数学：24.1圆同步练习（人教新课标九年级上）

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24.1.1 圆、垂至于弦的直径
◆基础训练
一、选择题:
1、如图1，AD是⊙O的直径，AB∥CD，∠AOC=60°，则∠BAD=______度.
图1 图2 图3
2.已知⊙O的半径为4，则垂直平分这条半径的弦长是( )
(A) (B) (C) 4 (D)
3.如图2，⊙O中弦AB垂直于直径CD于点E，则下列结论：①AE=BE；②； ;③；④EO=ED.其中正确的有( )
(A)①②③④ (B)①②③ (C)②③④ (D)①④
二、填空题
4、如图3，是⊙O的弦，于，若，，则⊙O的半径长为 ．
5.圆的半径为3，则弦AB长度的取值范围是 .
6.P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为3，到圆上点的最远距离为15，则圆的半径为 .
7、某公园的一石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度是24m，拱的半径是13m，则拱高为 。
三、综合题
8、已知：如图4，AB、CD为⊙O的两条直径，M、N分别为AO、BO的中点.
（1）求证：四边形CMDN为平行四边形；
（2）四边形CMDN能够是菱形吗？若能，你知道需要添加什么条件吗？
图4
9、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
10．如图6，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，求∠D的度数.
图6
◆综合迁移
一、选择题
1、如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=4，在过P点的所有⊙O的弦中，你认为弦长为整数的弦的条数为（ ）
A.6条 B.5条 C.4条 D.2条
2、下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦;
B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧;
C. 在⊙O中，AB、CD是弦，若，则AB∥CD;
D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径.
3.如图，在⊙O中，C为弦AB上一点，AC=2，BC=6，⊙O的半径为5，则OC= ( )
(A) (B) 4 (C)3 (D)
4.下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（ ）.
(A)①②③④ (B)②③④ (C)②④ (D)③④
二、填空题
5.已知，如图，A、B、C为⊙O上的三点，∠OBA=50°，∠OBC=60°，
则∠OAC= .
6、如图，M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM=_____ cm.?
7、如图，在⊙O中，直径AB和弦CD的长分别为10 cm和8 cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是_____.
三、综合题:
8、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：CD的长；
9、不过圆心的直线交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥于E，BF⊥于F。
（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。
10、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
(1)请写出五个不同类型的正确结论；
(2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．
24.1.1 圆、垂至于弦的直径及答案
◆基础训练
一、选择题:
1、如图1，AD是⊙O的直径，AB∥CD，∠AOC=60°，则∠BAD=______度.
图1 图2 图3
2.已知⊙O的半径为4，则垂直平分这条半径的弦长是( B )
(A) (B) (C) 4 (D)
3.如图2，⊙O中弦AB垂直于直径CD于点E，则下列结论：①AE=BE；②； ;③；④EO=ED.其中正确的有( B )
(A)①②③④ (B)①②③ (C)②③④ (D)①④
二、填空题
4、如图3，是⊙O的弦，于，若，，则⊙O的半径长为 ．
5.圆的半径为3，则弦AB长度的取值范围是 .０＜AB≤６
6.P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为3，到圆上点的最远距离为15，则圆的半径为 6 .
7、某公园的一石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度是24m，拱的半径是13m，则拱高为 。
三、综合题
8、已知：如图4，AB、CD为⊙O的两条直径，M、N分别为AO、BO的中点.
（1）求证：四边形CMDN为平行四边形；
（2）四边形CMDN能够是菱形吗？若能，你知道需要添加什么条件吗？
提示:∵OC=OD，OM=ON，∴四边形CMDN为平行四边形；（2）添加条件：CD⊥AB.
图4
9、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
10．如图6，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，求∠D的度数.
点拔：利用BD=AO=OB，结合等腰三角形的性质求解.
图6
◆综合迁移
一、选择题
1、如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=4，在过P点的所有⊙O的弦中，你认为弦长为整数的弦的条数为（ B ）
A.6条 B.5条 C.4条 D.2条
2、 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦;
B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧;
C. 在⊙O中，AB、CD是弦，若，则AB∥CD;
D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径.
答案:A；点拨：平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧，很容易错误的认为是正确的，其实垂径定理是：“平分（不是直径）弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧”，在平分弦做条件时一定要注意平分的是不是直径的弦时，才能由垂径定理得出垂直于弦并且平分弦所对的弧，所以答案B是错的；C选项没有给图，A、B、C、D的位置可以随便选取，只要满足即可，所以弦AB与CD可能相交，C选项错；D选项错在直径是一条线段，而对称轴是一条直线。
3.如图，在⊙O中，C为弦AB上一点，AC=2，BC=6，⊙O的半径为5，则OC= (A )
(A) (B) 4 (C)3 (D)
4.下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（C）.
(A)①②③④ (B)②③④ (C)②④ (D)③④
二、填空题
5.已知，如图，A、B、C为⊙O上的三点，∠OBA=50°，∠OBC=60°，
则∠OAC= 20° .
6、如图，M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM=_____ cm.?答案：3
7、如图，在⊙O中，直径AB和弦CD的长分别为10 cm和8 cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是_____.答案:6 cm
三、综合题
8、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：CD的长；
点拨：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。
解：（1）过点O作OF⊥CD于F，连结DO
∵AE＝2cm，BE＝6cm，∴AB＝8cm
∴⊙O的半径为4 cm
∵∠CEA＝300，∴OF＝1 cm
∴cm
由垂径定理得：CD＝2DF＝cm
9、不过圆心的直线交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥于E，BF⊥于F。
（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。
解:
（1）如下图所示。
（2）EC＝FD或ED＝FC
（3）以①图为例来证明。过O作OH⊥于H
∵AE⊥，BF⊥，∴AE∥OH∥BF
又∵OA＝OB，∴EH＝HF，再由垂径定理可得CH＝DH
∴EH－CH＝FH－DH，即EC＝FD
10、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
(1)请写出五个不同类型的正确结论；
(2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．
解：(1)不同类型的正确结论有：
①BC=CE ;② ③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC;
⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形等。
(2)∵OD⊥BC， ∴BE＝CE=BC=4．
设⊙O的半径为R，则OE=OD-DE=R-2．
在Rt△OEB中，由勾股定理得 OE2＋BE2=OB2，即(R-2)2＋42=R2．
解得R＝5．∴⊙O的半径为5．
A
C
B
O
A
B
C
图5
A
C
B
O
A
B
C
图5
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