第1章　数列 5　数学归纳法--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
*§5　数学归纳法
A级必备知识基础练
1.[探究点一]用数学归纳法证明:对任意正偶数n,均有1-+…+=2(+…+),在验证n=2正确后,归纳假设应写成(　　)
A.假设n=k(k∈N+)时命题成立
B.假设n≥k(k∈N+)时命题成立
C.假设n=2k(k∈N+)时命题成立
D.假设n=2k+1(k∈N+)时命题成立
2.[探究点一]在用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N+)的过程中,从“k到k+1”左边需增乘的代数式为(　　)
A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2)
C. D.2(2k+1)
3.[探究点四]已知数列{an}满足an+1an-2n2(an+1-an)+1=0,且a1=1,其前n项和为Sn,则S15=(　　)
A.196 B.225
C.256 D.289
4.[探究点一]用数学归纳法证明:1++…+时,由n=k到n=k+1时,等式左边需要添加的项是(　　)
A. B.
C. D.
5.[探究点一]用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于　　　　.
6.[探究点一]用数学归纳法证明+…+,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　　　　　　　　　　　　　　　　　.
7.[探究点二·2024南京鼓楼校级月考]使用数学归纳法证明等式:1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N+).
8.[探究点四·2024上海松江期中]设Sn为数列{an}的前n项和,满足Sn=an-(n∈N+).
(1)求a1,a2,a3,a4的值,并由此猜想数列{an}的通项公式an;
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
9.[探究点三]已知f(n)=1++…+,g(n)=,n∈N+.
(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;
(2)用数学归纳法证明f(n)≤g(n).
B级关键能力提升练
10.(多选题)在数学上,斐波那契数列{an}可以用递推的方法来定义a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N+),则(　　)
A.a1+a3+a5+…+a2 021=a2 022
B.a1+a2+a3+…+a2 020=a2 022
C.+…+=a2 021a2 022
D.+…+
11.用数学归纳法证明不等式+…+(n∈N+,n≥2)时,可将其转化为证明(　　)
A.+…+(n∈N+,n≥2)
B.+…+(n∈N+,n≥2)
C.+…+(n∈N+,n≥2)
D.+…+(n∈N+,n≥2)
12.对于不等式①当n=1时,<1+2,不等式成立;
②假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即则当n=k+1时,=(k+1)+2.
故当n=k+1时,不等式成立.
则下列说法错误的是(　　)
A.过程全部正确
B.n=1的验证不正确
C.n=k的归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
13.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总有f(k+1)≥k+2成立.下列命题总成立的是(　　)
A.若f(6)<7成立,则f(5)<6成立
B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立
C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立
D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立
14.在用数学归纳法证明“f(n)=+…+<1(n∈N+,n≥3)”的过程中,假设当n=k(k∈N+,k≥3)时,不等式f(k)<1成立,当证明n=k+1,f(k+1)<1也成立时,若f(k+1)=f(k)+g(k),则g(k)=　.
15.[2024浦东新区期末]用数学归纳法证明“当n∈N+时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除”时,第二步“假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,f(k)=5k+2×3k-1+1能被8整除,证明当n=k+1时,f(k+1)也能被8整除”的过程中,得到f(k+1)=5k+1+2×3k+1=f(k)+A,则A的表达式为　　　　　　　.
16.试比较2n+2与n2的大小(n∈N+),并用数学归纳法证明你的结论.
17.已知数列{an}的前n项和为Sn,且-(an+2)Sn+1=0.
(1)求S1,S2,S3,并猜想Sn(n∈N+);
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
C级学科素养创新练
18.[2024江苏南京期末]观察下列不等式:5+3≥8,25+9≥32,125+27≥128,625+81≥512,…….
(1)根据这些不等式,归纳出一个关于正整数n的命题;
(2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题.
参考答案
*§5　数学归纳法
1.C　题目要求是对n为正偶数,等式成立.
2.D　当n=k时,左边A=(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…2k,当n=k+1时,左边B=(k+2)(k+3)…(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(2k+2),则=2(2k+1).故选D.
3.B　因为a1=1,故a2-2×(a2-1)+1=0,故a2=3,同理a3=5,猜想an=2n-1,下面用数学归纳法证明an=2n-1.当n=1时,a1=2×1-1=1,设当n=k时,ak=2k-1,则当n=k+1时,有(2k-1)ak+1-2k2(ak+1-2k+1)+1=0,故ak+1=2k+1=2(k+1)-1,故由数学归纳法可得an=2n-1.S15==225.
4.D　当n=k时,假设成立的等式为1++…+,当n=k+1时,要证明的等式为1++…+,
故左边需要添加的项为.故选D.
5.6　由题意,当n=1时,21<(1+1)2;当n=2时,22<(2+1)2;当n=3时,23<(3+1)2;当n=4时,24<(4+1)2;当n=5时,25<(5+1)2;当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于6.
6.+…+　观察不等式中各项的分母变化,知n=k+1时,应推证的目标不等式为+…+.
7.证明 (1)当n=1时,左边=1,右边=12=1,∴等式成立;
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,1+3+5+…+(2k-1)=k2成立,
那么当n=k+1时,1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2成立;
由(1),(2)可知1+3+5+…+(2n-1)=n2对于任意正整数n都成立.
8.(1)解 当n=1时,S1=a1-=a1,则a1=3.
当n=2时,S2=a2-,a1+a2=a2-,a2=32.
当n=3时,S3=a3-,a1+a2+a3=a3-,a3=33.
当n=4时,S4=a4-,a1+a2+a3+a4=a4-,a4=34.
猜想an=3n.
(2)证明 ①当n=1时,a1=3,猜想成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,猜想成立,即ak=3k.
那么,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=ak+1-ak,
即ak+1=3ak=3k+1.
所以当n=k+1时,猜想成立.
由①②可知,猜想an=3n对任意正整数n都成立.
9.(1)解 当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1);
当n=2时,f(2)=,g(2)=,所以f(2)当n=3时,f(3)=,g(3)=,所以f(3)(2)证明 ①当n=1时,由(1)知不等式成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时不等式成立,
即1++…+,
则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+.
因为<0,所以f(k+1)<=g(k+1).
由①②可知,对任意正整数n都有f(n)≤g(n)成立.
10.ACD　对于A,由an+2=an+1+an,可得an+1=an+2-an,则a3=a4-a2,a5=a6-a4,a7=a8-a6,…,a2 021=a2 022-a2 020,将上式累加得a3+a5+a7+…+a2 021=a2 022-a2,又因为a1=a2=1,则有a1+a3+…+a2 021=a2 022.故A正确;
对于B,由an+2=an+1+an,可得a3=a2+a1,a4=a3+a2,…,a2 022=a2 021+a2 020,
将上式累加得a2 022=a2+(a1+a2+a3+…+a2 020),又因为a2=1,则a1+a2+a3+…+a2 020=a2 022-1,故B错误;
对于C,+…+=anan+1成立,用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,=1=a1·a2,满足规律,
②假设当n=k时满足+…+=akak+1成立,
当n=k+1时,则+…+=akak+1+=ak+1(ak+ak+1)=ak+1ak+2成立,满足规律,
故+…+=anan+1,令n=2 021,则有+…+=a2 021a2 022成立,故C正确;
对于D,由an+2=an+1+an可得,
所以+…++…+,故D正确.
故选ACD.
11.B　由于,不能推得不等式+…+成立,故排除选项A,C.
可令f(n)=+…+,当n=2时,f(2)=,故排除D.
由于+…++…+,只要证+…+,
当n=k时,假设+…+成立,
当n=k+1时,+…+,即n=k+1时,不等式也成立.
综上可得+…+成立.
故原不等式成立.
12.ABC　当n=k+1时,没有应用当n=k时的假设,即从n=k到n=k+1的推理不正确.
故选ABC.
13.AD　若f(5)<6不成立,则f(5)≥6,由题意知f(6)≥7,与f(6)<7成立矛盾,所以f(5)<6成立,A正确.B,C显然错误.若f(4)≥5成立,由题意,得当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立,故D正确.所以选AD.
14.　∵f(k)=+…+,
f(k+1)=+…+,
∴f(k+1)-f(k)=.
∵f(k+1)=f(k)+g(k),
∴g(k)=.
15.A=4(5k+3k-1)　因为f(k)=5k+2×3k-1+1,f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+2×3k+1=5k+2×3k-1+1+4×5k+4×3k-1=f(k)+4(5k+3k-1),故A=4(5k+3k-1).
16.解当n=1时,21+2=4>n2=1,
当n=2时,22+2=6>n2=4,
当n=3时,23+2=10>n2=9,
当n=4时,24+2=18>n2=16,
由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N+)成立.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,21+2>12,所以原不等式成立.
当n=2时,22+2>22,所以原不等式成立.
当n=3时,23+2>32,所以原不等式成立.
(2)假设当n=k时(k≥3且k∈N+)时,不等式成立,
即2k+2>k2.
当n=k+1时,2k+1+2=2×2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.
又2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,
即2k2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立.
根据(1)和(2),原不等式对于任意n∈N+都成立.
17.(1)解∵-(an+2)Sn+1=0,
∴当n=1时,-(a1+2)S1+1=0,
解得a1=,∴S1=a1=,
当n=2时,-(a2+2)S2+1=0,
解得a2=,S2=,
当n=3时,-(a3+2)S3+1=0,
解得a3=,S3=,
∴归纳上述结果,可得猜想Sn=.
(2)证明下面用数学归纳法证明这个猜想.
①当n=1时,S1=成立.
②假设当n=k(k≥1)时等式成立,即Sk=,
那么,当n=k+1时,-(ak+1+2)Sk+1+1=0,
则-Sk+1-+2Sk+1+1=0,
∴Sk+1=,这就是说当n=k+1时等式也成立.
根据①和②,可知猜想Sn=对于任意正整数n都成立.
18.(1)解 不等式可写为:5+3≥23,52+32≥25,53+33≥27,54+34≥29,所以归纳得到命题:5n+3n≥(n∈N+).
(2)证明 ①当n=1时,5+3≥8成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,5k+3k≥22k+1,
则当n=k+1时,5k+1+3k+1=5×5k+3×3k=(4+1)×5k+(4-1)×3k=4×(5k+3k)+5k-3k≥4×22k+1+5k-3k≥22(k+1)+1,即n=k+1时,命题也成立,
由①②可知,5n+3n≥.
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