第1章　数列 2.2　第2课时　等差数列前n项和的综合应用--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
第2课时　等差数列前n项和的综合应用
A级必备知识基础练
1.[探究点一]设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则=(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.
2.[探究点二(角度1)·2024北京西城期中]若等差数列{an}满足a9+a10+a11>0,a8+a13<0,则当{an}的前n项和最大时,n=(　　)
A.10 B.11 C.12 D.13
3.[探究点二(角度1)](多选题)数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=-n2+7n,则下列说法正确的是(　　)
A.{an}是递增数列
B.a10=-12
C.当n>4时,an<0
D.当n=3或n=4时,Sn取得最大值
4.[探究点一]已知等差数列{an}共有2n(n∈N+)项,若数列{an}中奇数项的和为190,偶数项的和为210,a1=1,则公差d的值为(　　)
A.2 B.4 C. D.
5.[探究点一]在等差数列{an}中,a1=-2 024,其前n项和为Sn,若=2,则S2 024=　　　　.
6.[探究点一]设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是　　　　,项数是　　　　.
7.[探究点二(角度1)]设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4=1,S5=10,则当Sn取得最大值时,n的值为　　　　　.
8.[探究点二(角度2)]已知等差数列{an}满足a3=14,a6=5,其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求|a1|+|a2|+…+|a10|的值.
9.[探究点二(角度1)]设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,且S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)数列{an}的前几项的和最大,并说明理由.
B级关键能力提升练
10.已知在数列{an}中,a1=25,4an+1=4an-7,若其前n项和为Sn,则Sn的最大值为(　　)
A.15 B.750 C. D.
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(　　)
A. B. C. D.
12.已知{an}为项数为2n+1的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　)
A. B. C. D.
13.若数列{an}是等差数列,首项a1>0,公差d<0,且a2 019(a2 018+a2 019)>0,a2 020(a2 019+a2 020)<0,则使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大自然数n是(　　)
A.4 039 B.4 038 C.4 037 D.4 036
14.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S2 018>0,S2 019<0,则下列说法正确的是(　　)
A.S1 009最大
B.|a1 009|>|a1 010|
C.a1 010>0
D.S2 018+S2 019<0
15.[2024湖北武汉月考]已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且,则=　　　　.
16.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”图形.画法如下:在水平直线上取长度为1的线段AB,作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧),再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时,“蚊香”的长度为(　　)
A.14π B.18π
C.30π D.44π
17.已知等差数列{an}的前n项和公式为Sn,2a3-a2=5,S5-S3=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若对 n∈N+,Sn-an+λ≥0恒成立,求λ的取值范围.
C级学科素养创新练
18.在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
参考答案
第2课时　等差数列前n项和的综合应用
1.A　=1.
2.A　等差数列{an}满足a9+a10+a11=3a10>0,a8+a13=a10+a11<0,故a11<0,则当{an}的前n项和最大时,n=10.
3.BCD　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,又a1=S1=6=-2×1+8,所以an=-2n+8,所以an+1-an=-2,则{an}是递减数列,故A错误;a10=-12,故B正确;当n>4时,an=8-2n<0,故C正确;由二次函数的知识得,当n=3或n=4时,Sn取得最大值,故D正确.故选BCD.
4.A　由题意得S奇==nan=190,S偶==nan+1=210,所以S偶-S奇=n(an+1-an)=nd=210-190=20,S奇==nan=n[1+(n-1)d]=n+n(n-1)d=n+20(n-1)=190,所以n=10,d=2.
5.-2 024　由等差数列前n项和的性质可知,为等差数列,设其公差为d,则由=2,可得2d=2,即d=1,又=-2 024,∴=-2 024+(2 024-1)×1=-1,故S2 024=-2 024.
6.11　7　设等差数列{an}的项数为2n+1(n∈N+),则S奇=a1+a3+…+a2n+1==(n+1)an+1,S偶=a2+a4+a6+…+a2n==nan+1,所以,解得n=3,所以项数为2n+1=7,S奇-S偶=an+1,即a4=44-33=11为所求中间项.
7.4或5　由解得
∴a5=a1+4d=0,∴S4=S5且同时最大.∴n=4或5.
8.解 (1)设首项为a1,公差为d,
依题意得解得
∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n.
(2)由(1)可得Sn=,
令an=23-3n>0,可得n<,
∴当n≤7时,an>0,则|an|=an;
当n≥8时,an<0,则|an|=-an,
∴|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+a2+…+a7-(a8+a9+a10)=2S7-S10=89.
9.解 (1)∵a3=12,∴a1=12-2d.
∵S12>0,S13<0,
∴∴-即d的取值范围为-,-3.
(2)∵S12>0,S13<0,∴∴a6>0,
又由(1)知d<0,∴数列{an}的前6项为正数,从第7项起为负数.∴数列{an}的前6项和最大.
10.C　由4an+1=4an-7,可得an+1=an-,所以数列{an}是以25为首项,-为公差的等差数列,且{an}为递减数列,an=25+(n-1)×=-n+.当an=-n+≥0且an+1=-n+<0时,Sn最大,解得n≤且n>,则n=15,即数列{an}的前15项均为非负值,第16项开始为负值,故S15最大,S15=15×25+.故选C.
11.A　因为等差数列{an}的前n项和为Sn,若=3,所以S11=S5,所以11a1+55d=(5a1+10d),所以a1=-,则.故选A.
12.B　S奇=,S偶=,
∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴.
13.B　由题意,得数列{an}是递减数列,由a2 019(a2 018+a2 019)>0,且a2 020(a2 019+a2 020)<0,可得a2 019>0,a2 020<0,且|a2 019|>|a2 020|,a2 019+a2 020>0,∴S4 039=4 039a2 020<0,S4 038=4 038×=2 019(a2 019+a2 020)>0,∴使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4 038.
14.AB　∵S2 018>0,S2 019<0,
∴>0,=2 019a1 010<0,
∴a1 009+a1 010>0,a1 010<0,可得a1 009>0,a1 010<0,|a1 009|>|a1 010|,故A,B都正确,C错误,例如an=1 009.8-n,此时满足条件,但是D选项不成立,故D错误.
15.10　∵,∴=10.
16.D　由题意每段圆弧的中心角都是,第n段圆弧的半径为n,弧长记为an,则an=·n,所以S11=(1+2+…+11)=44π.故选D.
17.解(1)设等差数列的公差为d,
由题意可得2a3-a2=(a2+a4)-a2=a4=5,
且S5-S3=a4+a5=14,则a5=9,
可得d=a5-a4=4,a1=a4-3d=-7,
所以an=-7+4(n-1)=4n-11.
(2)由(1)可得Sn==2n2-9n,则Sn-an+λ=(2n2-9n)-(4n-11)+λ=2n2-13n+λ+11,因为y=2n2-13n+λ+11=2+λ-,且n∈N+,则当n=3时,y=2n2-13n+λ+11取到最小值λ-10,可得λ-10≥0,即λ≥10,所以λ的取值范围为[10,+∞).
18.解(1)∵an+2-2an+1+an=0,
∴an+2-an+1=an+1-an,
∴{an}是等差数列,又a1=8,a4=2,
∴d=-2,an=a1+(n-1)d=10-2n,n∈N+.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,
则Sn=8n+×(-2)=9n-n2.
∵an=10-2n,令an=0,得n=5.
当n>5时,an<0;
当n=5时,an=0;
当n<5时,an>0.
∴当n>5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)
=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn
=2×(9×5-25)-9n+n2=n2-9n+40,
当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+an=9n-n2.
∴Tn=
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