第1章　数列 3.2　第1课时　等比数列前n项和的推导及初步应用--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师大版数学选择性必修第二册
3.2　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列前n项和的推导及初步应用
A级必备知识基础练
1.[探究点一]1-7+72-73+…+(-7)2n=(　　)
A. B.
C. D.
2.[探究点二]在等比数列{an}中,已知a1=3,an=48,Sn=93,则n的值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
3.[探究点二]在数列{an}中,a1=2,am+n=aman,m,n∈N+.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则正整数k等于(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
4.[探究点一]已知数列{an}是首项为1的等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为(　　)
A.或5 B.或5
C. D.
5.[探究点一]若一个等比数列的首项为,公比为2,S是该等比数列前10项之和,S'是该等比数列前10项的倒数之和,则=(　　)
A.16 B.32 C.64 D.128
6.[探究点二](多选题)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=1,,则下列说法正确的是(　　)
A.{an}必是递减数列
B.S5=
C.公比q=4或q=
D.a1=4或a1=
7.[探究点一]设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=　　　　.
8.[探究点二]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=　　　　.
9.[探究点三·2024安徽合肥期末]已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明an+是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)若bn=(2n-1)(2an+1),求数列{bn}的前n项和Sn.
B级关键能力提升练
10.[2024江苏镇江期中]已知等比数列{an}中,an>0,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,且S2=48,S4=60,则使得Tn<1成立的正整数n的最小值为(　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
11.一弹球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程之和约是(结果保留到个位)(　　)
A.300米 B.299米 C.199米 D.166米
12.设数列{an}的前n项和为Sn,称Tn=为数列a1,a2,a3,…,an的“理想数”,已知数列a1,a2,a3,a4,a5的理想数为2 014,则数列2,a1,a2,…,a5的“理想数”为(　　)
A.1 673 B.1 675 C. D.
13.已知数列{an}满足a1=2,对于任意正整数n都有2an+1-an=0,则数列{an}的前6项和是(　　)
A. B. C.30 D.126
14.(多选题)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则下列说法正确的是(　　)
A.q=2
B.=9
C.S3,S6,S9成等比数列
D.Sn=2an+a1
15.为平衡城市旅游发展和生态环境保护,某市计划通过五年时间治理城市环境污染,预计第一年投入资金81万元,以后每年投入资金是上一年的倍;第一年的旅游收入为20万元,以后每年旅游收入比上一年增加10万元,则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为(　　)
A.325万元 B.581万元
C.721万元 D.980万元
16.在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,则公比q=　　　　,|a1|+|a2|+…+|an|=　　　　.
17.已知在公比小于1的等比数列{an}中,其前n项和为Sn,a2=,S3=.
(1)求an;
(2)求证:≤Sn<1.
C级学科素养创新练
18.已知数列{an}:,…的前n项和为Sn,则S120=　　　　.
19.[2024陕西榆林期末]已知递减的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=,S3=7a3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求满足Sn≤的所有正整数n的值.
参考答案
3.2　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列前n项和的推导及初步应用
1.A　1-7+72-73+…+(-7)2n表示以1为首项,-7为公比的等比数列的前2n+1项和,所以1-7+72-73+…+(-7)2n=.
2.B　显然q≠1,由Sn=,得93=,解得q=2.由an=a1qn-1,得48=3×2n-1,解得n=5.
3.C　由a1=2,am+n=aman,令m=1,则an+1=a1an=2an,∴{an}是以2为首项,公比为2的等比数列,∴an=2×2n-1=2n.又∵ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,∴=215-25,即2k+1(210-1)=25(210-1),∴2k+1=25,∴k+1=5,∴k=4.
4.C　由9S3=S6,得q≠1,且,即1+q3=9,解得q=2,所以数列是首项为1,公比为的等比数列,则数列的前5项和为.
5.B　依题意可得该等比数列前10项的倒数构成一个新的等比数列,且其首项为4,公比为.
故=32.故选B.
6.BD　设等比数列{an}的公比为q,则q>0,因为a1a5==1,a3=a1q2=1,所以=1+=1+=1+a1+a5=a1+1+,解得当a1=4,q=时,S5=,数列{an}是递减数列;当a1=,q=2时,S5=,数列{an}是递增数列.综上,S5=,选项BD正确,选项AC错误.
7.3　∵S6=4S3,∴q≠1,∴,
∴q3=3,∴a4=a1·q3=1×3=3.
8.2n-1　设等比数列{an}的公比为q,则q=,所以=2n-1.
9.解 (1)∵数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1,
∴an+1+=3an+,
又a1+,∴an+是首项为,公比为3的等比数列.∴an+×3n-1=,
∴{an}的通项公式an=.
(2)bn=(2n-1)(2an+1)=(2n-1)·3n,
∴数列{bn}的前n项和
Sn=1·3+3·32+5·33+…+(2n-1)·3n, ①
3Sn=1·32+3·33+5·34+…+(2n-1)·3n+1, ②
①-②,得-2Sn=3+2(32+33+34+…+3n)-(2n-1)·3n+1=3+2×-(2n-1)·3n+1=-6-(2n-2)·3n+1,∴Sn=(n-1)·3n+1+3.
10.D　∵等比数列{an}中,an>0,S2=48,S4=60,则q≠1,q>0,∴1+q2=,∴
∴Tn=a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=(q·q2·…·qn-1)=25n,
∵Tn<1,∴<0,∴n2-11n>0,∵n∈N+,∴n>11,∴正整数n的最小值为12,故选D.
11.A　小球10次着地共经过的路程为100+100+50+…+100×=100+100×=300-=299≈300(米).
12.D　因为数列a1,a2,…,a5的“理想数”为2 014,
所以=2 014,
即S1+S2+S3+S4+S5=5×2 014,
所以数列2,a1,a2,…,a5的“理想数”为.
13.B　对任意的n都有2an+1-an=0,则an+1=an,且a1=2,所以数列{an}是首项为2,公比为的等比数列.因此数列{an}的前6项和是=4×.故选B.
14.AB　若a6=8a3,则有q3==8,可解得q=2,A正确;由q=2,则=9,B正确;由q=2,则S3==7a1,S6==63a1,S9==511a1,S3,S6,S9不是等比数列,C错误;由q=2,则Sn==(2n-1)a1,an=a1×qn-1=2n-1a1,Sn=2an+a1不成立,D错误,故选AB.
15.B　根据题意可知,这五年投入的金额构成首项为81,公比为的等比数列,所以这五年投入的资金总额是=781(万元).由题意可知,这五年的旅游收入构成首项为20,公差为10的等差数列,所以这五年的旅游总收入是20×5+×10=200(万元).所以这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为781-200=581(万元).故选B.
16.-2　2n-1-　设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=-8,所以q=-2.易知数列{|an|}为等比数列,且公比为|q|=2,则|an|=×2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(1+2+22+…+2n-1)=(2n-1)=2n-1-.
17.(1)解设等比数列{an}的公比为q.
由
解得(舍去),
所以an=.
(2)证明由(1)得an=,
所以Sn==1-.
因为函数y=在R上为减函数,且y=>0恒成立,所以当n∈N+,n≥1时,0<,所以≤Sn<1.
18.60　将此数列分组,
第一组:,共21-1项;
第二组:,共22-1项的和;
第三组:,共23-1项的和;
…;
第n组:+…+,共2n-1项的和.
由(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=2×(2n-1)-n=120,解得n=6,
因此前120项之和正好等于前6组之和,+…+=60.
19.解 (1)根据题意,设等比数列{an}的公比为q,又由a1+a3=,S3=7a3,则有
因为a1≠0,所以解得q=或q=-,
因为等比数列{an}是递减数列,所以q=.
进而解得a1=,故an=a1qn-1=.
(2)由(1)的结论an=,则Sn==1-,
若Sn≤,即1-,变形可得2n≤1 000,
又由n∈N+,则n≤9,即n可取的值为1,2,3,4,5,6,7,8,9.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)