14.3角的平分线（课时2）（共22张PPT）-初中数学人教版（2024）八年级上册

(共22张PPT)
14.3角的平分线（课时2）
第十四章 全等三角形
人教版（2024）
素养目标
2.能够运用角的平分线的判定定理解决相关问题.
重点
1.探索并证明角的平分线的判定定理，感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力；
重点
复习导入
角的平分线的性质： .
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？
探究新知
已知：
角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.
求证：
这个点在这个角的平分线上.
证明
如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
A
B
O
D
E
P
探究新知
C
A
B
O
D
E
P
证明：如图，经过点 P 作射线 OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中，
OP = OP，
PD = PE，
∴ △OPD ≌ △OPE（HL）
∴∠AOC =∠BOC
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
归纳总结
角的平分线的判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
符号语言：
如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，
且 PD = PE，
∴点 P 在∠AOB 的平分线上，
即 OP 平分∠AOB.
P
A
O
B
C
D
E
归纳总结
从上面两个结论可以看出，角的平分线上的点到角两边的距离相等；
反过来，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
所以在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线.
例题练习
如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：（1）点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
（2）△ABC 的三条角平分线交于一点.
A
B
C
P
N
M
【分析】（1）△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，所以点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等.
例题练习
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F
∵BM 是△ABC 的角平分线，
点 P 在 BM 上，
∴PD = PE.
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 .
例题练习
如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：（1）点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
（2）△ABC 的三条角平分线交于一点.
【分析】（2）要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上．
（2）由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等，
∴点 P 在∠A 的平分线上 .
∴△ABC 的三条角平分线交于一点 .
A
B
C
P
N
M
C
C
D
小结
角平分线的判定
内容
作用
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
判断一个点是否在角的平分线上
谢谢同学们的聆听