圆的综合-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·椒江二模） 如图，中，E为直径AB上一点，若， 则的值为（ ）
A． B． C．2a D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：延长DE交圆于M，连接MC，
∵∠AEM=∠DEB=α，
∠AEC=∠DEB=α，
∴∠AEC=∠AEM
∴由圆的对称性得到：CE=ME，
∵DE平分∠MEC，
∴直径AB⊥CM，
∴，
∴∠D=∠A，
∴∠ACE+∠D=∠ACE+∠A=180°-∠AEC=180°-α
故答案为：D.
【分析】延长DE交圆于M，连接MC，由对顶角的性质得到∠AEM=∠DEB=α，因此∠AEC=∠AEM，由的对称性得到CE=ME，由等腰三角形的性质推出直径AB⊥CM，由垂径定理得到BC=BM，由圆周角定理推出∠D=∠A，进而即可得出结论.
2．（2025·婺城模拟）如图，AB切于点B，OA交于点，点在上，连结，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
由圆周角定理得：∠AOB=2∠D=2×25°=50°，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥LAB，
∴∠ABO =90°，
∴∠A=90°-∠AOB=90°-50°=40°，
故答案为：C.
【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到∠ABO=90°，再根据直角三角形的性质计算即可.
3．（2025·钱塘模拟）如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作正六边形的外接圆，圆心为点O，连接交于点L，连接、，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
如图所示，由于正六边形的半径等于边长，因此可作其外接圆，可由圆周角定理得阴影部分实质是个扇形，且这个扇形的圆心角度数为60度，由于直径所对的圆周角是直角，可解直角三角形ABE求得扇形半径AE，再直接运用扇形面积计算公式求解即可．
4．（2025·惠阳模拟）如图，小王同学在制作年月号读书节的手抄报时，绘制了如题图所示的扇面示意图，扇面弧所对的圆心角为，大扇形半径为，小扇形半径为，则此扇面中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
5．（2025·苍溪模拟）如图，四边形内接于是的直径．若的半径为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
6．（2025·广东模拟）在中，，记为外心，为内心，连接，以为直径作圆，则该圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的判定与性质；切线长定理
二、填空题
7．（2025·普陀二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为边AB上一点，连结CD，作点B关于CD的对称点E，连结CE、AE，延长CD、AE交于点F，若AE=DE=2，则EF= 。
【答案】
【知识点】圆的综合题；等腰直角三角形；四点共圆模型
【解析】【解答】解：作DH⊥AF于点H，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，
由折叠的性质得：BC=EC，∠CED=∠B，∠BCD=∠ECD，
∴∠CAB=∠CED=45°，AC=CE，
∴A，C，D，E四点共圆，
∵AE=DE=2，
∴，∠EAD=∠EDA，
∴∠ACE=∠ECD，
∴∠ACE=∠BCD=∠ECD=30°，
∵AC=CE，∠ACE=30°，
∴∠CAE=∠CEA=75°，
∴∠EAD=∠EDA=75°-45°=30°，
∠F=180°-60°-75°=45°，
∴∠DEH=60°，
∴∠EDH=30°，
∴EH=DE=1，
∴DH==，
∵DH⊥AF，∠F=45°，
∴△DHE是等腰直角三角形，
∴FH=DH=，
∴EF=+1，
故答案为：+1.
【分析】作DH⊥AF于点H，先证明A，C，D，E四点共圆，可证∠ACE=∠ECD，求出∠ACE=∠BCD=∠ECD及其度数，由等腰三角形的性质求出∠CAE=∠CEA及其度数，进而得∠EAD=∠EDA及∠F的度数，然后分别求出EH的长度，FH=DH及其长度，即可求出EF的长度.
8．（2025·温岭二模）如图，Rt，点在BC上，以点为圆心OB为半径的与AC相切于点，连结AO，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ADO=90°，
∴∠ABC=∠ADO=90°
∵OB=OD，AO=AO，
∴Rt△ABO Rt△ADO(HL)，
∴∠AOD=∠AOB=70°，
∴∠COD=180°-70°-70°=40°，
∴∠C=90°-40°=50°，
故答案为：50°.
【分析】连接OD，根据切线性质得到∠ADO=90°，根据全等三角形的性质得到∠AOD=∠AOB=70°，进而即可得出答案.
9．（2025·婺城模拟）如图，在半径为4的扇形AOB中，，点为OB中点，作交OA于点，则围成的图形（阴影部分）的周长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：由条件可知OA=OB=4，
∵∠AOB=45°
∴
∵点P为OB中点，
∴，
由条件可得△OPQ为等腰直角三角形，
∴QP=OP=2，
∴，
∴，
∴阴影部分的周长
故答案为：.
【分析】利用弧长公式可得，又由△OPQ为等腰直角三角形可得，即得，进而求出周长即可.
10．（2025·凉州模拟）如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质；解直角三角形
11．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，点是直径上的一个动点，连接，，，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
三、证明题
12．（2025·钱塘模拟）如图，在中，已知弦相交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，的半径为4，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：连接，，
，，
，
，
，
∵的半径为，
的长为．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】
（1）根据弧、弦之间的关系定理“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等”得，由弧的和差可得然后根据圆周角定理"同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等"即可求解；
（2）连接OC、OD，根据圆周角定理得∠COD=2∠A可求出的度数，根据弧长公式计算即可求解．
（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：连接，，
，，
，
，
，
∵的半径为，
的长为．
13．（2025·象州模拟）如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于，于，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接．
∵，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵是圆的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】切线的判定；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得，结合等边对等角得，由等量代换得，由内错角相等，两直线平行，得，从而根据平行线的性质得，然后根据切线的判定方法“垂径半径外端点的直线就是圆的切线”可得结论；
（2）由角平分线的定义可得∠EAD=60°，根据直角三角形两锐角互余得到∠D=30°，进而由含30°角直角三角形的性质求解即可.
（1）证明：如图，连接．
∵，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵是圆的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
在中，，
∴．
14．（2025·钦州模拟）如图，四边形内接于是的直径，平分，点在延长线上，．
（1）求的度数；
（2）若，求半径的长；
（3）求证：是的切线．
【答案】（1）解：如图：
∵BD平分∠ABC，
∴∠4=∠5，
∵∠3=∠4，∠5=∠6，
∴∠3=∠6，
∵AC是的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠3=∠6=45°，
即∠CAD=45°；
（2）解：∵∠ADC=90°，∠3=∠6=45°，
∴DA=CD=2，
∴，
∴的半径长为；
（3）证明：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠7=∠8，
∵∠1=∠2，∠2=∠7，
∴∠1=∠7
∴∠1=∠8，
∵AC是的直径，
∴∠ABC=∠8+∠OBC=90°，
∴∠1+∠OBC=90°，
∴∠OBF=90°，
∵OB为半径，
∴PB是的切线．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】本题属于圆的综合问题，涉及圆周角定理，切线的判定，勾股定理，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义可知：∠4=∠5；再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等可知：∠3=∠4，∠5=∠6，等量代换可得：∠3=∠6，根据直径所对的圆周角为90°可知：∠ADC=90°，最后根据三角形内角和定理为180° 可知：∠3=∠6=45°，即∠CAD=45°，由此可得出答案；
（2）在（1）的基础上，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：DA=DC=2，再利用勾股定理可求出直径AC的长，再利用“直径÷2=半径”可得出半径的长，即可得出答案；
（3）连接OB，根据半径相等和等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠7=∠8；再根据弦切角的性质：弦切角=弧所对的圆周角可知：∠1=∠7，等量代换可得：∠1=∠8；结合角的和差运算和直径所对的圆周角为90°可知：∠ABC=∠8+∠OBC=90°，等量代换得：∠1+∠OBC=90°，即∠OBF=90°，再根据切线的定义可证得：PB是的切线，由此可证得结论.
（1）解：如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的半径长为；
（3）证明：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线．
15．（2025·莲都模拟）如图，四边形ABCD内接于是直径，AC平分，与BD相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的值；
（3）过点作AC的垂线AG，交CB的延长线于点，过点G，C分别作，交点为，延长DB交FG于点，求证：．
【答案】（1）解：因为BD是直径，
所以，
因为AC平分，所以，
因为，所以，
所以．
（2）解：设，
在等腰Rt中，，
因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以．
（3）证明：因为，
所以为等腰直角三角形，
作，交FG于点，
由（1）得，
因为，所以，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】 （1）根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD=∠BAD=90°，再根据角平分线的定义得∠DCE=45°，然后根据等腰三角形的性质得∠CED=∠CDE=67.5°，最后根据同弧所对的圆周角相等得∠CAB=∠CDE=67.5°；
（2）先设BD=，再求出AD=，接下来说明 △ACD∽△ADE，根据相似三角形的性质表示AE=5k，进而求出AE=5k，CE=AC-AE=3k，则答案可得；
（3）先说明△GAC为等腰直角三角形，作BK⊥BG，交FG于点K，再结合“边角边”证明△GAB≌△CAD，可得BG=CD，最后证明△BKH≌△DCE．
四、作图题
16．（2025·广东模拟）已知直线与相切于点．
（1）如图1，BE是的直径，延长BE与直线交于点，过点作，垂足为，交于点，连接BD．若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ▲ ，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分）
（2）如图2，点是圆上一点，请用尺规在直线上求作一点，使得PQ与相切（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）提出问题：圆的半／直径是多少？
解：连接OD
直线与圆相切于点
根据勾股定理可得
又
设半径为
则，
解得
（2）解法一：连接OD，OP，作，交直线于点．
解法二：连接PD，作PD的中垂线交直线于点．
解法三：作射线OP，再作交直线于点．
【知识点】平行线的性质；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线性质可得，再根据勾股定理可得AB，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设半径为，则，代入等式，解方程即可求出答案.
（2）根据切线的性质作图即可求出答案.
五、实践探究题
17．（2024九上·甘州月考）【问题提出】
（1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ；
【问题探究】
（2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值．
【答案】（1）12；（2）；（3）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆与三角形的综合
18．（广东省深圳市南山区哈尔滨工业大学（深圳）实验学校2024-2025学年九年级下学期数学第二次模拟考试试卷）
（1）【问题情境】
如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 ▲ 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略：
（2）【操作实践】
如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽像成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
（3）【探究应用】
如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在RtABC中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，求的最小值．
【答案】（1）2
（2）PA2+ PC2= PB2+ PD2；
（3）解： 如图，将△PDC绕点P逆时针旋转，
∴点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，
∵点A是圆外的一个动点，
∴当AD与相切时，最大，
∴PD⊥AD，
∴AD2= AP2- PD2，
由(2)可得： AE= DF，
∵PE=8，PF= 5，
∴ AD2= AP2- PD2= PE2+ AE2- PF2-DF2=82-52 = 39
∴AD=；
（4）解：如图，将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1 E1，
∴CD= CD1，CE= CE1，
再将ABE1沿AC方向平移，使得A1与D1重合，得到B1D1E2
由(2)可得： AE+ BD= D1E2 + BD1，当E2，D1， B三点共线时，
AE+ BD= D1E2十BD1最短，
∵ AC+CD=5，BC+CE= 8，
∴E1E2 =5，BE1= 8
∴BE2=
故AE + BD的最小值为 .
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；最大张角辅助圆模型；圆与四边形的综合
【解析】【解答】
解：（1）如图：
∵四边形ABCD，EFGH为正方形，圆为正方形ABCD的内切圆，为正方形EFGH的外接圆，
∴设AE= DE= DH=CH=CG= BG=AF=BF=m，∠A=90°，
∴AB=AD=2m，EF=
∴S正方形ABCD = 4m2 ， S正方形EFGH= ()2=2m2，
大正方形面积是小正方形面积的2倍；
故答案为：2.
（2）如图：
∵EG⊥FH，
∴a2= OF2+OE2，c2= OG2 + OH2，d2= OE2+ OH2，b2= OF2 + OG2，
∴a2+c2=b2+ d2，
结合图形变换可得：PA2+ PC2= PB2+ PD2；
故答案为：PA2+ PC2= PB2+ PD2.
【分析】
(1)设AB=AD=2m，EF即可表示出面积S正方形ABCD = 4m2 ， S正方形EFGH= ()2=2m2，即可得到它们的面积关系；
(2) 由EG⊥FH，利用勾股定理可证明a2+c2=b2+d2，再结合图形变换可得答案；
(3)将△PDC绕点P逆时针旋转，可得点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，可得当AD与OP相切时，∠DAP最大，Z再利用勾股定理即可解答；
(4)将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1E1，再将△ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，得△B1D1E2，由(2)可得： AE+ BD= D1E2+ BD1，当E2，D1，B三点共线时，AE+ BD= D1E2+ BD1最短，再进一步利用勾股定理即可解答.
六、阅读理解题
19．（2025·茂南模拟）阅读理解：
（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点定长”：
如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．
解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________．
②类型二，“定角定弦”：
如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
请将以下解题过程补充完整．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴_______，（定角）
∴点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小．
请完成后面的解题过程．
（2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）．
（3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长．
【答案】解：（1）①28；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，（定角）
∴点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小．
∵的直径，
∴，
在中，，
∴线段长的最小值为．
（2）4；
（3）如图4，连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在点的运动过程中，始终有，
又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动，
∴点的运动路径是在以为直径的圆的上，
如图4，取的中点，连接，
∴，，
∴点的运动路径长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；轴对称的性质
七、综合题
20．（2023九下·长兴模拟）如图，在Rt△ABC中，，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．
（1）若∠BCD=36°，BC=10，求 的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：．
【答案】解：（1）如图所示，连接OD，
∵BC是直径，
∴ BC=10，
∴ OB=5，
∵∠BCD=36°，
∴∠BOD=72°，
∴；
（2）DE与⊙O相切．
理由：如图，连接OD，
∵ AE=EC，OB=OC，
∴，
∵ CD⊥AB，
∴ OE⊥CD，
∵OD=OC，
∴∠DOE=∠COE，
在和中，
∴△EOD≌△EOC（SAS），
∴∠EDO=∠ECO=90°，
∴ OD⊥DE，
∴ DE是⊙O的切线．
（3）证明：∵ OE⊥CD，
∴ DF=CF，
∵AE=EC，
∴AD=2EF，
∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，
∴，
∴，
∵AC=2CE，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连结OD，求出圆心角，再利用弧长公式计算；
（2）利用SAS证明△EOD≌△EOC，来证明OD⊥DE，再判定为切线；
（3）先证明EF是的中位线，再证明，列出比例式，适当变形即可．
1 / 1圆的综合-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·椒江二模） 如图，中，E为直径AB上一点，若， 则的值为（ ）
A． B． C．2a D．
2．（2025·婺城模拟）如图，AB切于点B，OA交于点，点在上，连结，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·钱塘模拟）如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·惠阳模拟）如图，小王同学在制作年月号读书节的手抄报时，绘制了如题图所示的扇面示意图，扇面弧所对的圆心角为，大扇形半径为，小扇形半径为，则此扇面中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·苍溪模拟）如图，四边形内接于是的直径．若的半径为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·广东模拟）在中，，记为外心，为内心，连接，以为直径作圆，则该圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2025·普陀二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为边AB上一点，连结CD，作点B关于CD的对称点E，连结CE、AE，延长CD、AE交于点F，若AE=DE=2，则EF= 。
8．（2025·温岭二模）如图，Rt，点在BC上，以点为圆心OB为半径的与AC相切于点，连结AO，若，则的度数为 ．
9．（2025·婺城模拟）如图，在半径为4的扇形AOB中，，点为OB中点，作交OA于点，则围成的图形（阴影部分）的周长为 ．
10．（2025·凉州模拟）如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为 ．
11．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，点是直径上的一个动点，连接，，，若，，则的最小值为 ．
三、证明题
12．（2025·钱塘模拟）如图，在中，已知弦相交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，的半径为4，求的长．
13．（2025·象州模拟）如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于，于，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
14．（2025·钦州模拟）如图，四边形内接于是的直径，平分，点在延长线上，．
（1）求的度数；
（2）若，求半径的长；
（3）求证：是的切线．
15．（2025·莲都模拟）如图，四边形ABCD内接于是直径，AC平分，与BD相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的值；
（3）过点作AC的垂线AG，交CB的延长线于点，过点G，C分别作，交点为，延长DB交FG于点，求证：．
四、作图题
16．（2025·广东模拟）已知直线与相切于点．
（1）如图1，BE是的直径，延长BE与直线交于点，过点作，垂足为，交于点，连接BD．若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ▲ ，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分）
（2）如图2，点是圆上一点，请用尺规在直线上求作一点，使得PQ与相切（不写作法，保留作图痕迹）．
五、实践探究题
17．（2024九上·甘州月考）【问题提出】
（1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ；
【问题探究】
（2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值．
18．（广东省深圳市南山区哈尔滨工业大学（深圳）实验学校2024-2025学年九年级下学期数学第二次模拟考试试卷）
（1）【问题情境】
如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 ▲ 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略：
（2）【操作实践】
如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽像成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
（3）【探究应用】
如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在RtABC中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，求的最小值．
六、阅读理解题
19．（2025·茂南模拟）阅读理解：
（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点定长”：
如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．
解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________．
②类型二，“定角定弦”：
如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
请将以下解题过程补充完整．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴_______，（定角）
∴点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小．
请完成后面的解题过程．
（2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）．
（3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长．
七、综合题
20．（2023九下·长兴模拟）如图，在Rt△ABC中，，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．
（1）若∠BCD=36°，BC=10，求 的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：延长DE交圆于M，连接MC，
∵∠AEM=∠DEB=α，
∠AEC=∠DEB=α，
∴∠AEC=∠AEM
∴由圆的对称性得到：CE=ME，
∵DE平分∠MEC，
∴直径AB⊥CM，
∴，
∴∠D=∠A，
∴∠ACE+∠D=∠ACE+∠A=180°-∠AEC=180°-α
故答案为：D.
【分析】延长DE交圆于M，连接MC，由对顶角的性质得到∠AEM=∠DEB=α，因此∠AEC=∠AEM，由的对称性得到CE=ME，由等腰三角形的性质推出直径AB⊥CM，由垂径定理得到BC=BM，由圆周角定理推出∠D=∠A，进而即可得出结论.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
由圆周角定理得：∠AOB=2∠D=2×25°=50°，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥LAB，
∴∠ABO =90°，
∴∠A=90°-∠AOB=90°-50°=40°，
故答案为：C.
【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到∠ABO=90°，再根据直角三角形的性质计算即可.
3．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作正六边形的外接圆，圆心为点O，连接交于点L，连接、，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
如图所示，由于正六边形的半径等于边长，因此可作其外接圆，可由圆周角定理得阴影部分实质是个扇形，且这个扇形的圆心角度数为60度，由于直径所对的圆周角是直角，可解直角三角形ABE求得扇形半径AE，再直接运用扇形面积计算公式求解即可．
4．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的判定与性质；切线长定理
7．【答案】
【知识点】圆的综合题；等腰直角三角形；四点共圆模型
【解析】【解答】解：作DH⊥AF于点H，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，
由折叠的性质得：BC=EC，∠CED=∠B，∠BCD=∠ECD，
∴∠CAB=∠CED=45°，AC=CE，
∴A，C，D，E四点共圆，
∵AE=DE=2，
∴，∠EAD=∠EDA，
∴∠ACE=∠ECD，
∴∠ACE=∠BCD=∠ECD=30°，
∵AC=CE，∠ACE=30°，
∴∠CAE=∠CEA=75°，
∴∠EAD=∠EDA=75°-45°=30°，
∠F=180°-60°-75°=45°，
∴∠DEH=60°，
∴∠EDH=30°，
∴EH=DE=1，
∴DH==，
∵DH⊥AF，∠F=45°，
∴△DHE是等腰直角三角形，
∴FH=DH=，
∴EF=+1，
故答案为：+1.
【分析】作DH⊥AF于点H，先证明A，C，D，E四点共圆，可证∠ACE=∠ECD，求出∠ACE=∠BCD=∠ECD及其度数，由等腰三角形的性质求出∠CAE=∠CEA及其度数，进而得∠EAD=∠EDA及∠F的度数，然后分别求出EH的长度，FH=DH及其长度，即可求出EF的长度.
8．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ADO=90°，
∴∠ABC=∠ADO=90°
∵OB=OD，AO=AO，
∴Rt△ABO Rt△ADO(HL)，
∴∠AOD=∠AOB=70°，
∴∠COD=180°-70°-70°=40°，
∴∠C=90°-40°=50°，
故答案为：50°.
【分析】连接OD，根据切线性质得到∠ADO=90°，根据全等三角形的性质得到∠AOD=∠AOB=70°，进而即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：由条件可知OA=OB=4，
∵∠AOB=45°
∴
∵点P为OB中点，
∴，
由条件可得△OPQ为等腰直角三角形，
∴QP=OP=2，
∴，
∴，
∴阴影部分的周长
故答案为：.
【分析】利用弧长公式可得，又由△OPQ为等腰直角三角形可得，即得，进而求出周长即可.
10．【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质；解直角三角形
11．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
12．【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：连接，，
，，
，
，
，
∵的半径为，
的长为．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】
（1）根据弧、弦之间的关系定理“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等”得，由弧的和差可得然后根据圆周角定理"同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等"即可求解；
（2）连接OC、OD，根据圆周角定理得∠COD=2∠A可求出的度数，根据弧长公式计算即可求解．
（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：连接，，
，，
，
，
，
∵的半径为，
的长为．
13．【答案】（1）证明：如图，连接．
∵，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵是圆的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】切线的判定；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得，结合等边对等角得，由等量代换得，由内错角相等，两直线平行，得，从而根据平行线的性质得，然后根据切线的判定方法“垂径半径外端点的直线就是圆的切线”可得结论；
（2）由角平分线的定义可得∠EAD=60°，根据直角三角形两锐角互余得到∠D=30°，进而由含30°角直角三角形的性质求解即可.
（1）证明：如图，连接．
∵，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵是圆的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
在中，，
∴．
14．【答案】（1）解：如图：
∵BD平分∠ABC，
∴∠4=∠5，
∵∠3=∠4，∠5=∠6，
∴∠3=∠6，
∵AC是的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠3=∠6=45°，
即∠CAD=45°；
（2）解：∵∠ADC=90°，∠3=∠6=45°，
∴DA=CD=2，
∴，
∴的半径长为；
（3）证明：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠7=∠8，
∵∠1=∠2，∠2=∠7，
∴∠1=∠7
∴∠1=∠8，
∵AC是的直径，
∴∠ABC=∠8+∠OBC=90°，
∴∠1+∠OBC=90°，
∴∠OBF=90°，
∵OB为半径，
∴PB是的切线．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】本题属于圆的综合问题，涉及圆周角定理，切线的判定，勾股定理，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义可知：∠4=∠5；再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等可知：∠3=∠4，∠5=∠6，等量代换可得：∠3=∠6，根据直径所对的圆周角为90°可知：∠ADC=90°，最后根据三角形内角和定理为180° 可知：∠3=∠6=45°，即∠CAD=45°，由此可得出答案；
（2）在（1）的基础上，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：DA=DC=2，再利用勾股定理可求出直径AC的长，再利用“直径÷2=半径”可得出半径的长，即可得出答案；
（3）连接OB，根据半径相等和等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠7=∠8；再根据弦切角的性质：弦切角=弧所对的圆周角可知：∠1=∠7，等量代换可得：∠1=∠8；结合角的和差运算和直径所对的圆周角为90°可知：∠ABC=∠8+∠OBC=90°，等量代换得：∠1+∠OBC=90°，即∠OBF=90°，再根据切线的定义可证得：PB是的切线，由此可证得结论.
（1）解：如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的半径长为；
（3）证明：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线．
15．【答案】（1）解：因为BD是直径，
所以，
因为AC平分，所以，
因为，所以，
所以．
（2）解：设，
在等腰Rt中，，
因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以．
（3）证明：因为，
所以为等腰直角三角形，
作，交FG于点，
由（1）得，
因为，所以，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】 （1）根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD=∠BAD=90°，再根据角平分线的定义得∠DCE=45°，然后根据等腰三角形的性质得∠CED=∠CDE=67.5°，最后根据同弧所对的圆周角相等得∠CAB=∠CDE=67.5°；
（2）先设BD=，再求出AD=，接下来说明 △ACD∽△ADE，根据相似三角形的性质表示AE=5k，进而求出AE=5k，CE=AC-AE=3k，则答案可得；
（3）先说明△GAC为等腰直角三角形，作BK⊥BG，交FG于点K，再结合“边角边”证明△GAB≌△CAD，可得BG=CD，最后证明△BKH≌△DCE．
16．【答案】（1）提出问题：圆的半／直径是多少？
解：连接OD
直线与圆相切于点
根据勾股定理可得
又
设半径为
则，
解得
（2）解法一：连接OD，OP，作，交直线于点．
解法二：连接PD，作PD的中垂线交直线于点．
解法三：作射线OP，再作交直线于点．
【知识点】平行线的性质；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线性质可得，再根据勾股定理可得AB，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设半径为，则，代入等式，解方程即可求出答案.
（2）根据切线的性质作图即可求出答案.
17．【答案】（1）12；（2）；（3）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆与三角形的综合
18．【答案】（1）2
（2）PA2+ PC2= PB2+ PD2；
（3）解： 如图，将△PDC绕点P逆时针旋转，
∴点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，
∵点A是圆外的一个动点，
∴当AD与相切时，最大，
∴PD⊥AD，
∴AD2= AP2- PD2，
由(2)可得： AE= DF，
∵PE=8，PF= 5，
∴ AD2= AP2- PD2= PE2+ AE2- PF2-DF2=82-52 = 39
∴AD=；
（4）解：如图，将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1 E1，
∴CD= CD1，CE= CE1，
再将ABE1沿AC方向平移，使得A1与D1重合，得到B1D1E2
由(2)可得： AE+ BD= D1E2 + BD1，当E2，D1， B三点共线时，
AE+ BD= D1E2十BD1最短，
∵ AC+CD=5，BC+CE= 8，
∴E1E2 =5，BE1= 8
∴BE2=
故AE + BD的最小值为 .
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；最大张角辅助圆模型；圆与四边形的综合
【解析】【解答】
解：（1）如图：
∵四边形ABCD，EFGH为正方形，圆为正方形ABCD的内切圆，为正方形EFGH的外接圆，
∴设AE= DE= DH=CH=CG= BG=AF=BF=m，∠A=90°，
∴AB=AD=2m，EF=
∴S正方形ABCD = 4m2 ， S正方形EFGH= ()2=2m2，
大正方形面积是小正方形面积的2倍；
故答案为：2.
（2）如图：
∵EG⊥FH，
∴a2= OF2+OE2，c2= OG2 + OH2，d2= OE2+ OH2，b2= OF2 + OG2，
∴a2+c2=b2+ d2，
结合图形变换可得：PA2+ PC2= PB2+ PD2；
故答案为：PA2+ PC2= PB2+ PD2.
【分析】
(1)设AB=AD=2m，EF即可表示出面积S正方形ABCD = 4m2 ， S正方形EFGH= ()2=2m2，即可得到它们的面积关系；
(2) 由EG⊥FH，利用勾股定理可证明a2+c2=b2+d2，再结合图形变换可得答案；
(3)将△PDC绕点P逆时针旋转，可得点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，可得当AD与OP相切时，∠DAP最大，Z再利用勾股定理即可解答；
(4)将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1E1，再将△ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，得△B1D1E2，由(2)可得： AE+ BD= D1E2+ BD1，当E2，D1，B三点共线时，AE+ BD= D1E2+ BD1最短，再进一步利用勾股定理即可解答.
19．【答案】解：（1）①28；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，（定角）
∴点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小．
∵的直径，
∴，
在中，，
∴线段长的最小值为．
（2）4；
（3）如图4，连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在点的运动过程中，始终有，
又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动，
∴点的运动路径是在以为直径的圆的上，
如图4，取的中点，连接，
∴，，
∴点的运动路径长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；轴对称的性质
20．【答案】解：（1）如图所示，连接OD，
∵BC是直径，
∴ BC=10，
∴ OB=5，
∵∠BCD=36°，
∴∠BOD=72°，
∴；
（2）DE与⊙O相切．
理由：如图，连接OD，
∵ AE=EC，OB=OC，
∴，
∵ CD⊥AB，
∴ OE⊥CD，
∵OD=OC，
∴∠DOE=∠COE，
在和中，
∴△EOD≌△EOC（SAS），
∴∠EDO=∠ECO=90°，
∴ OD⊥DE，
∴ DE是⊙O的切线．
（3）证明：∵ OE⊥CD，
∴ DF=CF，
∵AE=EC，
∴AD=2EF，
∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，
∴，
∴，
∵AC=2CE，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连结OD，求出圆心角，再利用弧长公式计算；
（2）利用SAS证明△EOD≌△EOC，来证明OD⊥DE，再判定为切线；
（3）先证明EF是的中位线，再证明，列出比例式，适当变形即可．
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