第1章　数列 3.1　第2课时　等比数列的性质及应用--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
第2课时　等比数列的性质及应用
A级必备知识基础练
1.[探究点一]已知{an}是等比数列,a2=2,a4=,则公比q等于(　　)
A.- B.-2 C.2 D.±
2.[探究点二]在等比数列{an}中,a2,a18是方程x2+6x+4=0的两根,则a4a16+a10=(　　)
A.6 B.2 C.2或6 D.-2
3.[探究点三·2024深圳期末]在等比数列{an}中,a2+a3+a4+a5=243,a5+a6+a7+a8=72,则a7+a8+a9+a10=(　　)
A. B. C.32 D.64
4.[探究点四]一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天它飞出去找回了5个小伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴,…,如果这个找伙伴的过程持续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂(　　)
A.65只 B.66只 C.216只 D.36只
5.[探究点二]已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9=　　　　.
6.[探究点二]公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
7.[探究点二]在等比数列{an}中,a6a12=6,a4+a14=5,则=　　　　.
8.[探究点二]在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为　　　　　.
9.[探究点二、三]在等比数列{an}中,an>0,n∈N+,公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
10.[探究点二](1)设{an}为公比q>1的等比数列,若a2 023和a2 024是方程4x2-8x+3=0的两根,求a2 033+a2 034的值;
(2)在等比数列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比q为整数,求通项公式an.
11.[探究点二]已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.
B级关键能力提升练
12.已知等比数列{an}共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,则其公比是(　　)
A. B. C.2 D.2
13.已知在各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为(　　)
A.100 B.-100
C.10 000 D.-10 000
14.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于(　　)
A.12 B.13 C.14 D.15
15.(多选题)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且a1,a2,a5成等比数列,则下列说法正确的是(　　)
A.若a1>0,则S4>a8 B.若a1>0,则S4≤a8
C.若a1<0,则S4>a8 D.若a1<0,则S416.(多选题)[2024江苏扬州检测]已知等比数列{an},则下面式子对任意正整数k都成立的是(　　)
A.ak·ak+1>0
B.ak·ak+2>0
C.ak·ak+1·ak+2>0
D.ak·ak+1·ak+2·ak+3>0
17.(多选题)若等比数列{an}的第4项和第6项分别是48和12,下列选项中说法正确的是(　　)
A.{an}的公比为或-
B.{an}的第5项是24
C.a3·a2 022=a1·a2 024
D.a3+a2 022=a1+a2 024
18.在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则a41a42a43a44=　　　　　　　.
19.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a6=2,a4+a5=12.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=a1a3a5…a2n-1,n∈N+,求数列{bn}的最大项.
C级学科素养创新练
20.记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=2a1,且数列{Sn+a1}是等比数列,求证:{an}是等比数列.
参考答案
第2课时　等比数列的性质及应用
1.D　由题意可得=q2=,解得q=±.
2.B　由题知a2+a18=-6,a2·a18=4,所以a2<0,a18<0,故a10<0,所以a10=-=-2,因此a4a16+a10=+a10=2.
3.C　设等比数列{an}的公比为q,则a5+a6+a7+a8=q3(a2+a3+a4+a5),即243q3=72,解得q=,所以a7+a8+a9+a10=q2(a5+a6+a7+a8)=2×72=32.故选C.
4.B　设第n天蜜蜂归巢后,蜂巢中共有an只蜜蜂,则a1=6,a2=5a1+a1=6a1,a3=5a2+a2=6a2,…,∴{an}是首项为6,公比为6的等比数列.∴a6=a1·q6-1=66.
5.8　由等比数列的性质,得a3a11=,∴=4a7.∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=a7=4.再由等差数列的性质知b5+b9=2b7=8.
6.C　由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,∵a1am=9,
∴a1am=a5a6,∴m=10,故选C.
7.　由a6a12=a4a14=6,且a4+a14=5,解得a4=2,a14=3或a4=3,a14=2.
若a4=2,a14=3,则q10=,故=(q10)2=;
若a4=3,a14=2,则q10=,故=(q10)2=.
综上,.
8.8　设这8个数组成的等比数列为{an},则a1=1,a8=2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7=(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)=(a1a8)3=23=8.
9.解 (1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,
∴+2a3a5+=25.
又∵an>0,∴a3+a5=5. ①
∵a3与a5的等比中项为2,∴a3a5=4. ②
∵q∈(0,1),∴a3>a5.
∴由①②解得a3=4,a5=1.
∴q2=,解得q=,
∴a1=16,∴an=16×n-1=25-n.
(2)∵bn=log2an=5-n,∴bn+1-bn=-1,b1=4.
∴数列{bn}是以b1=4为首项,-1为公差的等差数列,
∴Sn==-n2+n.
10.解 (1)解方程4x2-8x+3=0,得x1=,x2=,
由q>1,得a2 023=,a2 024=,q=3,
所以a2 033+a2 034=(a2 023+a2 024)q10=2×310.
(2)在等比数列{an}中,由a4a7=-512,得a3a8=-512,
又a3+a8=124,
解得a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4,
因为公比q为整数,所以q==-=-2,
故an=-4×(-2)n-3=-(-2)n-1.
11.解∵{an}是等比数列,∴a1·a9=a3·a7=64.
又a3+a7=20,∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.
①当a3=4,a7=16时,=q4=4,此时a11=a3q8=4×42=64.
②当a3=16,a7=4时,=q4=,此时a11=a3q8=16×2=1.
12.C　∵奇数项之积为2,偶数项之积为64,
∴a1a3a5a7a9=2,a2a4a6a8a10=64,
则=q5=32,则q=2,故选C.
13.C　∵lg(a3a8a13)=lg =6,
∴=106,∴a8=102=100.∴a1a15==10 000.
14.C　设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12,可得q9=3,an-1anan+1=q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14,故选C.
15.AD　设等差数列{an}的公差为d≠0,∵a1,a2,a5成等比数列,则=a1a5,可得(a1+d)2=a1(a1+4d),整理得d2=2a1d,由d≠0,则d=2a1,则S4-a8=(4a1+6d)-(a1+7d)=3a1-d=3a1-2a1=a1,对于A,B,若a1>0,即S4-a8=a1>0,故S4>a8,A正确,B错误;对于C,D,若a1<0,即S4-a8=a1<0,故S416.BD　对于A,当q<0时,ak·ak+1<0,A不一定成立;对于B,ak·ak+2=(akq)2>0,B成立;对于C,ak·ak+1·ak+2=(ak+1)3>0不一定成立,C不一定成立;对于D,ak·ak+1·ak+2·ak+3=(ak+1·ak+2)2>0一定成立,故选BD.
17.AC　设该等比数列的公比为q,由题意可知,a6=a4q2,则q2=,解得q=±,选项A正确;a5=a4q=48×=±24,选项B不正确;由等比数列性质知,a3·a2 022=a1·a2 024,故选项C正确,D不正确.故选AC.
18.1 024　设等比数列{an}的公比为q,
a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=·q6=1, ①
a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=·q54=8,②
②÷①得q48=8,q16=2,
∴a41a42a43a44=a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=·q166=·q6·q160=(·q6)(q16)10=210=1 024.
19.解(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),
由a6=2,a4+a5=12,得
解得(舍去),
∴an=64×=27-n.
(2)bn=a1a3a5…a2n-1=26×24×22×…×28-2n=,
∴当n=3或n=4时,bn取得最大项212.
20.证明设等比数列{Sn+a1}的公比为q,
则q==2,
∴Sn+a1=2a1·2n-1=a1·2n,∴Sn=a1·(2n-1),
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a1[(2n-1)-(2n-1-1)]=a1·2n-1,当n=1时也适合,∴an=a1·2n-1(n∈N+),
∴=2,∴{an}是等比数列.
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