第1章　数列 3.1　第1课时　等比数列的概念及其通项公式--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
§3　等比数列
3.1　等比数列的概念及其通项公式
第1课时　等比数列的概念及其通项公式
A级必备知识基础练
1.[探究点一]在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于(　　)
A.4 B.8 C.16 D.32
2.[探究点二]已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于(　　)
A.6 B.-6
C.±6 D.±12
3.[探究点三(角度2)]若数列{an}满足=0,则称{an}为“必会数列”,已知正项数列{an}为“必会数列”,若a4+a5=3,则a2+a3=(　　)
A. B.1 C.6 D.12
4.[探究点三(角度1)]若数列{an}是公比为的正项等比数列,则{·a2n}是(　　)
A.公比为2的等比数列
B.公比为的等比数列
C.公差为2的等差数列
D.公差为的等差数列
5.[探究点一]设Tn为数列{an}的前n项积,若an+2an+1=0,n∈N+且a2-a6=30,则当Tn取得最小值时n=(　　)
A.8 B.7 C.6 D.5
6.[探究点一]在160与5之间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为　　　　　　　　.
7.[探究点二]已知数列-1,a1,a2,a3,-4为等差数列,数列-1,b1,b2,b3,-4为等比数列,则=　　　　.
8.[探究点一]已知数列{an}是首项为负数,公比为q的等比数列,若对任意的正整数n,2a2n-1+a2n>0恒成立,则q的值可以是　　　　.(只需写出一个)
9.[探究点一]在各项均为负数的等比数列{an}中,2an=3an+1,且a2·a5=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)-是否为该数列的项 若是,为第几项
10.[探究点三(角度2)]已知数列{an},{bn}满足:a1=1,b1=0,4bn+1=an+3bn+4,4an+1=3an+bn+4,证明数列{an+bn}是等差数列,数列{an-bn}为等比数列.
B级关键能力提升练
11.在等比数列{an}中,a1=,公比q=2,则a3与a5的等比中项是(　　)
A.2 B.4 C.±2 D.±4
12.已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,若a1,a3,a7成等比数列,则a2 023=(　　)
A.2 023 B.2 024 C.4 046 D.4 048
13.如图给出了一个“三角形数阵”,已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij(i,j∈N+),则a53的值为(　　)
　　　
……
　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C. D.
14.已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则数列{an}的通项公式为an=(　　)
A.2n-1 B.2n-1 C. D.n2
15.(多选题)已知等比数列{an}满足:an>0,a2·a5=8a3,a3+a4=6a2,则下列结论中正确的有(　　)
A.a1=2
B.an=2n-1
C.若m,n∈N+,am·an=16,则的最小值为
D.存在m,n,p∈N+,且m16.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=　　　　.
17.若等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2,则an=　　　　;若{bn}是等比数列,且b2=a3,b3=a7,b6=ak,则k=　　　　.
18.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数R0=3(注:对于R0>1的传染病,要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径),那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为　　　(注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……).
19.在等比数列{an}中,若{an}为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,求通项公式an.
C级学科素养创新练
20.在△ABC中,AD是底边BC上的高,垂足为点D,且.
(1)若边长AB,BC,CA成等比数列,求∠BAC的正弦值;
(2)求的最大值.
参考答案
§3　等比数列
3.1　等比数列的概念及其通项公式
第1课时　等比数列的概念及其通项公式
1.C　∵a4=a1q3=4,∴a2·a6=a1q·a1q5=q6=(a1q3)2=42=16.
2.C　∵a=,b2=(-1)×(-16)=16,b=±4,
∴ab=±6.
3.D　由题意知数列{an}满足=0,可得an+1=an,故正项数列{an}是以q=为公比的等比数列,则a4+a5=q2(a2+a3)=(a2+a3)=3,∴a2+a3=12.
4.A　数列{an}是公比为的正项等比数列,则(n≥2).设bn=·a2n,则×()2=2(n≥2),即{·a2n}是公比为2的等比数列.
5.C　由题易知an≠0,因为an+2an+1=0,n∈N+,所以=-,所以数列{an}是公比为-的等比数列.
由a2-a6=30,得-a1-a1=30,解得a1=-64,所以an=-64×,
所以Tn=a1·a2·a3·…·an=a1·a1·a1·…·a1=(-64)n=(-1,要使Tn取得最小值,则为奇数,且取最小值,
当n=6时,满足为奇数,且取最小值,
所以当Tn取得最小值时,n=6,故选C.
6.80,40,20,10　设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=,∴q=.∴这4个数依次为80,40,20,10.
7.　由-1,a1,a2,a3,-4成等差数列,可得公差d==-,所以a2-a1=-.
又由-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,
可得=-1×(-4)=4.
设等比数列的公比为q,可得b2=-1·q2<0,
所以b2=-2,所以.
8.-3(答案不唯一,q<-2即可)　由2a2n-1+a2n>0可得,2a1q2n-2+a1=a1q2n-2(q+2)>0恒成立,
因为q≠0,显然有q2n-2=(qn-1)2>0,
又a1<0,所以q+2<0,q<-2.
9.解 (1)因为2an=3an+1,
所以,数列{an}是公比为的等比数列.
又a2·a5=,所以5=3,由于数列的各项均为负数,故a1=-,an=-n-2.
(2)设an=-,则-=-n-2,n-2=4,n=6,所以-是该数列的项,为第6项.
10.证明 将4an+1=3an+bn+4,4bn+1=an+3bn+4两式相加得4(an+1+bn+1)=4(an+bn)+8,
所以(an+1+bn+1)-(an+bn)=2,
所以数列{an+bn}是以2为公差的等差数列.
将4an+1=3an+bn+4,4bn+1=an+3bn+4两式相减得4(an+1-bn+1)=2(an-bn),
所以,且a1-b1=1≠0,
所以数列{an-bn}是以为公比的等比数列.
11.D　因为a3a5==(a1q3)2==16,所以a3与a5的等比中项是±4,故选D.
12.B　设数列{an}的公差为d,且d≠0,若a1,a3,a7成等比数列,则=a1a7,又因为a1=2,所以(2+2d)2=2(2+6d),化简得4d2-4d=0,即4d(d-1)=0,又因为d≠0,所以d=1,所以a2 023=2+2 022×1=2 024.故选B.
13.C　第一列构成首项为,公差为的等差数列,所以a51=+(5-1)×.又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为,公比为的等比数列,所以a53=×2=.
14.C　易知an>0,且an≠1,在an+1=的两边同时取常用对数,得lg an+1=2lg an,故=2,所以数列是以lg 2为首项,2为公比的等比数列,所以lg an=2n-1×lg 2=lg ,所以an=.故选C.
15.BC　因为等比数列{an}满足:an>0,a2·a5=a3·a4=8a3,a3+a4=6a2,所以a4=8,+8=,解得q=2或q=-3(舍去),故a1=1,an=2n-1,A错误,B正确;若m,n∈N+,am·an=2m+n-2=16,所以m+n=6,则=5+≥5+2=,当且仅当且m+n=6,即m=2,n=4时,等号成立,C正确;若am+an=ap,则2m-1+2n-1=2p-1,因为m16.1　设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,
∴q==1.
17.2n+2　63　由a4-a3=2知等差数列{an}的公差d=2,又a1+a2=2a1+d=10,故a1=4,则an=2n+2,所以b2=8,b3=16,得等比数列{bn}的公比q=2,b1=4.又b6=ak,故2k+2=4×25,解得k=63.
18.4 095　初始一名感染者,经过一轮传染后,感染人数为1+R0=4人;经过二轮传染后,感染人数为4+4R0=16(人);经过三轮传染后,感染人数为16+16R0=64(人).每一轮传染后的感染人数构成以4为首项,以4为公比的等比数列,设为{an},到第n轮传染后,感染人数为an=4×4n-1=4n,∴由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为46-1=4 095.
19.解由=a10=a5·q10-5,且a5≠0,得a5=q5,
即a1q4=q5,又q≠0,∴a1=q.
由2(an+an+2)=5an+1得,2an(1+q2)=5qan,
∵an≠0,∴2(1+q2)=5q,解得q=或q=2.
∵a1=q,且{an}为递增数列,∴a1=2,q=2,∴an=2·2n-1=2n(n∈N+).
20.解(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
∵边长AB,BC,CA成等比数列,∴bc=a2.
∵,∴a=3AD,bc=9AD2.
∵S△ABC=bcsin∠BAC=AD·a,
∴9AD2sin∠BAC=AD·3AD,∴sin∠BAC=.
(2)∵BC=3AD,=sin∠BAC,∴=3sin∠BAC+2cos∠BAC=sin(∠BAC+α)≤,且tan α=,
∴的最大值为.
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