2024-2025学年天津市第二十一中学高二下学期期中质量调查数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市第二十一中学高二下学期期中质量调查
数学试卷
一、单选题：本大题共9小题，共45分。
1.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
2.若函数，则的单调递增区间为( )
A. B. 和
C. D.
3.由，，，，，组成没有重复数字且，不相邻的六位数的个数是( )
A. B. C. D.
4.若的展开式中的二项式系数和为，各项系数和为，则( )
A. B. C. D.
5.某科技小组共有名男生，名女生，现从中选出人参加比赛，其中至少有一名女生的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知函数在处有极大值，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
7.已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知函数为自然对数的底数有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知函数，，其中，若，，使得成立，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
10.在的展开式中，常数项为 ．
11.已知函数，则函数在处的切线方程是 ．
12.五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ．
13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为这三个盒子中黑球占总数的比例分别为现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
14.已知函数在上不单调，则的取值范围是 ．
15.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.用，，，，五个数字．
可以排成多少个不重复的能被整除的五位数？
可以排成多少个四位数？
可以排成多少个四位数字的电话号码？
17.已知二项式的展开式中，二项式系数之和为，系数和为．
求与的值；
求其展开式中所有的有理项．
18.大小、质量相同的个球，其中有个黑球，个白球．
若从袋中任取球，设个球中黑球的个数为，求的分布列，期望和方差．
若从袋中有放回的抽取次，每次取球，求在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率．
19.已知函数
若，求函数的极值；
当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
当时，若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围．
20.已知函数
求曲线在处的切线斜率；
当时，求证：；
设存在两个极值点且，若，求证：
参考答案
1.
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14.
15.
16.由题，能被整除的数为偶数，则个位数字应在，，中选择，
需用个数字组成不重复的五位数，则万位不是，
所以当个位是时，共有个；
当个位不是时，共有个，
所以不重复的且能被整除的五位数有个
要组成一个四位数，则千位不为，
所以共有个
要组成一个四位数字的电话号码，则共有个
17.二项式系数之和为，解得：，
令可得二项式的展开式的系数和为：，
解得：．
的展开式的通项为：
，
当为整数时，是有理项，则时，满足题意，
所以有理项为：，，．
18.由题意可知：的可能取值为，，，则有：
，
所以的分布列为
的期望为，
的方差为．
有放回的抽取次，取到黑球的概率为，取到白球的概率为，
记“至少取得一个白球”为事件，“取得两个白球”为事件，
则，，
可得，
所以在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为．
19.函数的定义域为，当时，
，解得，
单调递减 单调递增
所以的极小值为，无极大值
由，得在上恒成立
令，则
当时，，当时，
所以，在为单调递减，在为单调递增
所以，所以
当时，可得函数
函数在区间上恰有两个不同的零点等价于与函数有两个不同的交点．
．
当时，递减：
当时，，递增．
由．
要使与函数有两个不同的交点，
则
20.因为，则，
可得，所以曲线在处的切线斜率．
若，且，等价于，
构建，则，
构建，则，
可知在内单调递增，则，即，
可知在内单调递增，则，
所以．
由题意可知：的定义域为，且，
设，
若存在两个极值点，则在内有个零点，
可得，解得，
此时的对称轴，
可知在内单调递减，且，则，可得，
且，则，可得，
因为
，
即，且，
构建，
则，
可知在上单调递减，则，
所以．

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