河南省周口市扶沟县高级中学2025届高三下学期4月质量检测数学试卷（含解析）

河南省周口市扶沟县高级中学2025届高三下学期4月质量检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．0
4．在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，且，则当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．1
6．已知正三棱台的体积为，底面的面积为，三条侧棱的延长线交于点M，且，则该三棱台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线，O为坐标原点，点A在直线上，过点A作E的两条切线，切点分别为P，Q，若AP，AQ分别交x轴于B，C两点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知正项等比数列的公比，将的前9项按照从小到大的顺序排列组成一组数据，则下列说法正确的是（ ）
A．该组数据的分位数为
B．该组数据的中位数小于其平均数
C．若去掉，所得新数据的中位数与原中位数相等
D．若，则，，…，的方差是，，…，的方差的9倍
10．已知函数，则（ ）
A． B．
C．在上单调递减 D．，为偶函数
11．在平面内，到两定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知曲线C上的动点P到两定点，的距离之积为，O为坐标原点，则（ ）
A．C关于x轴和y轴均对称 B．的面积的最大值为
C．周长的最小值为6c D．的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在的展开式中有理项的系数的和为 ．
13．已知数列的前n项和为，若和均是公差不为0的等差数列，公差分别记作，，且，则 ．
14．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，A为C上一点，若，且，则C的离心率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，过点B作，D为垂足，求BD的最大值．
16．小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立.
(1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率；
(2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望.
17．如图，在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．

(1)求证：；
(2)在线段上是否存在点（异于点），使得平面与平面的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18．已知，在椭圆（，）上．
(1)求E的方程；
(2)若M为E上一点（异于P，Q两点），求面积的最大值；
(3)过点作两条直线分别与E交于另一点A，B，记直线NA，NB的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点．
19．已知函数，，，若存在区间I，对，恒成立，则称在I上具有性质．
(1)若，，且，，求k的值；
(2)若，，，判断在区间上是否具有性质；
(3)若，，，证明，是在上具有性质的必要条件．
参考答案
1．【答案】B
【详解】复数，
所以，则.
故选B.
2．【答案】C
【详解】由可得，
当时，则，故，
因此，
故，
故选C.
3．【答案】B
【详解】，故过定点，
又，故在圆内，

所以当⊥时，取最小值，此时，
又，所以.
故选B.
4．【答案】D
【详解】

在等边中，，
由于点M为AB的中点，点N满足，
所以.
故选D.
5．【答案】A
【详解】已知，，且，
所以，
当且仅当时，即时，取得最小值，
则.
故选A.
6．【答案】C
【详解】设，正三棱台的高为，

由于，所以，
底面的面积为，解得，
所以，所以的面积为，
则正三棱锥的体积为，
所以，
设为正，的外接圆圆心，为该三棱台外接球的球心，

正，的外接圆半径，
则正三棱台的外接球半径为，
则，解得，，
所以该三棱台外接球的表面积为.
故选C.
7．【答案】D
【详解】根据题意，曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与轴相切，
则是曲线过原点的切线．
设切点坐标为，
又由，即切点处切线的斜率．
即把切点坐标代入，得，解得，
故，所以，故.
故选D．
8．【答案】A
【详解】设点，易知切线的斜率存在，设切线斜率为，则方程为，
联立，，
由可得，
解得，
切线的方程为，令可得，
不妨设,
则
.
故选A
9．【答案】BD
【详解】由题意可知，故为单调递减数列，
对于A，，故数据的分位数为从小到大的第三个数，A错误；
对于B，该组数据的中位数为，由于，因此，故平均数，B正确；
对于C， 若去掉，所得新数据的中位数为，而原中位数为，两者不相等，C错误；
对于D， ，则，，…，的方差是，，…，的方差的9倍，D正确.
故选BD.
10．【答案】ACD
【详解】
所以，所以
所以A选项正确.
又因为,
所以选项B错误.
当时，，单调递增，
所以单调递减，所以选项C正确.
由图像可知，
当向左或向右平移时，可以使轴为对称轴，所以，使得为偶函数.选项D正确.
故选ACD.
11．【答案】ACD
【详解】设，因为在平面直角坐标系中，，，动点满足，
所以，
化简得，
对于A，将换成可得，将换成可得，
所以C关于x轴和y轴均对称，故A正确；
对于B，设，则，
所以，故，则，
故面积的最大值为，故B不正确；
对于C，因为，所以，
当且仅当时，周长的最小值为6c，故C正确；
对于D，，所以，
由，可得，所以，所以，
故的取值范围为，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】的展开式的通项为，
当时，展开式为有理项，
所以展开式中有理项的系数的和为.
13．【答案】
【详解】设，
故，
两式相减可得，
由于为公差的等差数列，故，结合，且，均不为0，
故，
所以，，
故，解得，
故.
14．【答案】
【详解】在中，由余弦定理得：，
即，
又,故，
故，
故，化简可得，故.

15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理，得，
所以，
又，
则，
化简可得，又，，
所以，所以，又，所以.
（2）设，由三角形的面积公式可得，解得，
又，
当且仅当时，等号成立，
又，所以，当且仅当时，等号成立，
故，即的最大值为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件，
小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件，
，
故在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率为，
（2）设表示第位同学的得分，分别对应小林，小张，小陈，小王），
则，
由数学期望的性质可知，
对于，答对得2分，答错得0分，服从两点分布，
；
；
则.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)存在，，
【详解】（1）由可得，
由于，故，
又，故，
故，故，
结合底面为矩形，故，
故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.
，
则，
故，
因此平面，
故平面， 平面，
故
（2）设，
则
设平面的法向量为，
故，
取，则.
设平面的法向量为，
故，
取，则.
故，
解得，
故存在，此时.

18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）将，代入椭圆中可得
，解得，
故椭圆方程为
（2）由，可得，
设与平行且与椭圆相切的直线方程为，
联立与可得，
故，解得，
当直线时，此时直线与直线的距离最大，故最大距离为，
因此的最大值为
（3）设直线，
则，化简得，
设,,
则，
故,
故，即，
化简可得，
故，
化简可得，解得或，
当时，则，此时直线经过，与重合，不符合题意，舍去，
当，则，此时直线恒经过，符合题意，
19．【答案】(1)
(2)在上具有性质
(3)证明见解析.
【详解】（1）令，则，因为，
所以为的最小值点，也是极小值点，
又，所以，所以，
当时，，，
显然时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
所以符合题意，故.
（2）令，则，
，，，所以，即，
令，则，
因为，，所以，
所以在上单调递增，所以，即，
所以在上，恒有成立，
所以在上具有性质.
（3）证明：即由在上具有性质，证明，
令，则，
由（1）可得，
当且仅当时取等号，
令，则，所以在上单调递增，
又，
所以，使得，即，
所以，，且，
因为，，所以，
即，所以，
令，则，
由已知可得，
则为的极值点，所以，所以，
又，所以，
所以是在上具有性质的必要条件.