安徽省蚌埠市2025届高三下学期适应性考试数学试题（含解析）

安徽省蚌埠市2025届高三下学期适应性考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B．{2} C．{3} D．{2，3}
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．数列是等比数列 B． C． D．数列是等比数列
7．在四边形ABCD中，，，，则该四边形的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
8．已知抛物线（）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线相交于点P，Q（点P在第一象限），若，则直线l的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．进入3月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大．现记录了3月上旬（1日-10日）我市的日最高气温如下（单位：℃）：24，23，3，4，7，12，12，16，15，19，则下列说法正确的是（ ）
A．3月上旬我市日最高气温的极差为20℃ B．3月上旬我市日最高气温的平均数为13.5℃
C．3日-10日我市日最高气温持续上升 D．3月上旬我市日最高气温的60％分位数为15.5℃
10．已知双曲线C：（）的一条渐近线方程为，点，分别是C的左、右焦点，点，分别是C的左、右顶点，过点的直线l与C相交于P，Q点，其中点P在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A．双曲线C的焦距为 B． C． D．
11．已知函数其中a为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有最小值
B．当时，在R上单调递增
C．，的图象上都存在关于y轴对称的两个点
D．当时，记，若有5个零点，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，，则的最小值为 ．
13．在中，，，点D在上且，则的取值范围是 ．
14．已知函数（，），若，，且在区间上单调，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点Q（0，6）的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆经过原点O，求直线AB的方程．
16．已知函数，其中．
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
17．如图，在四棱锥中，平面，，，．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采用三局两胜制．根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6，0.4，且每局比赛的结果相互独立．
(1)求甲代表队夺冠的概率；
(2)比赛开始前，工作人员采购了5个新球作为比赛用球放在袋子中，新球一经使用就变成“旧球”，“旧球”可继续使用．每局比赛前，裁判员从袋中的5个球中随机取出一个球用于比赛，且局中不换球．每局比赛结束后，将本局使用的球放回袋中，与袋中原有的球混合．记甲、乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
19．已知有穷数列A：，，…，（，），设，记S中元素的个数为．
(1)若数列A：0，2，4，12，求集合S，并写出的值；
(2)若A是单调数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
(3)若，，数列A由1，2，3，4，…，n，2n这个数组成，且这个数在数列A中至少出现一次，求的取值个数．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由补集的定义可知，.
故选D.
2．【答案】A
【详解】因为，所以或，
则可以推出，但不能推出．
故“”是“”的充分不必要条件，
故选A．
3．【答案】B
【详解】因为，
所以z的共轭复数为.
故选B.
4．【答案】C
【详解】 是边长为2的正三角形，其面积为：
因为三棱锥的体积为1 和底面积 ，
得：解得：
设直线 与平面 所成角为，所以
故选C.
5．【答案】A
【详解】因为，所以，又因为，
所以，
所以
.
故选A.
6．【答案】B
【详解】对于A，由，可得，
两式相减得，所以，
所以，所以，
当时，，又，所以，所以，
所以数列不是等比数列，故A错误；
对于B，由A可知，数列去掉第一项，可构成以为首项，2为公比的等比数列，
所以，故B正确；
对于C，由A可得，
所以，
所以，故C错误；
对于D，由C可得，
所以，所以数列不是等比数列，故D错误.
故选B.
7．【答案】C
【详解】由，，可得，
所以，所以，
又，所以，所以，
，
所以.
故选C.
8．【答案】D
【详解】设是准线，过作于，过作于，过作于，如图，
则，又，所以，
所以，所以，
所以
直线斜率为.
故选D.

9．【答案】BD
【详解】对于A，3月上旬我市日最高气温的极差为℃，故A错误；
对于B，3月上旬我市日最高气温的平均数为℃，故B正确；
对于C，3日-10日我市日最高气温不是持续上升，8日到9日气温是下降的，故C错误；
对于D，气温由低到高排列为3，4，7，12，12，15，16，19，23，24，
又，故3月上旬我市日最高气温的60％分位数为℃，故D正确.
故选BD.
10．【答案】ABD
【详解】A选项，双曲线C：（）的渐近线方程为，
又一条渐近线方程为，故，解得，
故，解得，故双曲线C的焦距为，A正确；
B选项，由A知，，由双曲线定义得，B正确；
C选项，，当直线l与轴垂直时，
中，令时，，故，C错误；
D选项，，

设，则，即，
，D正确.
故选ABD
11．【答案】ACD
【详解】对于A，当时，当时，，函数单调递增，值域为，
当时，，对称轴为，
最小值为，所以有最小值；
对于B，当时，当时，，函数单调递增，
当时，，对称轴为，函数单调递增，
其中，所以在R上不单调递增，故B错误；
对于C，设点关于轴对称的点为，需满足，
，，即，
设，则.
解法一：因为在的图像是连续不断的，当时，，
所以，函数在开区间内总有零点，故C正确；
解法二：设，当时，，当时，，所以当时，，
所以对于任意的，函数在开区间内有零点，故C正确；
对于D，当时，，图象如图所示：
解得，解得.
的零点就是关于的方程（记作①）的实数解的个数.
令，，则方程①的解集为对于关于的方程（记作②）的每一个的值，所得到的关于的方程（记作③）的所有的不同的解的集合,换言之函数的零点的集合，根据题意.
方程②的解是函数和的交点的横坐标，可以参照的图象与直线的交点的横坐标估计个数和范围；方程③的解是函数的图象与直线的交点的横坐标，其中是方程②的每一个解.
方程③有解时，必有，方程②有解，必有，
因此下面可以只考虑的情况和方程②中的非负实数解.
（1）当时，方程②有一个非负实数解，方程③有且只有2解，故方程①只有2解，不合题意；
（2）当时，②只有2个非负实数解且，
对于方程③有三个解，对于方程③有两个解，
这5个解是直线和函数的图象的5个不同交点的横坐标，
由图可知显然是不同的，所以这时方程①共五个解，即函数有且只有5个零点，符合题意；
（3）当时，②只有1个非负实数解，此时方程③有两个解，所以方程①有2解，即只有2个零点，不合题意；
（4）当，方程②只有1个非负解且，此时③只有1个解，不合题意；
（5）当时，方程②有两个解，或，
对于，方程③有1个解；对于，此时方程③有1个解，故方程①只有2个解，不合题意；
（6）当，方程②只有一个解且，此时方程③只有1个解，故方程①只有1个解，不合题意.
综上所述，若有5个零点，则，故D正确，
故选ACD.
12．【答案】/
【详解】由题意得，
当且仅当时，即时取等号.
13．【答案】
【详解】

由题意，以A为坐标原点，方向为轴建立平面直角坐标系，
设，
因为在中，，，
则，
又点D在上且，
设，则，
又，则，
解得，所以，
所以，
因为，所以，则，
所以的取值范围是.
14．【答案】
【详解】设函数 的周期为 ，由， ，
结合正弦函数图象的特征可知，
， .
故 .
又因为 在区间上单调，所以， ，故 ，
所以 .
由 ，得 ，即且，
所以，当 时， ， ，或，舍.
当 时， ， ， ，符合条件.
当 时， ， ，或，舍.
所以 ， .
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，则，所以，
将点代入椭圆方程得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）依题意直线AB斜率存在，设直线AB的方程为，并设点A，B的坐标分别为，．
（方法一）
联立方程消去y得，
依题意，，∴，
且，，
依题意，即，
整理得，
从而，
∴，解得，，满足．
从而直线AB的方程为．
（方法二）
将即代入，得，
整理得，，
依题意，，∴，
依题意，，解得，满足，
所以AB的方程为．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，则
所以，又，
则所求切线方程为．
（2），其中，
所以问题转化为（）恒成立，
记，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，所以．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，，所以是线段的中垂线，
即，
又平面，平面，则，
由，，平面，
所以平面．
（2）设与相交于点，取的中点，连接．因为是线段的中垂线，
所以是的中点，则，且．
由平面，，平面，得，，
所以，．
由条件，可求得，，
以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
易得，，，，．

设平面PAB的法向量为，，，
由，取，则，，
所以平面的一个法向量为．
设平面PCD的法向量为，，，
由，取，则，，
所以平面的一个法向量为．
．
所以平面与平面夹角的余弦值为
18．【答案】(1)0.648
(2)分布列见解析；期望为
【详解】（1）记甲代表队夺冠为事件A，甲代表队以比分夺冠为事件，比分夺冠为事件，
，
，
，
所以甲代表队夺冠的概率为0.648．
（2）比赛2局结束的概率为，
比赛3局结束的概率为，
随机变量X的可能取值为2，3，4，
，
，
，
故随机变量X的分布列为
X 2 3 4
P 0.2304 0.6464 0.1232
．
19．【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)2n
【详解】（1）因为，，，，则的可能情况有：
，，，，，，
所以，．
（2）“充分性”：A为等差数列：，，，…，（）．
则（），
能取从1到的每个整数，故，
因此．
“必要性”：不妨设A为递增数列：，，…，，作运算并比较如下：
，共个互不相等的数，同理
，共个互不相等的数．
，共个互不相等的数．
……
，共个互不相等的数，
由及A的有穷性，知
．
即A为等差数列．
（3）因为数列A由1，2，3，4，…，n，2n这个数组成且项数为，所以数列A中必有相等的项，则任意两项的差值可能为0，，，，…，，，，…，，
其中，必有，对于，2，3，…，，t和至少有一个属于S，
所以．
（方法一）
①当数列A为：1，2，3，4，…，，n，2n，n，，…，4，3，2，1时，
，
值最大，其值为．
②当数列A为：1，2，3，4，…，，2n，n，n，，…，4，3，2，1时，即在①中的数列第一个出现的n与2n对调，
，
此时；
③把②中第一个出现的与2n对调，即A：1，2，3，4，…，，2n，，n，n，，…，4，3，2，1，
，
此时；
以此类推，可得
④当数列A为：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，，…，4，3，2，1，即2n为首项，此时．
⑤当④中最后一项1变成2，其余不变，
A：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，，…，4，3，2，2，此时值变为；
⑥当⑤中最后两项2都变成3，其余不变，
A：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，，…，4，3，3，3，此时；
以此类推，可得
⑦当数列A为：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，n，n，…，n，n，即最后的n项都变为n，此时，其值最小．
综上，知的取值可取上的每个整数，
个数为
（方法二）
①当数列A为：1，2，3，…，n，，则，．
②当数列A为：1，2，…，n，2n，n，，…，1，
则，．
③当数列A为：1，2，…，n，，，，，
则．
，
其中，2，…，，故，，…，．
④当数列A为：1，2，…，n，n，，…，，2n，k，，…，1，
则，
，
其中，2，…，，故，，…，．
综上可取中所有整数，即个数为2n．