第1章　数列 培优课2　数列的求和问题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
培优课2　数列的求和问题
A级必备知识基础练
1.[探究点二]已知数列{an}的通项公式an=log3,设其前n项和为Sn,则使Sn<-4成立的最小正整数n等于(　　)
A.83 B.82 C.81 D.80
2.[探究点二]已知正项数列{an}满足a1=1,=4,数列{bn}满足,记{bn}的前n项和为Tn,则T20的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.[探究点二](多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=S5,S6=21,若+…+<λ恒成立,则λ的值不可能是(　　)
A.1 B.0
C.-1 D.2
4.[探究点二]设an=,数列{an}的前n项和Sn=9,则n=　　　　.
5.[探究点一]已知数列an=其前n项和为Sn,则S100=　　　　.
6.[探究点三]已知在等差数列{an}中,a4=0,a1+a2=-5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若cn=3nan,求数列{cn}的前n项和Sn.
7.[探究点二]已知数列是等比数列,a1=1且a2,a3+2,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
B级关键能力提升练
8.已知数列{an}的通项公式an=2n+1,n∈N+,由bn=所确定的数列{bn}的前n项的和是(　　)
A.n(n+2) B.n(n+4)
C.n(n+5) D.n(n+7)
9.(多选题)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,bn=log2an+1,则(　　)
A.数列{an}是等比数列
B.an=(-2)n-1
C.+…+
D.{an+bn}的前n项和为Tn=2n-1+
10.已知数列{3n+1}与数列{4n-1},其中n∈N+.它们的公共项由小到大组成新的数列{an},则{an}前25项的和为(　　)
A.3 197 B.3 480
C.3 586 D.3 775
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,am+n=aman,则S6=(　　)
A.12 B.27-1
C.27 D.27-2
12.(多选题)已知数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=(n∈N+),则下列说法正确的有(　　)
A.a1=
B.数列{an}为等比数列
C.若bn=a2n,则数列{bn}的前n项和为1-
D.若cn=an(n≥2),则c2+c3+c4+…+cn+1=
13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-1(n∈N+),则数列{nan}的前n项和Tn为　.
14.设等差数列{an}满足a2=5,a6+a8=30,则an=　　　　,数列的前n项和为　　　　.
15.已知{an}是等比数列,{bn}是等差数列,且a1=1,b1=3,a2+b2=7,a3+b3=11.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=,n∈N+,求数列{cn}的前n项和Tn.
16.已知函数f(x)=(x∈R),正项等比数列{an}满足a50=1,则f(ln a1)+f(ln a2)+…+f(ln a99)的值是多少
C级学科素养创新练
17.已知首项为-2的等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}满足 Sn=2n(log2bn-2)(n∈N+),b3=8.
(1)求an与bn;
(2)设cn=,记数列{cn}的前n项和为Tn,证明:当n∈N+时,Tn<-.
18.已知正项数列{an},其前n项和为Sn,an=1-2Sn(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(-1)n,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案
培优课2　数列的求和问题
1.C　由题意可得an=log3=log3n-log3(n+1),故Sn=log31-log32+log32-log33+…+log3n-log3(n+1)=-log3(n+1)<-4,即log3(n+1)>4,解得n>34-1=80,所以使Sn<-4成立的最小正整数n等于81.故选C.
2.B　由a1=1,=4,得=4,所以数列是以4为公差,1为首项的等差数列,所以=1+4(n-1)=4n-3,因为an>0,所以an=,所以,所以bn=),所以T20=b1+b2+…+b20=×(-1+3--3+…+9-)=×(9-1)=2.故选B.
3.BC　设等差数列{an}的公差为d,因为S4=S5,所以4a1+d=5a1+d,整理得12a1+18d=10a1+20d,即a1=d,由S6=21,可得6a1+d=21,即6a1+15d=21,所以a1=d=1,所以Sn=n+,所以,所以+…+=1-+…+=1-<1,因为+…+<λ恒成立,所以λ≥1.故选BC.
4.99　an=,
故Sn=-1++…+-1=9.解得n=99.
5.5 000　由题意得S100=a1+a2+…+a99+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=(0+2+4+…+98)+(2+4+6+…+100)=100×50=5 000.
6.解(1)设{an}的公差为d,由已知得
解得所以{an}的通项公式为an=n-4.
(2)因为cn=(n-4)3n,
所以Sn=-3×31+(-2)×32+(-1)×33+…+(n-5)×3n-1+(n-4)×3n,
所以3Sn=-3×32+(-2)×33+(-1)×34+…+(n-5)×3n+(n-4)×3n+1,
两式相减得-2Sn=-3×31+32+33+34+…+3n-(n-4)×3n+1,
所以-2Sn=-12+(3+32+33+34+…+3n)-(n-4)×3n+1=-12+-(n-4)×3n+1=,
所以Sn=.
7.解(1)设数列的公比为q,∵a1+1=2,
∴
∵2(a3+2)=a2+a4,∴2(2q2+1)=2q-1+2q3-1,
∴4q2+2=2q+2q3-2,
即4(q2+1)=2q(q2+1),解得q=2.
∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.
(2)bn=,
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn=++…++=1-.
8.C　∵a1+a2+…+an=(2n+4)=n2+2n,
∴bn=n+2,∴{bn}的前n项和Sn=.
9.ACD　由已知Sn=2an-1,当n=1时,可得a1=1,选项A,当n≥2时,Sn-Sn-1=an=2an-2an-1,an=2an-1,可得数列{an}是1为首项,2为公比的等比数列,故A正确;选项B,由选项A可得an=2n-1,故B错误;选项C,数列{}是以1为首项,4为公比的等比数列,所以+…+,故C正确;选项D,因为bn=log2an+1=n,an+bn=2n-1+n,Tn==2n-1+,故D正确.故选ACD.
10.D　数列{3n+1}(n∈N+)的各项为:4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…,数列{4n-1}(n∈N+)的各项为:3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,…,由题意可知,数列{an}的各项为:7,19,31,…,所以数列{an}为等差数列,且首项为7,公差为19-7=12,因此,数列{an}的前25项的和为7×25+=3 775.故选D.
11.D　因为am+n=aman,取m=1,则有an+1=a1an=2an,所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以S6==27-2.故选D.
12.AD　已知a1+3a2+32a3+…+3n-1an=(n∈N+),当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=,两式相减可得3n-1an=,所以an=,当n=1时,a1=.综上可得an=对于A,a1=正确,故A正确;对于B,因为a1=,a2=,a3=,所以,数列{an}不是等比数列,故B错误;对于C,若bn=a2n=,则数列{bn}的前n项和Sn=1-,故C错误;对于D,当n≥2时,cn=,则c2+c3+c4+…+cn+1=+…+,故D正确.故选AD.
13.(n-1)2n+1　∵Sn=2an-1(n∈N+),
∴当n=1时,a1=2a1-1,解得a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1),化为an=2an-1,
∴数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
∴an=2n-1.∴nan=n·2n-1.
则数列{nan}的前n项和Tn=1+2×2+3×22+…+n·2n-1.
∴2Tn=2+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,
∴-Tn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-1,∴Tn=(n-1)2n+1.
14.2n+1　　设数列{an}的公差为d.
∵a6+a8=30=2a7,
∴a7=15,∵a7-a2=5d,a2=5,
∴d=2,∴an=a2+(n-2)d=2n+1.
∴,
∴的前n项和为1-+…+=1-=.
15.解(1)设等比数列{an}的公比为q≠0,等差数列{bn}的公差为d,
因为a1=1,b1=3,a2+b2=7,a3+b3=11,an=a1qn-1,bn=b1+(n-1)d,所以
解得
因为q≠0,所以所以an=2n-1,bn=2n+1.
(2)因为cn=,n∈N+,所以cn=,
则Tn=+…+,
所以Tn=+…+.
两式相减得Tn=+…+,
则Tn=+2,
即Tn=+21--,
解得Tn=10-,
所以数列{cn}的前n项和Tn=10-.
16.解 因为f(x)=,所以f(x)+f(-x)==1.
因为数列{an}是等比数列,
所以a1a99=a2a98=…=a49a51==1,
即ln a1+ln a99=ln a2+ln a98=…=ln a49+ln a51=2ln a50=0.
所以f(ln a1)+f(ln a99)=f(ln a2)+f(ln a98)=…=f(ln a49)+f(ln a51)=2f(ln a50)=1.
设S99=f(ln a1)+f(ln a2)+f(ln a3)+…+f(ln a99), ①
又S99=f(ln a99)+f(ln a98)+f(ln a97)+…+f(ln a1),②
①+②,得2S99=99,所以S99=.
17.(1)解设等差数列{an}的公差为d,
由题意知S3=2×3×(log2b3-2)=2×3×(3-2)=6,
因为S3=a1+a2+a3=3a2=6,解得a2=2,
所以d=a2-a1=2-(-2)=4,
故an=(-2)+(n-1)×4=4n-6,Sn==2n2-4n,
因为Sn=2n(log2bn-2)(n∈N+),
所以2n2-4n=2n(log2bn-2),解得bn=2n.
(2)证明cn=,
当n=1时,T1=-<-,
当n=2时,T2=-<-,
当n≥3时,cn=,
所以Tn≤-+…+=-=-<-.
18.解 (1)由已知an=1-2Sn, ①
所以有an+1=1-2Sn+1, ②
②-①,得an+1-an=-2an+1,所以,
所以数列{an}是公比为的等比数列.
又a1=1-2S1=1-2a1,所以a1=,所以an=n.
(2)由(1)得bn=(-1)n+2n=(-1)n·3n+(-1)n·2n,当n为奇数时,Tn=(-3+32-33+34-…-3n)+2(-1+2-3+4-…-n)=+2+2=-n-1=-n.
当n为偶数时,Tn=(-3+32-33+34-…+3n)+2(-1+2-3+4-…+n)=+2+2=+n=.
综上所述,Tn=
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