建立方程，解方程可得，则，即可求出答案.
19．【答案】阅读材料：；（1）；（2），
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
20．【答案】（1）解：四边形为平行四边形，，，
四边形是菱形，为等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：点，，三点共线，理由如下：
如图，连接交于点，过点作，交延长线于，
∴，
，，四边形为平行四边形，
四边形是正方形，
，，，
∴，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点，点，点三点共线；
（3）解：如图，过点作于，过点作于，
∴，
，
，平行四边形为矩形，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
在中，，，
设，则，，
，
，
，
∴，
，
，
是以为底的等腰三角形，
，
，
解得：或(舍去)，
，
，
．
【知识点】正方形的判定与性质；四边形的综合；手拉手全等模型；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）先证出四边形是菱形，、为等边三角形，得，然后利用“手拉手”全等模型证出，即可求出；
（2）连接交于点，过点作，交延长线于，得，先证出四边形是正方形，得，，，得，于是得，然后利用“一线三垂直”全等模型证出，得出，，推出，即点，，三点共线；
（3）过点作于，过点作于，则，证出，得，于是得出，在中，解直角三角形得，，然后设，则，，，利用含30°的直角三角形的性质得，则，，从而利用勾股定理得，接下来由等腰三角形得，可列方程求出值，最后代入三角形面积公式即可得解．
（1）解：四边形为平行四边形，且，
四边形是菱形，为等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
；
（2）解：点，点，点三点共线，理由如下：
连接交于，过点作直线于，如图，
且，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点，点，点三点共线；
（3）解：如图，过点作于，过点作于，则，
，
，平行四边形为矩形，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
在中，，，
设，则，，
，
，
，，
，
，
是以为底的等腰三角形，
，
，
解得：或(舍去)，
，
，
．
1 / 1四边形之矩形与正方形-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·文成二模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（，和中间一个小正方形EFGH组成，连结BH，若，则BH的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形，
∴AB=CD=5，EH=GF=1，
∵Rt△ABE≌Rt△AHD，
∴∠AEB=∠AHD=90°，BE=AH，
设BE=AH=x，则AE=x+1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2，即(x+1)2+x2=52，
解得x=3，
∴BE=3，
在Rt△BEH中，BH=.
故答案为：D.
【分析】由正方形的四边相等得AB=CD=5，EH=GF=1，由全等三角形的对应边相等得BE=AH，设BE=AH=x，则AE=x+1，在Rt△ABE中，由勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而得出BE的长，最后在Rt△BEH中，利用勾股定理算出BH的长即可.
2．（2024·台州模拟）如图，在矩形ABCD中，BC>AB，先以点A为圆心，AB长为半径画弧交边AD于点E；再以点D为圆心，DE长为半径画弧交边DC于点F；最后以点C为圆心，CF长为半径画弧交边BC于点G.求BG的长，只需要知道（ ）
A．线段AB的长 B．线段AD的长 C．线段DE的长 D．线段CF的长
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=AE，DE=DF，CF=CG，
∴设AB=AE=CD=x，CF=CG=y，
∴DE=DF=x-y，
∴AD=BC=x+x-y，
∴BG=BC-CG=2x-y-y=2（x-y）=2DE，
∴求BG的长，只需要知道线段DE的长即可；
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，结合图可设AB=AE=CD=x，CF=CG=y，求得BG=BC-CG=2x-y-y=2（x-y）=2DE，即可得出结论.
3．（2025·龙港模拟）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接，．若，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
4．（2025·上城模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点O为对角线BD的中点，E为线段AB上一点，连结EO，并延长交DC于点F，以点F为圆心，适当长为半径画弧，交FD于点M，交EF于点N。再以点N为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结FP，并延长交线段AB于点Q。则下列两个命题中说法正确的是（ ）
①△QEF为等腰三角形：②设AE长为x，BQ长为y，则（4-x）（4-y）=4。
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由作图可得∠MFN=∠PFN，
又∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠QEF=∠EFD，∠EBD=∠BDF，
∴∠QFE=∠QEF，
∴QE=QF=8-x-y，故①正确；
又∵ 点O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，
又∵∠QFE=∠QEF，∠EBD=∠BDF，
∴△OBE≌△ODF，
∴BE=DF，
∴FC=AE=x，
过点Q作QG⊥BC于点G，
则BCGQ是矩形，
∴CG=BQ=y，
∴FG=x-y，
在Rt△QFG中，QG2+FG2=QF2，即42=(8-x-y)2-(x-y)2，
整理得16=(8-x-y+x-y)(8-x-y-x+y)，即(4-x)(4-y)=4，故②正确；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得∠QEF=∠EFD，根据作图得到∠MFN=∠PFN，即可得到∠QFE=∠QEF，进而得到QE=QF判断①；然后证明△OBE≌△ODF，即可得到BE=DF，即可得到FC=AE=x，然后过点Q作QG⊥BC于点G，即可得到FG=x-y，再在Rt△QFG中根据勾股定理解题即可.
5．（2025·萧山模拟）如图，E是正方形的边上一动点（不与C，D重合），连结，以为边作正方形，点M是的中点，连结．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】A
【知识点】正方形的性质；四边形的综合；四点共圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
② 如图所示，连接BD，EM.
∵，
∴，
∴
∴四点共圆，且
∴
∵正方形ABCD中，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴B、M、D三点共线，
故选：A．
【分析】
① 连接，由正方形的性质知，则可证，则，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，故结论正确；
② 连接BD，EM，则是等腰直角三角形，且、，则可证明点四点共圆，则由圆周角定理得；再利用SAS证，则，因为正方形ABCD中，则B、M、D三点共线.
6．（2025·乐清二模）如图，在矩形ABCD中，是BC上一点，交AD于点，交对角线AC于点，连接BG，DG，DE．若求阴影部分的面积，则只需要知道（ ）
A．的面积 B．的面积
C．四边形ABEF的面积 D．四边形CDFE的面积
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设AB=BE=x，EC=y，
由FE∥CD得，，
∴，
由GE∥AB得，△GEC∽△ABC，
∴，
即，
∴GE=
则===xy，
又∵SCDFE=EC·DC=xy=，
故答案为：D.
【分析】根据平行线间的距离相等，得到阴影部分面积为△GBC面积，设B=BE=x，EC=y，通过相似将GE用x，y的代数式表示，进而可表示△GBC的面积为xy，即为四边形CDFE的一半.
二、填空题
7．（2025·潮阳模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的4倍，那么我们称这个矩形是给定矩形的“倍倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和a时，其“倍倍矩形”的对角线的长度是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
8．（2025·潮南模拟）如图，A，B分别是y轴和x轴上的一点，以为斜边构造等腰直角，点D的坐标是，连结，线段的最小值是 ．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；已知正弦值求边长
9．（广东省深圳市南山外国语学校（集团） 2024-2025学年九年级 数学 四月二次模拟试题）如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边上，且．当时，的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
10．（2025·北川模拟）如图，在中，，，，D为边上一动点，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过作于，将绕点逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于，
∴，，，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴点在直线上运动，当点与点重合时，的值最小，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】过作于，将绕点逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于，根据旋转的性质得，，，从而得，进而推出，得，于是根据正方形的判定证出四边形是正方形，得，，然后设，证出，即可得三点共线，于是有点在直线上运动，当点与点重合时，的值最小，接下来利用勾股定理求出，根据面积法和勾股定理得，，最后求出，即可得出答案．
11．（2025·成都模拟）如图，在矩形中，点为矩形对角线的中点，点为上一点，点为射线上一点，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
12．（2025·叙州模拟）如图，在正方形中，，点是边的中点，点、是边上的两个动点且，连结、，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；平移的性质
三、作图题
13．（2025·深圳模拟）如图，在中，，为的外角的平分线，，垂足为，点为上一点，连接，交于点．
（1）在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由；
（2）若四边形为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形，使为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）（答案不唯一）
理由：，
，
，
∴∠EAB=2∠C.
平分，
，
∴∠C=∠GAE，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：如下图所示，在射线上截取，
连接、，
四边形即为所求．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，根据角平分线定义可得∠C=∠GAE，根据直线平行判定定理可得，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）在射线上截取，连接、，四边形即为所求．
（1）解：添加：答案不唯一
理由：，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：如下图所示，在射线上截取，
连接、，
四边形即为所求．
四、解答题
14．（2025·新会模拟）追本溯源
题（1）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）：
（1）如图1，把一个长方形纸片按如图方式折一下，得到四边形是___________；（填“特殊的四边形”的名称）
拓展应用
（2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点的直线折叠，使得点恰好落在上的处，为折痕．若，求．
【答案】（1）正方形；（2）．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质
15．（2024九上·江西期末）如图，中，，平分，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）作于F，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，平分，
∴，
∴.
∵，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形.
（2）解：∵，平分，
∴.
∵，
∴.
∵四边形是矩形，
∴，.
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质三线合一证得，再根据平行线的性质证得，然后根据，可得，再利用有三个角是直角的四边形是矩形，可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质求出BD，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积，求出EF.
（1）证明：∵，平分，
∴，
∴.
∵，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，平分，
∴.
∵，
∴.
∵四边形是矩形，
∴，.
∵，
∴．
16．（2023九上·兰州期中） 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC.
又∵DG⊥AC，
∴CD＝OD
∵F是BO中点，OF＝2cm，
∴BO＝4cm.
∴DO＝BO＝4cm，
∴DC＝4cm，DB＝8cm，
∴CB＝＝4 (cm)，
∴矩形ABCD的面积为4×4＝16 (cm2)．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质得出 OA＝OB＝OC＝OD ，然后再根据等式的性质得出 OE＝OF＝OG＝OH， 进一步根据矩形的判定即可得出 四边形EFGH是矩形 ；
（2）首先根据垂直平分线的性质得出CD=OD，在根据矩形的性质得出OD=OB，即可得出CD=2OF=4cm，DB=8cm。进一步根据勾股定理可求得BC=4，根据矩形的面积计算公式，即可得出矩形ABCD的面积为16（ cm2)
17．（2025·深圳模拟）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离．
【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________．
【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________．
【答案】[问题原型]；[问题延伸]；[问题拓展]
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
五、实践探究题
18．（2025·罗湖模拟）
（1）【新知探究】
对于正数，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题：
的值 的值 的值
5 4
4 4
4 m
3
①表格中的 ▲ ；
②根据表格，猜想与的大小关系（ ）；
A B C D
③当满足条件： ▲ 时，；
（2）【理解应用】
①已知，，当 ▲ 时，代数式取得最大值是 ▲ ；
②如图1，已知，在Rt中，，，求周长的最大值．
（3）【拓展提升】
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，为CD边上的动点，PA交BD于，过点作交BC边于点，连AF交BD于点，则面积的最小值是 ▲ ．
【答案】（1）①
②C
③a=b
（2）①20；100
②解：设BC=a，AC=b
∴
∵
∴
∴
∴周长的最大值为
（3）
【知识点】二次根式的化简求值；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得
故答案为：
②由表格可得：
，即
故答案为：C
③当且仅当a=b时，
故答案为：a=b
（2）①∵
∴x-10>0，30-x>0
∴当x-10=30-x，即x=20时，代数值取得最大值为(20-10)(30-20)=100
故答案为：20；100
（3）连接AC交BD于点O，连接CE
由正方形对称性可得，AE=CE，∠BCE=∠BAE
∵正方形ABCD的边长为4
∴AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD
∴
∵FE⊥AP
∴∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE
∴EF=EC=EA
∴∠EAF=45°
∵AO⊥BD，
∴
当OG=OE时，S△ACE最小
此时AO是GE的垂直平分线
∴AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°
∵OB=OD，AB=AD
∴△ABG≌△ADE
∴BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO
过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x
∵∠ABD=∠ADB=45°
∴
∴
解得：
∴
∴
∴面积的最小值为
【分析】（1）①根据几何平均数的定义计算即可求出答案.
②根据表格信息即可求出答案.
③根据表格信息即可求出答案.
（2）①根据不等式性质可得x-10>0，30-x>0，再根据（1）中结论即可求出答案.
②设BC=a，AC=b，根据勾股定理可得，根据（1）中结论可得，则，即可求出答案.
（3）连接AC交BD于点O，连接CE，根据正方形性质可得AE=CE，∠BCE=∠BAE，AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD，根据勾股定理可得，则，根据角之间的关系可得∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE，则EF=EC=EA，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得，当OG=OE时，S△ACE最小，此时AO是GE的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°，再根据全等三角形判定定理可得△ABG≌△ADE，则BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO，过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x，根据等腰直角三角形性质可得，建立方程，解方程可得，则，即可求出答案.
六、阅读理解题
19．（2024九下·湖州模拟）阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点E、F分别为、边上的点，，连接，求证：．我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点A顺时针旋转得到（如图2），此时即是．
请回答：在图2中，的度数是 ．
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形中，，，，E是上一点，若，，求的长度．
（2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值．
【答案】阅读材料：；（1）；（2），
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
七、综合题
20．（2025·成都模拟）已知平行四边形，，点E为对角线上一动点，连接，以为一边在的右侧作，使，连接．
（1）若且，当，如图①，求此时度数；
（2）若且，当，时，如图②，判断C，D，F三点是否共线并说明理由；
（3）如图③若，且，，当是以为底的等腰三角形时，直接写出的面积．
【答案】（1）解：四边形为平行四边形，，，
四边形是菱形，为等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：点，，三点共线，理由如下：
如图，连接交于点，过点作，交延长线于，
∴，
，，四边形为平行四边形，
四边形是正方形，
，，，
∴，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点，点，点三点共线；
（3）解：如图，过点作于，过点作于，
∴，
，
，平行四边形为矩形，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
在中，，，
设，则，，
，
，
，
∴，
，
，
是以为底的等腰三角形，
，
，
解得：或(舍去)，
，
，
．
【知识点】正方形的判定与性质；四边形的综合；手拉手全等模型；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）先证出四边形是菱形，、为等边三角形，得，然后利用“手拉手”全等模型证出，即可求出；
（2）连接交于点，过点作，交延长线于，得，先证出四边形是正方形，得，，，得，于是得，然后利用“一线三垂直”全等模型证出，得出，，推出，即点，，三点共线；
（3）过点作于，过点作于，则，证出，得，于是得出，在中，解直角三角形得，，然后设，则，，，利用含30°的直角三角形的性质得，则，，从而利用勾股定理得，接下来由等腰三角形得，可列方程求出值，最后代入三角形面积公式即可得解．
（1）解：四边形为平行四边形，且，
四边形是菱形，为等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
；
（2）解：点，点，点三点共线，理由如下：
连接交于，过点作直线于，如图，
且，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点，点，点三点共线；
（3）解：如图，过点作于，过点作于，则，
，
，平行四边形为矩形，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
在中，，，
设，则，，
，
，
，，
，
，
是以为底的等腰三角形，
，
，
解得：或(舍去)，
，
，
．
1 / 1
