（核心素养应用意识）第八单元数学广角-找次品（解决问题一）（含解析）-五年级数学下册人教版
文档属性
| 名称 | （核心素养应用意识）第八单元数学广角-找次品（解决问题一）（含解析）-五年级数学下册人教版 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 303.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-28 04:52:56 | ||
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文档简介
/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第八单元数学广角-找次品
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．1箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量轻一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？
2．有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水？
3．有3袋白糖，其中2袋每袋500克，另1袋不是500克，但不知道比500克重还是轻。你能用天平找出来吗？
4．有10个乒乓球，其中9个质量相同，一个是次品（质量偏重），你能只用天平称1次就称出哪个是次品吗？
5．有11盒饼干，其中10盒质量相同，另有1盒少了几块。如果用天平称，至少几次可以保证找出这盒饼干？
6．有12袋方便面，其中11袋的质量相同，另外1袋缺5克。用天平称，至少称几次能保证找出这袋质量小的方便面？
7．有24个碟子，其中一个是次品，次品比正品轻一些。现在有一个天平，至少称多少次能保证把次品找出？
8．在81颗珍珠中有一颗比其他珍珠重的假珍珠，给你一个没有砝码的天平，至少称多少次能够保证找到这颗假珍珠？
9．一盒乒乓球10个，其中1个稍重一些，请你用你喜欢的方法，最快几次找出那个球？（注意过程）
10．一架天平，有75克、10克的砝码各一个，要把450克的盐分成140克、150克、160克共三份，至少要用天平称几次？如何称？
11．有14颗形状、大小一样的钻石，其中1颗质量较轻的是假钻石，用天平至少称多少次保证能找出这颗假钻石？
12．平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。
13．有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。
（1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”）
（2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”）
（3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。
14．有9瓶洗衣液，其中一瓶是次品，比其他的稍重些，至少称几次能保证找出这瓶洗衣液？
15．一箱糖果有12袋，其中有11袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果？21cnjy.com
16．近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，截止到2022年我国新能源汽车产销连续8年全球第一，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。质检员王师傅发现19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些，他用天平至少称几次能保证找到这个不合格的零件？21教育网
17．有21袋棒棒糖，其中有1袋质量稍轻一些，是次品。
（1）如果用天平称，至少称几次可以保证找出次品？请写出主要过程。
（2）称一次有可能找出次品吗？为什么？
18．有823个零件，其中混进了一个比合格品轻一些的次品，如果给你一架天平，你至少称多少次就一定能找出这个次品？2·1·c·n·j·y
19．一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称5次就一定能找出这个较重的玻璃球；这堆玻璃球最多有几个？
20．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。
21．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重？
22．小丽买来3盒巧克力，其中的一盒为次品（可能比其他两盒轻一些，也可能比其他两盒重一些），小丽说：“我用天平称，至少称一次就能保证找出这盒次品”。小丽说得对不对？
23．有5袋食盐，其中4袋每袋500克，另有1袋不是500克，但不知道比500克轻还是重。假如用天平称，至少称几次能保证找出质量不是500克的那一袋？用文字或图表示找的过程。
24．外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？
25．有5个砝码，它们的质量分别为100克、101克、102克、104克、107克，但它们的外观完全相同，无法看出轻重。现有一台带指针的台秤，它可以称出300克以内的物体的质量，怎样称至少3次就可以保证找出质量为100克的砝码？请写出操作步骤。
《（核心素养应用意识）第九单元数学广角-找次品（解决问题一）-五年级数学下册人教版》参考答案
1．3次，过程见详解。
【分析】将这12袋糖果分成4、4、4共3份。
第一次称：将其中两份放在天平两端，若天平平衡，次品在剩下的4袋里。若天平不平衡，次品在天平上升的一端里（4袋）。
第二次称：将次品所在的4袋糖果分成1、1、2共3份。天平两端分别放1袋糖果，若天平平衡，次品就是剩下那两袋糖果中。若天平不平衡，次品在天平上升的一端里（1袋）。
第三次称：将次品所在的2袋糖果分成1、1共2份。天平两端分别放1袋糖果，次品在天平上升的一端里。
【详解】本题一共12袋糖果且已知其中有1袋糖果质量更轻，至少要称3次，过程如下图：
答：至少称3次能保证找出这袋糖果。
2．4次
【分析】用天平找次品时，所测物品数目与保证能找出次品至少需要称的次数有以下关系。（只含1个次品，已知次品比正品重或轻。）
【详解】本题一共28瓶水，其中有1瓶盐水，且已知这瓶盐水比其他水略重，对照上图可知至少要称4次。
答：至少称4次能保证找出这瓶盐水。
3．能
【分析】在3袋白糖中有2袋重量相同，称这两袋时天平平衡；剩下一袋不知道重还是轻但一定与另外两袋重量不相同，天平上有这袋时天平不平衡。
【详解】将3袋白糖分别编号①、②、③；
把①、②放在天平两端，若天平平衡，则③是重量不同的一袋；
若天平不平衡，则重量不同的一袋在①或②中；
再将①与③放在天平两端，若平衡，则②是重量不同的一袋；
若不平衡，则①是重量不同的一袋。
答：我能用天平找出来，方法如上。
4．不能
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】把10个乒乓球分成3份：3个、3个、4个取3个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的一个在未取的4个中，将4个平均分成两份（2，2），天平两边各放2个，次品在较重的一边，再称1次即可；若天平不平衡，取较重的一份继续称量，把3个平均分成三份（1，1，1），再称1次即可；所以至少称3次就可以找出哪个是次品，则不能只用天平称1次就称出哪个是次品。
5．3次
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将11盒饼干分成（4、4、3），先称（4、4），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在其中4盒；将4盒分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2盒中；将2盒分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次。
答：如果用天平称，至少3次可以保证找出这盒饼干。
6．.3次
【分析】把12袋方便面平均分成3份，即（4，4，4）；第一次称，天平两边各放4袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的4袋中；如果天平平衡，次品在剩下的4袋中；把有次品的4袋方便面分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品在剩下的2袋中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的2袋方便面分成（1，1），第三次称，天平两边各放1袋，次品就是较轻的那一袋。所以至少称3次能保证找出这袋质量小的方便面。
【详解】
答：用天平称，至少称3次能保证找出这袋质量小的方便面。
7．.3次
【分析】把24个碟子平均分成3份，每份8个，即（8，8，8），第一次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就在较轻的8个中；如果天平平衡，次品在剩下的8个中；把有次品的8个碟子分成3份，即（3，3，2），第二次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的3个碟子分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1个；如果天平平衡，次品就是剩下的那1个。所以至少称3次能保证把次品找出。21·cn·jy·com
【详解】
答：至少称3次能保证把次品找出。
8．4次
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【详解】把81颗珍珠平均分成3份，即（27，27，27），第一次称，天平两边各放27颗，如果天平不平衡，次品就在较重的27颗中；如果天平平衡，次品在剩下的27颗中；然后把有次品的27颗珍珠平均分成3份，即（9，9，9），第二次称，天平两边各放9颗，如果天平不平衡，次品就在较重的9颗中；如果天平平衡，次品在剩下的9颗中；再把有次品的9颗珍珠平均分成3份，即（3，3，3），第三次称，天平两边各放3颗，如果天平不平衡，次品就在较重的3颗中；如果天平平衡，次品就在剩下的3颗中。最后把有次品的3颗珍珠平均分成3份，即（1，1，1），第四次称，天平两边各放1颗，天平不平衡，次品就是较重的那颗；如果天平平衡，次品就是剩下的那颗。所以至少称4次能够保证能找到这颗假珍珠。
答：至少称4次能够保证找到这颗假珍珠。
9．三次
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差l。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
【详解】把10个乒乓球分成3份，即（3，3，4），第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较重的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的4个乒乓球分成2份，
第二次称，天平两边各放2个，如果天平不平衡，次品就是较重的那2个；再把有次品的2个乒乓球分成2份，
第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较重的那1个。
答：最快三次找出那个球。
10．三次，过程见详解
【分析】要使称量的次数少，尽量多用75克的砝码，少用10克的砝码，同时把称出的盐的质量，当作砝码使用；据此解答即可。
【详解】第一次，用75克的砝码称出75克盐；
第二次，用75克的砝码和称出75克盐；直接称出75＋75＝150（克）盐一份；
第三次，再用10克的砝码和称出150克盐，直接称出160克盐一份；
剩下的就是140克不用称了。
答：至少要用天平称三次。
11．3次
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。21世纪教育网版权所有
【详解】把14颗钻石分为5颗、5颗、4颗三份
第一次称：取第一份和第二份放在天平两边称，若不平衡则假钻石在更轻的那一份；若平衡则假钻石再第三份。
第二次称①：若假钻石在第一（或二）份时，把这一份中的5颗再分为2、2、1三份，前两份放在天平两边称，若天平平衡，则剩余的一颗为假钻石（共称两次）；若天平不平衡，则假钻石在更轻的一边，则需要称第三次：把这一边的两颗分在天平两端，更轻的那边就是假钻石（共称三次）。www-2-1-cnjy-com
第二次称②：若假钻石在第三份时，把这一份中的4颗再分为1、1、2三份，前两份放在天平两边称，若天平不平衡，则更轻的那颗为假钻石（共称两次）；若天平平衡，则更轻的那一边中有假钻石，此时需要称第三次：把这一边的两颗分在天平两端，更轻的那边就是假钻石（共称三次）。
答：至少称3次保证能找出这颗假钻石。
12．两次
【分析】第一次：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），天平两端各放3份，如果平衡，次品就在剩下的2袋中，再把剩下的2袋放在天平上，一边1袋，如果不平衡，则再轻的一边，把轻的一边的3份再平均分成3份（1，1，1），天平两边各放1份，如果平衡，次品在比较轻的一端，如果不平衡，剩下的1个是次品，所以至少秤2次能保证找出次品。
【详解】结合分析可知：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），称一次，无论次品是在3袋中还是在2袋中，只要再称一次即可找到次品。 21·世纪*教育网
答：至少称两次能找出次品。
13．（1）有可能
（2）不能
（3）3次；见解析
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。
【详解】（1）称1次有可能把这盒稍重的果脯找出来。将25盒果脯分成3份：12，12，1，第一次称重，在天平两边各放12盒，手里留1盒，正好天平平衡。
（2）如果称2次，不能保证把这盒稍重的果脯找出来。
（3）将25盒果脯分成3份：8，8，9；第一次称重，在天平两边各放8盒，手里留9盒；
①如果天平平衡，则次品在手里，将手里的9盒分为3，3，3，在天平两边各放3盒，手里留3盒。
a.如果天平平衡，则次品在手里3盒中，将手里的3盒分为1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，就可以鉴别出次品；
b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中。
接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品；
②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8盒中，将这8盒分为3，3，2，在天平两边各放3盒，手里留2盒。
a.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中，
接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品；
b.如果天平平衡，则次品在手中的2盒中。
接下来，将这2盒在天平两边各放1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。
答：至少称3次可以保证把这盒稍重的果脯找出来。
14．2次
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【详解】把9瓶洗衣液平均分成3份，每份3瓶，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较重的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的3瓶中；再把有次品的3瓶洗衣液分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较重的那一瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那1瓶。至少称2次能保证找出这瓶洗衣液。
答：至少称2次能保证找出这瓶洗衣液。
15．3次
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【详解】把12袋糖果平均分成3份，每份4袋，即（4，4，4），第一次称，天平两边各放4袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的4袋中；如果天平平衡，次品在剩下的4袋中；再把有次品的4袋糖果分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品在剩下的2袋中；最后把有次品的2袋糖果分成（1，1），第三次称，天平两边各放1袋，次品就是较轻的那一袋。至少称3次能保证找出这袋糖果。
答：至少称3次能保证找出这袋糖果。
16．3次
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。21*cnjy*com
【详解】将19个零件分成（6、6、7），先称（6、6），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，即次品在7个中；将7个分成（2、2、3），先称（2、2），考虑最不利的情况，即次品在3个中；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。
答：他用天平至少称3次能保证找到这个不合格的零件。
17．（1）3次；过程见详解
（2）有可能；原因见详解
【分析】（1）找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
（2）极端情况下，称一次有可能找出次品，即次品刚好是其中的1袋的情况。
【详解】（1）将21袋分成（7、7、7），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（7、7），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中7袋；将7袋分成（2、2、3），称（2、2），平衡，次品在3袋中；将3袋分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。
答：至少称3次可以保证找出次品。
（2）称一次有可能找出次品。天平两端各放10袋，平衡，则剩下的1袋就是次品；或者任取2袋，天平两端各放1袋，不平衡，天平高的一端就是次品。
18．7次
【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。此题数据较大，我们可以根据规律：当所测的物品的个数3n－1＋1≤物品的数量≤3n（n≥1）时，所称次数至少为n次。
【详解】因为36＝729，37＝2187
36＜823＜37
答：至少称7次就一定能找出这个次品。
19．243个
【分析】根据天平有三种可能得结果：左边重、右边重或平衡，每次称重的时候都可以尽可能地将玻璃球分成三份。第一次称重，最多可以区分3个不同的结果。第二次称重，在前一次的每个结果的基础上，又可以区分3个结果，所以总共可以区分（3×3）个玻璃球，依此类推，5次称重最多可以区分（3×3×3×3×3）个玻璃球，4次称重最多可以区分（3×3×3×3）个玻璃球。因为5次称重可以保证找出次品，所以玻璃球的总数一定要大于4次称重可以区分的数量，但小于等于5次称重可以区分的数量。www.21-cn-jy.com
【详解】3×3×3×3＋1
＝81＋1
＝82（个）
3×3×3×3×3＝243（个）
答：这堆玻璃球最多有243个。
20．3次；称法见详解
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
因为这台与众不同的天平有三个托盘，因此按照找次品的最优策略，将待分物品分成4份即可。
【详解】将63个乒乓球分成（16、16、16、15），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（16、16、16），不平衡，次品在轻的16个中；将16个分成（4、4、4、4），称（4、4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4个；将4个分成（1、1、1、1），称（1、1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。【来源：21·世纪·教育·网】
答：用该天平最少称3次就保证能找出这个乒乓球。
21．2次
【分析】本题的目的是弄清楚伪币比真币轻还是重，但在称时我们还是可以使用三分法来分物品，把4枚硬币分为（1，1，2）先称数量相同的两份，再根据情况称剩下的一份（方法不唯一）。【出处：21教育名师】
【详解】 把4枚硬币分为（1，1，2），第一次称前两份：若天平平衡，说明这两枚都是真币，把这两枚放在天平一端，剩下一份（有伪币）放在另一端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。 若天平不平衡，说明这两枚中有一枚是假币，剩下的一份为真币，分别放在天平两端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。（方法不唯一）
答：至少用天平称2次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重。
22．不对
【分析】如图示，第一种情况，看图1，天平称红色和绿色的巧克力，天平是平衡的，可以确定没有次品。第二种情况，看图2，红色和绿色一起称，天平向红色这边倾斜，仍然不知道哪个才是次品，第三种情况，看图3，蓝色和绿色一起称，天平向蓝色这边倾斜，结合前面2种情况，绿色比红色和蓝色都要轻，据此判断，绿色巧克力是次品。
图1 图2 图3
【详解】根据题意，小丽说的至少称一次就能保证找出这盒次品，因为不确定哪个是次品至少要称2次，才能找到次品，所以小丽说的不对。【来源：21cnj*y.co*m】
答：小丽说的不对。
23．3次；过程见解答
【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。因为不知道次品偏轻还是偏重，所以要先用天平称一次，确定哪个物品不是次品，用这个物品和可能是次品的物品进行比较，进而找出次品。21*cnjy*com
【详解】把5袋食盐依次标号为①、②、③、④、⑤。用天平称，第一次称，左边放①、②，右边放③、④，天平外是⑤。如果平衡，那么⑤就是次品；如果不平衡，那么次品在①—④中，⑤不是次品。
第二次称，在①—④中任取2袋，例如取①和③，分别放在天平两边称。如果不平衡，那么次品在这2袋中，然后天平一边仍然放①，另一边换成⑤，由于⑤不是次品，所以这时如果天平平衡，那么①不是次品，③是次品；如果天平不平衡，那么①就是次品。
如果天平上①与③平衡，那么次品是②或④，第三次称，此时称一下②和⑤，如果天平平衡，那么④是次品；如果天平不平衡，那么②是次品。【版权所有：21教育】
至少称3次能保证找出质量不是500克的那一袋。
24．88克
【分析】由于天平右边的9对中，既有比左边轻的，也有比左边重的，还有与左边一样重的，说明左边的两个球一定不是2个5克，也不是2个4克，则一定是1个4克和1个5克，这样可推出右边较重的3对中都是5克的球，较轻的5对中都是4克的球，一样重的一对中有1个4克和1个5克，进而可求出这些球的总质量。2-1-c-n-j-y
【详解】3×（5＋5）＋5×（4＋4）＋2×（4＋5）
＝3×10＋5×8＋2×9
＝30＋40＋18
＝88（克）
答：这20个球的总重量是88克。
25．见详解
【分析】先根据砝码的组合进行筛选，确定范围，再继续精确寻找。先写出第一次称2个砝码，质量有10种可能：201克、202克、204克、207克、203克、205克、208克、206克、209克、211克；如果是前4种，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来；如果是后6种，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，需要进一步称。据此解答即可。21教育名师原创作品
【详解】第一次称2个砝码，如果质量是201克、202克、204克、207克，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来；
如果质量是203克、205克、208克、206克、209克、211克，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，再一个一个称两次，就可以找出100克的砝码。
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第八单元数学广角-找次品
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．1箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量轻一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？
2．有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水？
3．有3袋白糖，其中2袋每袋500克，另1袋不是500克，但不知道比500克重还是轻。你能用天平找出来吗？
4．有10个乒乓球，其中9个质量相同，一个是次品（质量偏重），你能只用天平称1次就称出哪个是次品吗？
5．有11盒饼干，其中10盒质量相同，另有1盒少了几块。如果用天平称，至少几次可以保证找出这盒饼干？
6．有12袋方便面，其中11袋的质量相同，另外1袋缺5克。用天平称，至少称几次能保证找出这袋质量小的方便面？
7．有24个碟子，其中一个是次品，次品比正品轻一些。现在有一个天平，至少称多少次能保证把次品找出？
8．在81颗珍珠中有一颗比其他珍珠重的假珍珠，给你一个没有砝码的天平，至少称多少次能够保证找到这颗假珍珠？
9．一盒乒乓球10个，其中1个稍重一些，请你用你喜欢的方法，最快几次找出那个球？（注意过程）
10．一架天平，有75克、10克的砝码各一个，要把450克的盐分成140克、150克、160克共三份，至少要用天平称几次？如何称？
11．有14颗形状、大小一样的钻石，其中1颗质量较轻的是假钻石，用天平至少称多少次保证能找出这颗假钻石？
12．平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。
13．有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。
（1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”）
（2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”）
（3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。
14．有9瓶洗衣液，其中一瓶是次品，比其他的稍重些，至少称几次能保证找出这瓶洗衣液？
15．一箱糖果有12袋，其中有11袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果？21cnjy.com
16．近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，截止到2022年我国新能源汽车产销连续8年全球第一，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。质检员王师傅发现19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些，他用天平至少称几次能保证找到这个不合格的零件？21教育网
17．有21袋棒棒糖，其中有1袋质量稍轻一些，是次品。
（1）如果用天平称，至少称几次可以保证找出次品？请写出主要过程。
（2）称一次有可能找出次品吗？为什么？
18．有823个零件，其中混进了一个比合格品轻一些的次品，如果给你一架天平，你至少称多少次就一定能找出这个次品？2·1·c·n·j·y
19．一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称5次就一定能找出这个较重的玻璃球；这堆玻璃球最多有几个？
20．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。
21．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重？
22．小丽买来3盒巧克力，其中的一盒为次品（可能比其他两盒轻一些，也可能比其他两盒重一些），小丽说：“我用天平称，至少称一次就能保证找出这盒次品”。小丽说得对不对？
23．有5袋食盐，其中4袋每袋500克，另有1袋不是500克，但不知道比500克轻还是重。假如用天平称，至少称几次能保证找出质量不是500克的那一袋？用文字或图表示找的过程。
24．外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？
25．有5个砝码，它们的质量分别为100克、101克、102克、104克、107克，但它们的外观完全相同，无法看出轻重。现有一台带指针的台秤，它可以称出300克以内的物体的质量，怎样称至少3次就可以保证找出质量为100克的砝码？请写出操作步骤。
《（核心素养应用意识）第九单元数学广角-找次品（解决问题一）-五年级数学下册人教版》参考答案
1．3次，过程见详解。
【分析】将这12袋糖果分成4、4、4共3份。
第一次称：将其中两份放在天平两端，若天平平衡，次品在剩下的4袋里。若天平不平衡，次品在天平上升的一端里（4袋）。
第二次称：将次品所在的4袋糖果分成1、1、2共3份。天平两端分别放1袋糖果，若天平平衡，次品就是剩下那两袋糖果中。若天平不平衡，次品在天平上升的一端里（1袋）。
第三次称：将次品所在的2袋糖果分成1、1共2份。天平两端分别放1袋糖果，次品在天平上升的一端里。
【详解】本题一共12袋糖果且已知其中有1袋糖果质量更轻，至少要称3次，过程如下图：
答：至少称3次能保证找出这袋糖果。
2．4次
【分析】用天平找次品时，所测物品数目与保证能找出次品至少需要称的次数有以下关系。（只含1个次品，已知次品比正品重或轻。）
【详解】本题一共28瓶水，其中有1瓶盐水，且已知这瓶盐水比其他水略重，对照上图可知至少要称4次。
答：至少称4次能保证找出这瓶盐水。
3．能
【分析】在3袋白糖中有2袋重量相同，称这两袋时天平平衡；剩下一袋不知道重还是轻但一定与另外两袋重量不相同，天平上有这袋时天平不平衡。
【详解】将3袋白糖分别编号①、②、③；
把①、②放在天平两端，若天平平衡，则③是重量不同的一袋；
若天平不平衡，则重量不同的一袋在①或②中；
再将①与③放在天平两端，若平衡，则②是重量不同的一袋；
若不平衡，则①是重量不同的一袋。
答：我能用天平找出来，方法如上。
4．不能
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】把10个乒乓球分成3份：3个、3个、4个取3个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的一个在未取的4个中，将4个平均分成两份（2，2），天平两边各放2个，次品在较重的一边，再称1次即可；若天平不平衡，取较重的一份继续称量，把3个平均分成三份（1，1，1），再称1次即可；所以至少称3次就可以找出哪个是次品，则不能只用天平称1次就称出哪个是次品。
5．3次
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将11盒饼干分成（4、4、3），先称（4、4），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在其中4盒；将4盒分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2盒中；将2盒分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次。
答：如果用天平称，至少3次可以保证找出这盒饼干。
6．.3次
【分析】把12袋方便面平均分成3份，即（4，4，4）；第一次称，天平两边各放4袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的4袋中；如果天平平衡，次品在剩下的4袋中；把有次品的4袋方便面分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品在剩下的2袋中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的2袋方便面分成（1，1），第三次称，天平两边各放1袋，次品就是较轻的那一袋。所以至少称3次能保证找出这袋质量小的方便面。
【详解】
答：用天平称，至少称3次能保证找出这袋质量小的方便面。
7．.3次
【分析】把24个碟子平均分成3份，每份8个，即（8，8，8），第一次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就在较轻的8个中；如果天平平衡，次品在剩下的8个中；把有次品的8个碟子分成3份，即（3，3，2），第二次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的3个碟子分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1个；如果天平平衡，次品就是剩下的那1个。所以至少称3次能保证把次品找出。21·cn·jy·com
【详解】
答：至少称3次能保证把次品找出。
8．4次
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【详解】把81颗珍珠平均分成3份，即（27，27，27），第一次称，天平两边各放27颗，如果天平不平衡，次品就在较重的27颗中；如果天平平衡，次品在剩下的27颗中；然后把有次品的27颗珍珠平均分成3份，即（9，9，9），第二次称，天平两边各放9颗，如果天平不平衡，次品就在较重的9颗中；如果天平平衡，次品在剩下的9颗中；再把有次品的9颗珍珠平均分成3份，即（3，3，3），第三次称，天平两边各放3颗，如果天平不平衡，次品就在较重的3颗中；如果天平平衡，次品就在剩下的3颗中。最后把有次品的3颗珍珠平均分成3份，即（1，1，1），第四次称，天平两边各放1颗，天平不平衡，次品就是较重的那颗；如果天平平衡，次品就是剩下的那颗。所以至少称4次能够保证能找到这颗假珍珠。
答：至少称4次能够保证找到这颗假珍珠。
9．三次
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差l。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
【详解】把10个乒乓球分成3份，即（3，3，4），第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较重的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的4个乒乓球分成2份，
第二次称，天平两边各放2个，如果天平不平衡，次品就是较重的那2个；再把有次品的2个乒乓球分成2份，
第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较重的那1个。
答：最快三次找出那个球。
10．三次，过程见详解
【分析】要使称量的次数少，尽量多用75克的砝码，少用10克的砝码，同时把称出的盐的质量，当作砝码使用；据此解答即可。
【详解】第一次，用75克的砝码称出75克盐；
第二次，用75克的砝码和称出75克盐；直接称出75＋75＝150（克）盐一份；
第三次，再用10克的砝码和称出150克盐，直接称出160克盐一份；
剩下的就是140克不用称了。
答：至少要用天平称三次。
11．3次
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。21世纪教育网版权所有
【详解】把14颗钻石分为5颗、5颗、4颗三份
第一次称：取第一份和第二份放在天平两边称，若不平衡则假钻石在更轻的那一份；若平衡则假钻石再第三份。
第二次称①：若假钻石在第一（或二）份时，把这一份中的5颗再分为2、2、1三份，前两份放在天平两边称，若天平平衡，则剩余的一颗为假钻石（共称两次）；若天平不平衡，则假钻石在更轻的一边，则需要称第三次：把这一边的两颗分在天平两端，更轻的那边就是假钻石（共称三次）。www-2-1-cnjy-com
第二次称②：若假钻石在第三份时，把这一份中的4颗再分为1、1、2三份，前两份放在天平两边称，若天平不平衡，则更轻的那颗为假钻石（共称两次）；若天平平衡，则更轻的那一边中有假钻石，此时需要称第三次：把这一边的两颗分在天平两端，更轻的那边就是假钻石（共称三次）。
答：至少称3次保证能找出这颗假钻石。
12．两次
【分析】第一次：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），天平两端各放3份，如果平衡，次品就在剩下的2袋中，再把剩下的2袋放在天平上，一边1袋，如果不平衡，则再轻的一边，把轻的一边的3份再平均分成3份（1，1，1），天平两边各放1份，如果平衡，次品在比较轻的一端，如果不平衡，剩下的1个是次品，所以至少秤2次能保证找出次品。
【详解】结合分析可知：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），称一次，无论次品是在3袋中还是在2袋中，只要再称一次即可找到次品。 21·世纪*教育网
答：至少称两次能找出次品。
13．（1）有可能
（2）不能
（3）3次；见解析
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。
【详解】（1）称1次有可能把这盒稍重的果脯找出来。将25盒果脯分成3份：12，12，1，第一次称重，在天平两边各放12盒，手里留1盒，正好天平平衡。
（2）如果称2次，不能保证把这盒稍重的果脯找出来。
（3）将25盒果脯分成3份：8，8，9；第一次称重，在天平两边各放8盒，手里留9盒；
①如果天平平衡，则次品在手里，将手里的9盒分为3，3，3，在天平两边各放3盒，手里留3盒。
a.如果天平平衡，则次品在手里3盒中，将手里的3盒分为1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，就可以鉴别出次品；
b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中。
接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品；
②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8盒中，将这8盒分为3，3，2，在天平两边各放3盒，手里留2盒。
a.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中，
接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品；
b.如果天平平衡，则次品在手中的2盒中。
接下来，将这2盒在天平两边各放1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。
答：至少称3次可以保证把这盒稍重的果脯找出来。
14．2次
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【详解】把9瓶洗衣液平均分成3份，每份3瓶，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较重的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的3瓶中；再把有次品的3瓶洗衣液分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较重的那一瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那1瓶。至少称2次能保证找出这瓶洗衣液。
答：至少称2次能保证找出这瓶洗衣液。
15．3次
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【详解】把12袋糖果平均分成3份，每份4袋，即（4，4，4），第一次称，天平两边各放4袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的4袋中；如果天平平衡，次品在剩下的4袋中；再把有次品的4袋糖果分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品在剩下的2袋中；最后把有次品的2袋糖果分成（1，1），第三次称，天平两边各放1袋，次品就是较轻的那一袋。至少称3次能保证找出这袋糖果。
答：至少称3次能保证找出这袋糖果。
16．3次
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。21*cnjy*com
【详解】将19个零件分成（6、6、7），先称（6、6），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，即次品在7个中；将7个分成（2、2、3），先称（2、2），考虑最不利的情况，即次品在3个中；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。
答：他用天平至少称3次能保证找到这个不合格的零件。
17．（1）3次；过程见详解
（2）有可能；原因见详解
【分析】（1）找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
（2）极端情况下，称一次有可能找出次品，即次品刚好是其中的1袋的情况。
【详解】（1）将21袋分成（7、7、7），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（7、7），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中7袋；将7袋分成（2、2、3），称（2、2），平衡，次品在3袋中；将3袋分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。
答：至少称3次可以保证找出次品。
（2）称一次有可能找出次品。天平两端各放10袋，平衡，则剩下的1袋就是次品；或者任取2袋，天平两端各放1袋，不平衡，天平高的一端就是次品。
18．7次
【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。此题数据较大，我们可以根据规律：当所测的物品的个数3n－1＋1≤物品的数量≤3n（n≥1）时，所称次数至少为n次。
【详解】因为36＝729，37＝2187
36＜823＜37
答：至少称7次就一定能找出这个次品。
19．243个
【分析】根据天平有三种可能得结果：左边重、右边重或平衡，每次称重的时候都可以尽可能地将玻璃球分成三份。第一次称重，最多可以区分3个不同的结果。第二次称重，在前一次的每个结果的基础上，又可以区分3个结果，所以总共可以区分（3×3）个玻璃球，依此类推，5次称重最多可以区分（3×3×3×3×3）个玻璃球，4次称重最多可以区分（3×3×3×3）个玻璃球。因为5次称重可以保证找出次品，所以玻璃球的总数一定要大于4次称重可以区分的数量，但小于等于5次称重可以区分的数量。www.21-cn-jy.com
【详解】3×3×3×3＋1
＝81＋1
＝82（个）
3×3×3×3×3＝243（个）
答：这堆玻璃球最多有243个。
20．3次；称法见详解
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
因为这台与众不同的天平有三个托盘，因此按照找次品的最优策略，将待分物品分成4份即可。
【详解】将63个乒乓球分成（16、16、16、15），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（16、16、16），不平衡，次品在轻的16个中；将16个分成（4、4、4、4），称（4、4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4个；将4个分成（1、1、1、1），称（1、1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。【来源：21·世纪·教育·网】
答：用该天平最少称3次就保证能找出这个乒乓球。
21．2次
【分析】本题的目的是弄清楚伪币比真币轻还是重，但在称时我们还是可以使用三分法来分物品，把4枚硬币分为（1，1，2）先称数量相同的两份，再根据情况称剩下的一份（方法不唯一）。【出处：21教育名师】
【详解】 把4枚硬币分为（1，1，2），第一次称前两份：若天平平衡，说明这两枚都是真币，把这两枚放在天平一端，剩下一份（有伪币）放在另一端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。 若天平不平衡，说明这两枚中有一枚是假币，剩下的一份为真币，分别放在天平两端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。（方法不唯一）
答：至少用天平称2次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重。
22．不对
【分析】如图示，第一种情况，看图1，天平称红色和绿色的巧克力，天平是平衡的，可以确定没有次品。第二种情况，看图2，红色和绿色一起称，天平向红色这边倾斜，仍然不知道哪个才是次品，第三种情况，看图3，蓝色和绿色一起称，天平向蓝色这边倾斜，结合前面2种情况，绿色比红色和蓝色都要轻，据此判断，绿色巧克力是次品。
图1 图2 图3
【详解】根据题意，小丽说的至少称一次就能保证找出这盒次品，因为不确定哪个是次品至少要称2次，才能找到次品，所以小丽说的不对。【来源：21cnj*y.co*m】
答：小丽说的不对。
23．3次；过程见解答
【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。因为不知道次品偏轻还是偏重，所以要先用天平称一次，确定哪个物品不是次品，用这个物品和可能是次品的物品进行比较，进而找出次品。21*cnjy*com
【详解】把5袋食盐依次标号为①、②、③、④、⑤。用天平称，第一次称，左边放①、②，右边放③、④，天平外是⑤。如果平衡，那么⑤就是次品；如果不平衡，那么次品在①—④中，⑤不是次品。
第二次称，在①—④中任取2袋，例如取①和③，分别放在天平两边称。如果不平衡，那么次品在这2袋中，然后天平一边仍然放①，另一边换成⑤，由于⑤不是次品，所以这时如果天平平衡，那么①不是次品，③是次品；如果天平不平衡，那么①就是次品。
如果天平上①与③平衡，那么次品是②或④，第三次称，此时称一下②和⑤，如果天平平衡，那么④是次品；如果天平不平衡，那么②是次品。【版权所有：21教育】
至少称3次能保证找出质量不是500克的那一袋。
24．88克
【分析】由于天平右边的9对中，既有比左边轻的，也有比左边重的，还有与左边一样重的，说明左边的两个球一定不是2个5克，也不是2个4克，则一定是1个4克和1个5克，这样可推出右边较重的3对中都是5克的球，较轻的5对中都是4克的球，一样重的一对中有1个4克和1个5克，进而可求出这些球的总质量。2-1-c-n-j-y
【详解】3×（5＋5）＋5×（4＋4）＋2×（4＋5）
＝3×10＋5×8＋2×9
＝30＋40＋18
＝88（克）
答：这20个球的总重量是88克。
25．见详解
【分析】先根据砝码的组合进行筛选，确定范围，再继续精确寻找。先写出第一次称2个砝码，质量有10种可能：201克、202克、204克、207克、203克、205克、208克、206克、209克、211克；如果是前4种，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来；如果是后6种，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，需要进一步称。据此解答即可。21教育名师原创作品
【详解】第一次称2个砝码，如果质量是201克、202克、204克、207克，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来；
如果质量是203克、205克、208克、206克、209克、211克，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，再一个一个称两次，就可以找出100克的砝码。
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