第六章 平行四边形 单元提升检测-2024-2025学年北师大版八年级数学下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·慈利期中）一个正多边形的每一个外角都是，则它的内角和的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（湖南省岳阳市 湘阴县洞庭四校 2024-2025学年八年级下学期5月期中调研数学试题）如图，中，是中线，是角平分线，于F，，，则的长为（ ）
A．3 B．1.5 C．2 D．2.5
3．（广西桂林市永福县2024—2025学年下学期八年级数学期中考试卷）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
4．（2025八下·路桥期中）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交DC的延长线于点E，连接BE，若□ABCD的周长为28，△BCE的周长为18，则CE的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2025八下·龙泉期中）已知，如图，在中，是AD上方任意一点。若的面积为4，的面积为的面积为10，则的面积为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
6．（2025八下·潮南月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BF，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（ ）
A． B．3 C．3 D．
7．（2025八下·浙江期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边CD于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边CD于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若=6，则AD的长为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12
8．（2023八下·余姚期中）如图，在中，对角线，，直线过点，连接，的周长等于周长的一半，下列说法正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2025八下·祁阳期中）若正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为 ．
10．（2025八下·娄底期中）如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形的周长是 ．
11．（2025八下·路桥期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，BE平分∠ABC且BE⊥CE，连接DE，若AC＝20，BC＝12，则DE的长为 ．
12．（2024八下·辛集期末）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为 ．
13．（2025八下·永康期中）如图，点O是 ABCD的对角线交点，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB；G、H是BC边上的点，且GH=BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1：S2= .
14．（ 湖南省永州市新田县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题）如图，矩形的面积为1，它的两条对角线交于点，以、为两邻边作平行四边形，平行四边形，的对角线交于点，同样以、为两邻边作平行四边形，依次类推，则平行四边形的面积为
三、作图题（共8分）
15．（2024八下·南宁期中）如图，在中，是对角线．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交边于点E，交边于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
四、解答题（共6题，共48分）
16．（湖南省岳阳市 湘阴县洞庭四校 2024-2025学年八年级下学期5月期中调研数学试题）如图，在中，，平分，交于点E．，．
（1）求，，的度数；
（2）求的周长．
17．（2024八下·金沙期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积．
18．（2025八下·萧山期中）如图，在中，于点E，于点F，连结AF，CE.
（1）证明：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，，，求BD的长.
19．（广西壮族自治区贵港市覃塘区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题．
（1）①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？
（2）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度．
（3）小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数．
20．（2024八下·红桥期中）如图，在中，，，其中是边上的高，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的直线，交于点Q，连接，设运动时间为，（），解答下列问题：
（1）线段 _______，_______（用含t的代数式表示）；
（2）求的长；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
21．（2024八下·成都月考）如图，在平面直角坐标系中直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，过中点作直线轴．
（1）求直线的解析式和的值；
（2）点在直线上，当时，求点坐标；
（3）点是直线上一动点，点是直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点坐标．
五、实践探究题（共6分）
22．（2024八下·江门期末）【教材呈现】如图，这是人教版八年级下册第48页的部分内容．
如图，D，E分别是的边AB与AC的中点．根据画出的图形， 可以猜想：且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明．
（1）【结论应用】
如图1，在四边形ABCD中，，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断的形状，并说明理由．
（2）【应用拓展】
如图2，在四边形ABCD中，，M是DC的中点，N是AB的中点，连接NM，延长BC，NM交于点E．若，求的度数．
六、阅读理解题（共8分）
23．（2023八下·信阳期中）（1）【阅读理解】如图1，，的面积与的面积相等吗？为什么？
（2）【类比探究】问题①，如图2，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积.
（3）【拓展应用】问题②，如图3，在正方形的右侧作正方形，点B，C，E在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积.
七、综合题（共8分）
24．（2024八下·恩施期末）在平行四边形中，平分，平分，点、在上．
（1）如图1，当点、重合时，请你经过推理后直接填空：
①与的数量关系为： ；
②与的位置关系为： ；
③、、的关系式为： ．
（2）如图2，当点在点左侧时，证明（1）中③的结论仍然成立．
（3）如图3，当点在点右侧时，若，，则四边形的面积= ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
2．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示
四边形ABCD是平行四边形
故答案为：C.
【分析】先由平行四边形的性质可得其邻边BC与CD的和等于14，再由OE垂直BD可得OE是对角线BD的垂直平分线，即有BE等于DE，再利用等量代换可把△BCE的周长转化为BC+CD与CE2倍的和即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，AD//BC，AB//CD，
∴EN⊥AD，EP⊥CD，
设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，
∴EM=EN+MN=k+h，
HP=EP+EH=m+n，
∵△ADE的面积为4，△EBC的面积为16，
∴，，
∴，，
∴ak=8，ak+ah=32，
∴ah=24，
∵△ECD的面积为10，
∴，
∴，
∴bm=20，
∵平行四边形ABCD面积为：BC·MN=AB·HP，
∴ah=b(m+n)=bm+bn，
∴bn=ah-bm=24-20=4，
∴△ABE的面积为：
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，根据平行四边形性质设AD=BC=a，AB=CD=b，再设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，则EM=k+h，HP=m+n，由已知得ak=8，ak+ah=32，bm=20，ah=24，然后根据平行四边形ABCD面积公式得ah=b(m+n)=bm+bn，由此得bn=4，进而根据三角形的面积公式即可得出△ABE的面积.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
解： 如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴DE=DF+EF=4，
由折叠可知， ∠BAE=∠DAE，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD =DE=4，
如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形， AB =6，
∴CD =AB=6， AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴DE=EF=CF=2，
由折叠可知， ∠BAE =∠DAE，
∴∠AED=∠DAE，
如图3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
由折叠可知，
综上可知，AD的长为2或4或12，
故答案为：D.
【分析】分三种情况画出图形，利用平行四边形的性质和折叠的性质得到得到然后根据等角对等边得到解答即可.
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如图，取的中点G，连接，
则，
∵， ∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
②∵的周长等于周长的一半，
周长的一半，的周长，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，故②正确；
③如图，过点E作，交的延长线于H， 则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
而，
∴，
∵，，，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④错误；
综上所述，说法正确的是①②．
故选：A．
【分析】取的中点G，连接即可得到是等边三角形，继而得到，根据勾股定理求出，进而求出OA长判断①； 由题意得，利用平行四边形性质得到，即可得到判断②； 过点E作，交的延长线于H，设根据勾股定理表示AH和EH长，根据勾股定理求出x值，即可得到，判断③；根据三角形的面积公式求出比值判断④解答即可．
9．【答案】24
【知识点】多边形内角与外角
10．【答案】17
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
11．【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，延长CE交AB于点F.
中：
平分
是中点
是中点
故答案为：2.
【分析】延长CE交AB于点F，则由角平分线的概念及垂直的性质可证，由全等的性质可得CE等于FE、BF等于BC等于12，即点E是CF中点，由于点D是AC中点，则DE是三角形ACF的中位线，即DE等于AF的一半，此时利用勾股定理求出AB的长即可得到AF的长即可.
12．【答案】17
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接EF，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为：17．
【分析】连接EF，由平行四边形对边平行且相等得AB=CD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠BEC=∠FCE，结合中点定义及对顶角相等，用ASA判断△BEQ≌△FCQ，由全等三角形对应边相等得BE=CF，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得根四边形BCFE是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分及等底同高三角形面积相等得S△BEF=2S△BEQ=2S△BQC，再由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得根四边形ADFE是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分及等底同高三角形面积相等得S△PEF=S△APE=S△APD，根据阴影部分的面积为S△BEF+S△PEF即可算出答案．
13．【答案】3：2
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线AC与BD的交点，
∴OA=OC，
∴S△AOB=S△BOC，
设点O到AB的距离为m，点O到BC的距离为n，S△AOB=S△BOC=S，
则S△AOB=AB×m，S△EOF=EF×m，S△BOC=BC×n，S△GOH=GH×n，
∵ EF=AB ， GH=BC ，
∴S△EOF=×AB×m=S，S△GOH=×BC ×n=S，
∴S1∶S2=
故答案为：3∶2.
【分析】连接AC、BD，由平行四边形的对角线互相平分得OA=OC，由等底同高三角形面积相等得S△AOB=S△BOC，设点O到AB的距离为m，点O到BC的距离为n，S△AOB=S△BOC=S，根据三角形面积计算公式分别表示出△AOB、△EFO，△BOC，△GOH的面积，结合已知条件推出S△EOF=S，S△GOH=S，从而即可求出答案.
14．【答案】或
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
15．【答案】（1）如图所示，即为所求。
（2）证明：∵垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∴
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以B、D点为圆心，大于长为半径画弧，在线段BD的两侧分别有交点，然后连接这两个交点并进行延长，与AD交E点、与BC交F点、与BD交O点，即为所求；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，由平行四边形的性质得到，最后利用AAS证明出，从而得到．
（1）如图所示，即为所求；
（2）∵垂直平分
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∴．
16．【答案】（1），，
（2）
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质
17．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
18．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
于点E，于点F，
，
，
在和中，
，
，
四边形AECF是平行四边形
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD的长为13
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）由平行四边形的性质得AD∥CB，AD=CB，则∠ADE=∠CBF，由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，得AE∥CF，∠AED=∠CFB=90°，即可根据“AAS”证明△ADE≌△CBF，得AE=CF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AECF是平行四边形；
（2）由AF=DF，，得EF=AF=DF，利用比例关系和勾股定理，可以求得ED=8，而BF=ED，故BE=FD，从而求得BD=ED+BE.
19．【答案】（1）①20；②小东求的是8边形内角和；
（2）这个正多边形的一个内角是；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
20．【答案】（1）t，
（2）
（3）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
21．【答案】（1）解：在上，
，
，
设直线的解析式为
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：由（1）可得，
该直线与坐标轴交于B，C，
∴，
如图所示，设直线与x轴交于H，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点P在下方时，点P一定在线段上，
∴此时有，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点P的坐标为；
当点P在上方处时，同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：∵，E为的中点，
∴
∵，且直线经过点E，
∴直线即为直线；
设，，
①当为平行四边形的对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知：
，
解得，
；
②当为平行四边形对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知：
，
解得，
；
③当为平行四边形的对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知：
，
解得，
；
综上所述：Q点坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把代入解析式得m=6，再由待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由直线与坐标轴交于B，C先求出，由直线与x轴交于H得，，利用两点之间的距离公式得，则，即可得到，则，再由，可得当点P在下方时，点P一定在线段上，根据，得到，则，即可，即可求点P的坐标；当点P在上方处时，同理可得，则，可得，同理可得点的坐标；综上所述，可得点P的坐标；
（3）设，，再分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形对角线时；③当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形的两条对角线的中点为同一点，逐一建立方程求解即可．
（1）解：在上，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：由（1）可得，
在中，当时，，在中，当时，，
∴，
如图所示，设直线与x轴交于H，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点P在下方时，点P一定在线段上，
∴此时有，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴点P的坐标为；
当点P在上方处时，同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴点的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：∵，E为的中点，
∴
∵，且直线经过点E，
∴直线即为直线；
设，，
①当为平行四边形的对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知：
，
解得，
；
②当为平行四边形对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知：
，
解得，
；
③当为平行四边形的对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知：
，
解得，
；
综上所述：Q点坐标为或或．
22．【答案】（1）解：是等腰三角形．
理由：∵P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：如图，连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN．
∵M是DC的中点，N是AB的中点，，
∴，，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中点得到，，进而根据已知条件即可得到，从而根据等腰三角形的判定即可求解；
（2）连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN，根据三角形中位线定理结合题意得到，，，进而根据等腰三角形的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可得到∠A+∠ABC的度数，从而根据平行线的性质得到，，再根据三角形内角和定理结合题意进行角的运算即可得到∠E的度数.
23．【答案】（1）解：相等，在和中，分别作，，垂足分别为E，F.
，
.
，
四边形是平行四边形，
.
又，，
.
（2）解：过点E作于点F，连接.
请将余下的求解步骤补充完整.
解：
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵在正方形中，，
∴；
（3）
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：【拓展应用】
过程如下：如解图3，连接CE，
∵在正方形、正方形中，
∴，
∴，
∴，
∵在正方形中，，，
∴.
【分析】（1）作AE⊥l2，DF⊥l2，则∠AEF=∠DFC=90°，推出AE∥DF，得到四边形AEFD为平行四边形，则AE=DF，然后根据三角形的面积公式进行解答；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，根据正方形的性质可得EF∥AD，则S△ADE=S△ADF，由等腰三角形的性质可得DF=CD，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）连接CE，根据正方形的性质可得∠BDC=∠FCG=45°，推出CF∥BD，则S△BDF=S△BDC，根据正方形的性质可得AD=BC=CD=4，∠BCD=90°，然后根据三角形的面积公式进行计算.
24．【答案】（1）；；
（2）解：过点作，交于点，如图所示：
在平行四边形中
，，，
∵，
∴四边形为平行四边形．
∴，，
∵，平分
∴，
∴
∴
同理可证：
∴
∵，
∴
∵，平分，平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴，则
∴（1）中③的结论仍然成立
（3）5
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵平分，平分，
∴
∴
∴
∵
∴；
故答案为：DE=CF
②∵四边形是平行四边形
∴，
∴
则
∴
则
∴；
故答案为：AE⊥BF
③由勾股定理可得
即
故答案为：
（3）解：过点E作交直线于一点H，过点H作，如图所示：
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形
∴
∵在平行四边形中，平分，平分，点、在上．
∴在平行四边形中，平分，平分，
与（1）同理，得出
则
∴
∵，，
∴，
则
∴
则
∵
∴
∵四边形的面积高，平行线的距离处处相等
∴四边形的面积高高
∴四边形的面积
【分析】（1）①先根据平行四边形的性质得到，进而根据等腰三角形的性质结合平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据等腰三角形的性质得到，从而等量代换即可求解；
②根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，，则，再结合题意得到，从而即可求解；
③根据勾股定理得到，进而即可得到；
（2）根据平行四边形的性质得到，，，，进而根据平行四边形的判定与性质结合题意证明四边形为平行四边形得到，，，再根据平行线的性质结合角平分线的定义得到，从而得到
，同理可证，再结合题意等量代换得到，根据平行线的性质结合角平分线的定义得到，从而结合题意等量代换得到，根据勾股定理得到，则，进而即可求解；
（3）过点E作交直线于一点H，过点H作，根据平行四边形的判定与性质结合题意得到，进而结合题意得到在平行四边形中，平分，平分，与（1）同理，得出则，再根据勾股定理结合题意即可求解。
1 / 1第六章 平行四边形 单元提升检测-2024-2025学年北师大版八年级数学下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·慈利期中）一个正多边形的每一个外角都是，则它的内角和的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
2．（湖南省岳阳市 湘阴县洞庭四校 2024-2025学年八年级下学期5月期中调研数学试题）如图，中，是中线，是角平分线，于F，，，则的长为（ ）
A．3 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
3．（广西桂林市永福县2024—2025学年下学期八年级数学期中考试卷）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
4．（2025八下·路桥期中）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交DC的延长线于点E，连接BE，若□ABCD的周长为28，△BCE的周长为18，则CE的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示
四边形ABCD是平行四边形
故答案为：C.
【分析】先由平行四边形的性质可得其邻边BC与CD的和等于14，再由OE垂直BD可得OE是对角线BD的垂直平分线，即有BE等于DE，再利用等量代换可把△BCE的周长转化为BC+CD与CE2倍的和即可.
5．（2025八下·龙泉期中）已知，如图，在中，是AD上方任意一点。若的面积为4，的面积为的面积为10，则的面积为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，AD//BC，AB//CD，
∴EN⊥AD，EP⊥CD，
设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，
∴EM=EN+MN=k+h，
HP=EP+EH=m+n，
∵△ADE的面积为4，△EBC的面积为16，
∴，，
∴，，
∴ak=8，ak+ah=32，
∴ah=24，
∵△ECD的面积为10，
∴，
∴，
∴bm=20，
∵平行四边形ABCD面积为：BC·MN=AB·HP，
∴ah=b(m+n)=bm+bn，
∴bn=ah-bm=24-20=4，
∴△ABE的面积为：
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，根据平行四边形性质设AD=BC=a，AB=CD=b，再设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，则EM=k+h，HP=m+n，由已知得ak=8，ak+ah=32，bm=20，ah=24，然后根据平行四边形ABCD面积公式得ah=b(m+n)=bm+bn，由此得bn=4，进而根据三角形的面积公式即可得出△ABE的面积.
6．（2025八下·潮南月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BF，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（ ）
A． B．3 C．3 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
7．（2025八下·浙江期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边CD于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边CD于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若=6，则AD的长为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
解： 如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴DE=DF+EF=4，
由折叠可知， ∠BAE=∠DAE，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD =DE=4，
如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形， AB =6，
∴CD =AB=6， AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴DE=EF=CF=2，
由折叠可知， ∠BAE =∠DAE，
∴∠AED=∠DAE，
如图3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
由折叠可知，
综上可知，AD的长为2或4或12，
故答案为：D.
【分析】分三种情况画出图形，利用平行四边形的性质和折叠的性质得到得到然后根据等角对等边得到解答即可.
8．（2023八下·余姚期中）如图，在中，对角线，，直线过点，连接，的周长等于周长的一半，下列说法正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如图，取的中点G，连接，
则，
∵， ∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
②∵的周长等于周长的一半，
周长的一半，的周长，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，故②正确；
③如图，过点E作，交的延长线于H， 则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
而，
∴，
∵，，，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④错误；
综上所述，说法正确的是①②．
故选：A．
【分析】取的中点G，连接即可得到是等边三角形，继而得到，根据勾股定理求出，进而求出OA长判断①； 由题意得，利用平行四边形性质得到，即可得到判断②； 过点E作，交的延长线于H，设根据勾股定理表示AH和EH长，根据勾股定理求出x值，即可得到，判断③；根据三角形的面积公式求出比值判断④解答即可．
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2025八下·祁阳期中）若正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为 ．
【答案】24
【知识点】多边形内角与外角
10．（2025八下·娄底期中）如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形的周长是 ．
【答案】17
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
11．（2025八下·路桥期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，BE平分∠ABC且BE⊥CE，连接DE，若AC＝20，BC＝12，则DE的长为 ．
【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，延长CE交AB于点F.
中：
平分
是中点
是中点
故答案为：2.
【分析】延长CE交AB于点F，则由角平分线的概念及垂直的性质可证，由全等的性质可得CE等于FE、BF等于BC等于12，即点E是CF中点，由于点D是AC中点，则DE是三角形ACF的中位线，即DE等于AF的一半，此时利用勾股定理求出AB的长即可得到AF的长即可.
12．（2024八下·辛集期末）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为 ．
【答案】17
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接EF，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为：17．
【分析】连接EF，由平行四边形对边平行且相等得AB=CD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠BEC=∠FCE，结合中点定义及对顶角相等，用ASA判断△BEQ≌△FCQ，由全等三角形对应边相等得BE=CF，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得根四边形BCFE是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分及等底同高三角形面积相等得S△BEF=2S△BEQ=2S△BQC，再由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得根四边形ADFE是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分及等底同高三角形面积相等得S△PEF=S△APE=S△APD，根据阴影部分的面积为S△BEF+S△PEF即可算出答案．
13．（2025八下·永康期中）如图，点O是 ABCD的对角线交点，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB；G、H是BC边上的点，且GH=BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1：S2= .
【答案】3：2
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线AC与BD的交点，
∴OA=OC，
∴S△AOB=S△BOC，
设点O到AB的距离为m，点O到BC的距离为n，S△AOB=S△BOC=S，
则S△AOB=AB×m，S△EOF=EF×m，S△BOC=BC×n，S△GOH=GH×n，
∵ EF=AB ， GH=BC ，
∴S△EOF=×AB×m=S，S△GOH=×BC ×n=S，
∴S1∶S2=
故答案为：3∶2.
【分析】连接AC、BD，由平行四边形的对角线互相平分得OA=OC，由等底同高三角形面积相等得S△AOB=S△BOC，设点O到AB的距离为m，点O到BC的距离为n，S△AOB=S△BOC=S，根据三角形面积计算公式分别表示出△AOB、△EFO，△BOC，△GOH的面积，结合已知条件推出S△EOF=S，S△GOH=S，从而即可求出答案.
14．（ 湖南省永州市新田县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题）如图，矩形的面积为1，它的两条对角线交于点，以、为两邻边作平行四边形，平行四边形，的对角线交于点，同样以、为两邻边作平行四边形，依次类推，则平行四边形的面积为
【答案】或
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
三、作图题（共8分）
15．（2024八下·南宁期中）如图，在中，是对角线．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交边于点E，交边于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）如图所示，即为所求。
（2）证明：∵垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∴
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以B、D点为圆心，大于长为半径画弧，在线段BD的两侧分别有交点，然后连接这两个交点并进行延长，与AD交E点、与BC交F点、与BD交O点，即为所求；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，由平行四边形的性质得到，最后利用AAS证明出，从而得到．
（1）如图所示，即为所求；
（2）∵垂直平分
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∴．
四、解答题（共6题，共48分）
16．（湖南省岳阳市 湘阴县洞庭四校 2024-2025学年八年级下学期5月期中调研数学试题）如图，在中，，平分，交于点E．，．
（1）求，，的度数；
（2）求的周长．
【答案】（1），，
（2）
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质
17．（2024八下·金沙期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
18．（2025八下·萧山期中）如图，在中，于点E，于点F，连结AF，CE.
（1）证明：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，，，求BD的长.
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
于点E，于点F，
，
，
在和中，
，
，
四边形AECF是平行四边形
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD的长为13
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）由平行四边形的性质得AD∥CB，AD=CB，则∠ADE=∠CBF，由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，得AE∥CF，∠AED=∠CFB=90°，即可根据“AAS”证明△ADE≌△CBF，得AE=CF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AECF是平行四边形；
（2）由AF=DF，，得EF=AF=DF，利用比例关系和勾股定理，可以求得ED=8，而BF=ED，故BE=FD，从而求得BD=ED+BE.
19．（广西壮族自治区贵港市覃塘区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题．
（1）①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？
（2）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度．
（3）小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数．
【答案】（1）①20；②小东求的是8边形内角和；
（2）这个正多边形的一个内角是；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
20．（2024八下·红桥期中）如图，在中，，，其中是边上的高，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的直线，交于点Q，连接，设运动时间为，（），解答下列问题：
（1）线段 _______，_______（用含t的代数式表示）；
（2）求的长；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）t，
（2）
（3）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
21．（2024八下·成都月考）如图，在平面直角坐标系中直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，过中点作直线轴．
（1）求直线的解析式和的值；
（2）点在直线上，当时，求点坐标；
（3）点是直线上一动点，点是直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点坐标．
【答案】（1）解：在上，
，
，
设直线的解析式为
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：由（1）可得，
该直线与坐标轴交于B，C，
∴，
如图所示，设直线与x轴交于H，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点P在下方时，点P一定在线段上，
∴此时有，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点P的坐标为；
当点P在上方处时，同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：∵，E为的中点，
∴
∵，且直线经过点E，
∴直线即为直线；
设，，
①当为平行四边形的对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知：
，
解得，
；
②当为平行四边形对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知：
，
解得，
；
③当为平行四边形的对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知：
，
解得，
；
综上所述：Q点坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把代入解析式得m=6，再由待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由直线与坐标轴交于B，C先求出，由直线与x轴交于H得，，利用两点之间的距离公式得，则，即可得到，则，再由，可得当点P在下方时，点P一定在线段上，根据，得到，则，即可，即可求点P的坐标；当点P在上方处时，同理可得，则，可得，同理可得点的坐标；综上所述，可得点P的坐标；
（3）设，，再分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形对角线时；③当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形的两条对角线的中点为同一点，逐一建立方程求解即可．
（1）解：在上，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：由（1）可得，
在中，当时，，在中，当时，，
∴，
如图所示，设直线与x轴交于H，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点P在下方时，点P一定在线段上，
∴此时有，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴点P的坐标为；
当点P在上方处时，同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴点的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：∵，E为的中点，
∴
∵，且直线经过点E，
∴直线即为直线；
设，，
①当为平行四边形的对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知：
，
解得，
；
②当为平行四边形对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知：
，
解得，
；
③当为平行四边形的对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知：
，
解得，
；
综上所述：Q点坐标为或或．
五、实践探究题（共6分）
22．（2024八下·江门期末）【教材呈现】如图，这是人教版八年级下册第48页的部分内容．
如图，D，E分别是的边AB与AC的中点．根据画出的图形， 可以猜想：且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明．
（1）【结论应用】
如图1，在四边形ABCD中，，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断的形状，并说明理由．
（2）【应用拓展】
如图2，在四边形ABCD中，，M是DC的中点，N是AB的中点，连接NM，延长BC，NM交于点E．若，求的度数．
【答案】（1）解：是等腰三角形．
理由：∵P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：如图，连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN．
∵M是DC的中点，N是AB的中点，，
∴，，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中点得到，，进而根据已知条件即可得到，从而根据等腰三角形的判定即可求解；
（2）连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN，根据三角形中位线定理结合题意得到，，，进而根据等腰三角形的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可得到∠A+∠ABC的度数，从而根据平行线的性质得到，，再根据三角形内角和定理结合题意进行角的运算即可得到∠E的度数.
六、阅读理解题（共8分）
23．（2023八下·信阳期中）（1）【阅读理解】如图1，，的面积与的面积相等吗？为什么？
（2）【类比探究】问题①，如图2，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积.
（3）【拓展应用】问题②，如图3，在正方形的右侧作正方形，点B，C，E在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积.
【答案】（1）解：相等，在和中，分别作，，垂足分别为E，F.
，
.
，
四边形是平行四边形，
.
又，，
.
（2）解：过点E作于点F，连接.
请将余下的求解步骤补充完整.
解：
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵在正方形中，，
∴；
（3）
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：【拓展应用】
过程如下：如解图3，连接CE，
∵在正方形、正方形中，
∴，
∴，
∴，
∵在正方形中，，，
∴.
【分析】（1）作AE⊥l2，DF⊥l2，则∠AEF=∠DFC=90°，推出AE∥DF，得到四边形AEFD为平行四边形，则AE=DF，然后根据三角形的面积公式进行解答；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，根据正方形的性质可得EF∥AD，则S△ADE=S△ADF，由等腰三角形的性质可得DF=CD，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）连接CE，根据正方形的性质可得∠BDC=∠FCG=45°，推出CF∥BD，则S△BDF=S△BDC，根据正方形的性质可得AD=BC=CD=4，∠BCD=90°，然后根据三角形的面积公式进行计算.
七、综合题（共8分）
24．（2024八下·恩施期末）在平行四边形中，平分，平分，点、在上．
（1）如图1，当点、重合时，请你经过推理后直接填空：
①与的数量关系为： ；
②与的位置关系为： ；
③、、的关系式为： ．
（2）如图2，当点在点左侧时，证明（1）中③的结论仍然成立．
（3）如图3，当点在点右侧时，若，，则四边形的面积= ．
【答案】（1）；；
（2）解：过点作，交于点，如图所示：
在平行四边形中
，，，
∵，
∴四边形为平行四边形．
∴，，
∵，平分
∴，
∴
∴
同理可证：
∴
∵，
∴
∵，平分，平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴，则
∴（1）中③的结论仍然成立
（3）5
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵平分，平分，
∴
∴
∴
∵
∴；
故答案为：DE=CF
②∵四边形是平行四边形
∴，
∴
则
∴
则
∴；
故答案为：AE⊥BF
③由勾股定理可得
即
故答案为：
（3）解：过点E作交直线于一点H，过点H作，如图所示：
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形
∴
∵在平行四边形中，平分，平分，点、在上．
∴在平行四边形中，平分，平分，
与（1）同理，得出
则
∴
∵，，
∴，
则
∴
则
∵
∴
∵四边形的面积高，平行线的距离处处相等
∴四边形的面积高高
∴四边形的面积
【分析】（1）①先根据平行四边形的性质得到，进而根据等腰三角形的性质结合平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据等腰三角形的性质得到，从而等量代换即可求解；
②根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，，则，再结合题意得到，从而即可求解；
③根据勾股定理得到，进而即可得到；
（2）根据平行四边形的性质得到，，，，进而根据平行四边形的判定与性质结合题意证明四边形为平行四边形得到，，，再根据平行线的性质结合角平分线的定义得到，从而得到
，同理可证，再结合题意等量代换得到，根据平行线的性质结合角平分线的定义得到，从而结合题意等量代换得到，根据勾股定理得到，则，进而即可求解；
（3）过点E作交直线于一点H，过点H作，根据平行四边形的判定与性质结合题意得到，进而结合题意得到在平行四边形中，平分，平分，与（1）同理，得出则，再根据勾股定理结合题意即可求解。
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