第1章　数列 3.2　第2课时　等比数列前n项和的综合应用--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
第2课时　等比数列前n项和的综合应用
A级必备知识基础练
1.[探究点一]已知数列{an}是递减的等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a3+a4=9,a2a5=18,则S2·a6=(　　)
A.54 B.36
C.27 D.18
2.[探究点一]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=3,则a9+a10+a11+a12等于(　　)
A.8 B.6
C.4 D.2
3.[探究点一]一个项数为偶数的等比数列,它的偶数项和是奇数项和的2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,则此等比数列的项数为(　　)
A.6 B.8
C.10 D.12
4.[探究点一]设Sn为等比数列{an}的前n项和,a2-8a5=0,则的值为(　　)
A. B.2
C. D.17
5.[探究点一]设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(　　)
A.2 B.
C. D.3
6.[探究点一]已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=　　　　.
7.[探究点二]为迎接国庆节的到来,某单位要在办公楼外部挂灯笼进行装饰,此办公楼高五层,若在楼的顶层挂4盏灯笼,且相邻的两层中,下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍,则五层楼一共需要挂　　　　盏灯笼.
8.[探究点一]已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=,S6-S3=14,则a9=　　　　　.
9.[探究点一]设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a2+a4+…+a2n.
B级关键能力提升练
10.已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2+bn+c,等比数列{bn}的前n项和Tn=3n+d,则向量a=(c,d)的模为(　　)
A.1 B.
C. D.无法确定
11.记Sn为等比数列{an}的前n项和,若数列{Sn-2a1}也为等比数列,则=(　　)
A. B.1 C. D.2
12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S10=2,S30=14,则S40=(　　)
A.20 B.30 C.40 D.50
13.若数列{xn}满足lg xn+1=1+lg xn(n∈N+),且x1+x2+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值等于(　　)
A.200 B.120 C.110 D.102
14.(多选题)在公比为q的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1=1,a5=27a2,则下列说法正确的是(　　)
A.q=3
B.数列{Sn+2}是等比数列
C.S5=121
D.2log3an=log3an-2+log3an+2(n≥3)
15.设Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S3=,S6=,则log2a3+log2a5=　　　　　.
16.在北京冬奥会开幕式上,由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象,以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、更团结”的奥林匹克格言.1904年,瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化,构造出了“雪花曲线”:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边(如图).反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形(图①)的边长为1,则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为　　　　　,如果这个操作过程可以一直继续下去,那么所得图形的面积将趋近于　　　　　.
17.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2.
(1)证明数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}落入区间(10,2 023)的所有项的和.
C级学科素养创新练
18.(多选题)如果有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足a1=am,a2=am-1,…,即ai=am-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.设{bn}是项数为2m(m>1,m∈N+)的“对称数列”,且1,2,22,23,…,2m-1依次为该数列中连续的前m项,则数列{bn}的前100项和S100可能的取值为(　　)
A.2100-1 B.251-2
C.226-4 D.2m+1-22m-100-1
19.已知Sn为数列{an}的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.
(1)证明:{Sn-n+2}为等比数列;
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn,求Tn.
参考答案
第2课时　等比数列前n项和的综合应用
1.C　因为数列{an}是递减的等比数列,a3+a4=9,a2a5=a3a4=18,所以a3=6,a4=3,所以q=,a6=a3q3=6×,a1==24,a2==12,所以S2=a1+a2=24+12=36,则S2·a6=36×=27.故选C.
2.C　显然{an}的公比不是-1.由S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,即1,2,a9+a10+a11+a12成等比数列,∴a9+a10+a11+a12=4.
3.B　设等比数列的项数为2n项,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则q==2,又它的首项为1,所以通项为an=2n-1,中间两项的和为an+an+1=2n-1+2n=24,解得n=4,所以项数为8.
4.C　=q3=,∴q=.
∴=1+=1+q4=.
5.B　由题意知q≠1,否则=2≠3.
∴=1+q3=3,∴q3=2.
∴.
6.2　设数列{an}的前2n项中,奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶.由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,∴S奇=-80,S偶=-160,∴q==2.
7.124　由题意知,各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列{an}(n∈N+,n≤5),由题意知a1=4,公比q=2,所以前5项和为S5==4×(25-1)=124,所以五层楼一共需要挂124盏灯笼.
8.64　设等比数列的公比为q,则S3==a1+a2+a3,S6-S3=a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3=14,故q=2.
又因为S3==a1+a1q+a1q2,所以a1=.
所以a9=a1q8=×28=26=64.
9.解 由条件知S1=a1=1.
(1)①当c=1时,an=即an=
②当c≠1时,an=
(2)①当c=1时,a2+a4+…+a2n=0.
②当c≠1时,数列是以a2为首项,c2为公比的等比数列,
所以a2+a4+…+a2n=.
10.A　由等差数列与等比数列的前n项和公式知,c=0,d=-1,所以向量a=(c,d)的模为1.
11.A　根据题意,设等比数列{an}的公比为q,若数列{Sn-2a1}为等比数列,则S1-2a1,S2-2a1,S3-2a1为等比数列,则有(S2-2a1)2=(S1-2a1)(S3-2a1),即(a2-a1)2=(-a1)(a2+a3-a1),变形可得(q-1)2=(-1)(q2+q-1),解得q=或q=0,又因为q≠0,则q=.故选A.
12.B　根据题意,在等比数列{an}中,设其公比为q,
若S10=2,S30=14,必有q>0且q≠1,
则有
则有=1+q10+q20=7,变形可得q20+q10-6=0,
解得q10=2,q10=-3(舍去).
又因为S10=(1-q10)=2,变形可得=-2,
故S40=(1-q40)=30.故选B.
13.D　因为lg xn+1=1+lg xn,所以lg xn+1-lg xn=lg=1,所以=10,所以数列{xn}是等比数列,公比为10,所以lg(x101+x102+…+x200)=lg[(x1+x2+…+x100)·10100]=lg(100×10100)=102.
14.ACD　∵a5=27a2,∴q3=27,∴q=3,故选项A正确;
又a1=1,∴an=3n-1,Sn=,∴Sn+2=≠常数,故选项B错误;
∵S5==121,∴选项C正确;
∵2log3an=2(n-1),log3an-2+log3an+2=n-3+n+1=2(n-1),∴2log3an=log3an-2+log3an+2(n≥3),故选项D正确.
15.2　设等比数列{an}的公比为q,
则S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+q3(a1+a2+a3)=S3(1+q3),所以q3=-1=8,则q=2.
又因为S3==7a1=,可得a1=,则a4=a1q3=×8=2.
由对数的运算性质以及等比中项的性质可得log2a3+log2a5=log2(a3a5)=log2=log222=2.
16.　若第n幅图中图形的边数记为Nn,则Nn=4Nn-1(n≥2),又N1=3,故Nn=N1·4n-1=3·4n-1.
设原正三角形(图①)的边长为1,面积S=,
故第n幅图比第(n-1)幅图新增部分的面积为Sn=S·Nn-1=S(n≥2),则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为S3=.
从而图形的总面积Tn=S+S2+S3+…+Sn=S+S+…+=S,
当n→+∞时,→0,Tn不断地趋于S,S=.
17.解(1)由an+1=2an+2,得an+1+2=2(an+2),
又因为a1+2=3,所以=2.
所以{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列.
所以an+2=3×2n-1,an=3×2n-1-2.
(2)由题意得10解得4<2n-1<675,即3所以其和S=a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=3×(23+24+…+29)-2×7=3×-14=3 034.
18.ABD　由题意知数列{bn}为1,2,22,23,…,2m-1,2m-1,…,23,22,2,1.若m=50,则S100=2×=251-2,B正确;若51≤m<100,则S100=2×=2m+1-22m-100-1,故D正确;若m≥100,则S100==2100-1,故A正确.
19.(1)证明当n=1时,S1-2S1=1-4,故S1=3,
得S1-1+2=4.
当n≥2时,原式转化为Sn=2(Sn-Sn-1)+n-4,
即Sn=2Sn-1-n+4,
所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2],
所以{Sn-n+2}是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)解由(1)知,Sn-n+2=2n+1,所以Sn=2n+1+n-2,
于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n=-2n=.
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