第1章　数列 4　数列在日常经济生活中的应用--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
§4　数列在日常经济生活中的应用
A级必备知识基础练
1.[探究点一]某人在一年12个月中,每月10日向银行存入1 000元,假设银行的月利率为0.5%(按单利计算),则到第二年的1月10日,此项存款一年的利息之和是(　　)
A.5×(1+2+3+…+12)元
B.5×(1+2+3+…+11)元
C.1 000×[1+0.5%+(0.5%)2+…+(0.5%)11]元
D.1 000×[1+0.5%+(0.5%)2+…+(0.5%)12]元
2.[探究点二]某人从2024年1月1日起,且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期),若年利率r保持不变,且每年到期后本金与利息均自动转为新一年定期的本金,则至2030年1月1日将所有本金及利息全部取回,他可取回的钱数(单位为元)为(　　)
A.a(1+r)7
B.[(1+r)7-(1+r)]
C.a(1+r)8
D.[(1+r)8-(1+r)]
3.[探究点三]某工厂购买一台机器价格为a万元,实行分期付款,每期付款b万元,每期为一个月,共付12次,如果月利率为0.5%,每月利息按复利计算,则a,b满足(　　)
A.b=
B.b=
C.b=
D.4.[探究点二]某病毒研究所为了更好地研究某种病毒,计划改建十个实验室,每个实验室的改建费用分为装修费和设备费,每个实验室的装修费都一样,设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列,已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元,第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元,并要求每个实验室改建费用不能超过1 100万元,则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多为(　　)
A.2 806万元 B.2 906万元
C.3 106万元 D.3 206万元
5.[探究点二]某煤矿从开始建设到出煤共需5年,每年国家投资100万元,如果年利率为10%,按复利计算,那么到出煤时,国家实际投资总额是　　　　万元(精确到0.001).
6.[探究点二]有纯酒精a(a>1)升,从中取出1升,再用水加满,然后再取出1升,再用水加满,如此反复进行,则第九次和第十次共取出纯酒精　　　　　升.
7.[探究点三]用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房,购买当天首付300万元,以后每月的这一天都交100万元,并加付此前欠款的利息,设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应付多少万元 全部贷款付清后,买这批住房实际支付多少万元
B级关键能力提升练
8.据有关文献记载:我国古代一座9层塔挂了126盏灯,且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多d(d为常数)盏,底层的灯数是顶层的13倍,则塔的顶层共有灯(　　)
A.2盏 B.3盏
C.4盏 D.5盏
9.“勾股树”,也被称为毕达哥拉斯树,是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示,以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形,再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形,如此继续,若共得到127个正方形,且AB=8,则这127个正方形的周长之和为(　　)
A.480+224 B.224+224
C.60+28 D.56+28
10.我们知道,当偿还银行贷款时,“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式,其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘利率.自主创业的大学生小华向银行贷款的本金为48万元,小华跟银行约定,按照等额本金还款法,每个月还一次款,20年还清,贷款月利率为0.4%,设小华第n个月的还款金额为an元,则an=(　　)
A.2 192 B.3 912-8n
C.3 920-8n D.3 928-8n
11.如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆……如此下去,前n个内切圆的面积和为　　　　.
12.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.两匹马在第　　　　日相逢.
13.某企业2022年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从2023年起每年比上一年纯利润减少20万元,2023年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(2023年为第一年)的利润为5001+万元(n为正整数).
(1)设从2023年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An,Bn的表达式.
(2)依上述预测,从2023年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润
C级学科素养创新练
14.某牧场今年年初牛的存栏数为1 200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年底卖出100头牛,设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a1,a2,a3,….
参考数据:1.088≈1.850 9,1.089≈1.999 0,1.0810≈2.158 9.
(1)写出一个公式,表示an+1与an之间的关系;
(2)将(1)中的关系表示成an+1-k=r(an-k)的形式,其中k,r为常数;
(3)求S9=a1+a2+a3+…+a9的值(结果精确到整数).
15.容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液,容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液,先将A内的盐水倒1升进入B内,再将B内的盐水倒1升进入 A内,称为一次操作;这样反复操作n次,A,B容器内的盐水的质量分数分别为an,bn.
(1)求a1,b1,并证明{an-bn}是等比数列.
(2)至少操作多少次,A,B两容器内的盐水浓度之差小于1% (取lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(3)求an,bn的表达式.
参考答案
§4　数列在日常经济生活中的应用
1.A　存款利息是以5为首项,5为公差的等差数列,12个月的存款利息之和为5×(1+2+3+…+12)元.
2.B　2029年1月1日,2028年1月1日,…2024年1月1日存入钱的本利和分别为a(1+r),a(1+r)2,…,a(1+r)6,求和可得[(1+r)7-(1+r)].
3.D　因为b(1+1.005+1.0052+…+1.00511)=a(1+0.005)12,所以12ba,即4.A　设每个实验室的装修费用为x万元,设备费从第一到第十实验室构成的等比数列为{an}(n=1,2,…,10),公比为q,则解得∴a10=a1q9=2×29=210=1 024,根据题意x+1 024≤1 100,解得x≤76,
∴该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多为10x+a1+a2+…+a10≤760+=2 806,即该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要2 806万元.故选A.
5.671.561　第五年投资的本利和是a1=100×(1+10%)万元,
第四年投资的本利和是a2=100×(1+10%)2万元,
……
第一年投资的本利和是a5=100×(1+10%)5万元,
所以数列{an}是以a1=100×(1+10%)为首项,q=1+10%为公比的等比数列,
到出煤时,国家实际投资总额是S5=100×1.1×=671.561(万元).
6.1-82-　由题意可知,取出的纯酒精数量是一个以1为首项,1-为公比的等比数列,
即:第一次取出的纯酒精为1升,
第二次取出的纯酒精为1-升,
第三次取出的纯酒精为1-2升,
……
第n次取出的纯酒精为1-n-1升,
则第九次和第十次共取出的纯酒精数量为
a9+a10=1-8+1-9=1-82-.
7.解 购买时付款300万元,则欠款2 000万元,
依题意,分20次付清,
则每次交付欠款的数额依次构成数列{an},
故a1=100+2 000×0.01=120(万元),
a2=100+(2 000-100)×0.01=119(万元),
a3=100+(2 000-100×2)×0.01=118(万元),
a4=100+(2 000-100×3)×0.01=117(万元),
…
an=100+[2 000-100(n-1)]×0.01=(121-n)万元(1≤n≤20,n∈N+).
因此数列{an}是首项为120,公差为-1的等差数列.
故a10=121-10=111(万元),a20=121-20=101(万元),
20次分期付款的总和为
S20==2 210(万元).
实际要付300+2 210=2 510(万元).
即分期付款第10个月应付111万元;全部贷款付清后,买这批住房实际支付2 510万元.
8.A　设顶层有x盏灯,则最下面有(x+8d)盏,
则x+8d=13x,即d=x,
由题意得x+(x+d)+(x+2d)+…+(x+8d)=126,
整理得9x+36d=126,
所以9×+36d=126,
解得d=3,x=2,
所以顶层有2盏灯.故选A.
9.A　依题意可知,不同边长的正方形的个数,构成以1为首项,2为公比的等比数列,故令1+2+22+…+2n-1=127,即=127,解得n=7,即有7种边长不同的正方形,又因为正方形的边长构成以8为首项,为公比的等比数列,故边长为8的正方形有1个,边长为4的正方形有2个,边长为4的正方形有4个,边长为2的正方形有8个,边长为2的正方形有16个,边长为的正方形有32个,边长为1的正方形有64个,这127个正方形的周长之和为1×4×8+2×4×4+4×4×4+8×4×2+16×4×2+32×4×+64×4×1=480+224.故选A.
10.D　由题意可知,每月还本金2 000元,设张华第n个月的还款金额为an元,则an=2 000+[480 000-(n-1)×2 000]×0.4%=3 928-8n.故选D.
11.π　根据题意知第一个内切圆的半径为×3=,面积为π,第二个内切圆的半径为,面积为π……这些内切圆的面积组成一个首项为π,公比为的等比数列,故前n个内切圆的面积之和为π.
12.4　由题意,可知良马第n日行程记为an,则数列{an}是首项为97,公差为15的等差数列,
驽马第n日行程记为bn,则数列{bn}是首项为92,公差为-1的等差数列,则an=97+15(n-1)=15n+82,bn=92-(n-1)=93-n.
∵数列{an}的前n项和为,
数列{bn}的前n项和为,
∴=840,
整理得14n2+364n-1 680=0,即n2+26n-120=0,解得n=4(n=-30舍去),即两匹马在第4日相逢.
13.解(1)依题设,
An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2,
Bn=5001++1++…+1+-600=500n--100.
(2)Bn-An=500n--100-(490n-10n2)=10n2+10n--100=10n(n+1)--10,
因为数列n(n+1)--10为递增数列,
当1≤n≤3时,n(n+1)--10≤12--10=-<0;
当n≥4时,n(n+1)--10≥20--10=>0,
所以当n≥4时,Bn>An,所以至少经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
14.解(1)因为某牧场今年年初牛的存栏数为1 200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且每年年底卖出100头牛,所以a1=1 200,且an+1=1.08an-100.
(2)将an+1-k=r(an-k)化成an+1=ran-rk+k,
因为an+1=1.08an-100,
所以比较上面两式的系数,可得
解得所以(1)中的关系可以化为an+1-1 250=1.08(an-1 250).
(3)由(2)可知,数列{an-1 250}是以-50为首项,1.08为公比的等比数列,
则(a1-1 250)+(a2-1 250)+…+(a9-1 250)=≈-624.4.
所以S9=a1+a2+a3+…+a9=1 250×9-624.4=10 625.6≈10 626.
15.解(1)由题意,b1=×+4×=,
a1=+5×=.
因为bn+1=,an+1=(5an+bn+1)=,
所以an+1-bn+1=(an-bn).
因为a1-b1=≠0,所以{an-bn}是等比数列.
(2)由(1)知an-bn=×n-1,
所以×n-1<1%,
所以n-1>≈5.7,所以n≥7,故至少操作7次.
(3)因为bn+1=bn+×n-1+4bn,
所以bn+1-bn=×n,
所以bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=×+…+n-1=-×n+,
所以an=bn+×n-1=×n+.
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