第2章　导数及其应用 2.1　导数的概念~2.2　导数的几何意义--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
§2　导数的概念及其几何意义
2.1　导数的概念~2.2　导数的几何意义
A级必备知识基础练
1.[探究点一(角度2)]已知函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=-1,则=(　　)
A.-1 B.1 C. D.-2
2.[探究点二(角度1)]如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f'(4)=(　　)
A. B.3 C.4 D.5
3.[探究点二(角度1)]已知曲线y=f(x)=-x2-2上一点P1,-,则在点P处的切线的倾斜角为 (　　)
A.30° B.45° C.135° D.165°
4.[探究点二(角度1)]若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则(　　)
A.f'(x0)>0 B.f'(x0)=0
C.f'(x0)<0 D.f'(x0)不存在
5.[探究点二(角度1)]设曲线y=f(x)=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,则a等于(　　)
A.2 B.- C. D.-1
6.[探究点一(角度1)]若点(0,1)在曲线f(x)=x2+ax+b上,且f'(0)=1,则a+b=　　　　　.
7.[探究点一(角度2)]在曲线y=x2+2的图象上取一点(1,3)及附近一点(1+Δx,3+Δy),则=　　　　　.
8.[探究点二(角度1)]已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则=　　　　.
9.[探究点二(角度1)]曲线f(x)=x3在点(1,1)处的切线与x轴,直线x=2所围成的三角形的面积为　　　　.
10.[探究点二(角度1)]已知曲线y=-x2,求该曲线在点P(2,-2)处的切线方程.
11.[探究点二(角度1)]在曲线y=x2上哪一点处的切线分别满足下列条件:
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)与x轴成135°的倾斜角.
12.[探究点二(角度2)]已知曲线y=x3+,求曲线过点P(2,4)的切线方程.
B级关键能力提升练
13.已知=-2,则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为(　　)
A.-4 B.4 C.2 D.-2
14.若曲线y=f(x)=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1) B.(-1,1)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
15.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列(n∈N+)的前n项和为Sn,则S2 021的值为(　　)
A. B.
C. D.
16.(多选题)下列各点中,在曲线y=f(x)=x3-2x上,且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)
A.(0,0) B.(1,-1)
C.(-1,1) D.(1,1)
17.已知直线x+y=b是函数f(x)=ax+的图象在点(1,m)处的切线,则a+b=　　　　,m=　　　　　.
18.若抛物线y=f(x)=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线在点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为　　　　.
19.设P为曲线C:y=f(x)=x2+2x+3上一点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为0,,则点P的横坐标的取值范围为　　　　　　　　.
20.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,已知其关系式为T(t)=+15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min).
(1)在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温的平均变化率是多少 它表示什么实际意义
(2)求T'(5),并解释它的实际意义.
C级学科素养创新练
21.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),已知f'(0)>0,且对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为　　　　　.
参考答案
§2　导数的概念及其几何意义
2.1　导数的概念~2.2　导数的几何意义
1.D　根据题意,函数y=f(x)在x=x0处的导数为f'(x0)=-1,
而=2=2f'(x0)=-2.故选D.
2.A　根据导数的几何意义知f'(4)是曲线y=f(x)在x=4处的切线的斜率k,注意到k=,所以f'(4)=.
3.C　∵点P1,-在曲线y=f(x)=-x2-2上,
∴=-1-Δx,
令Δx趋于0,
则y=-x2-2在x=1处的导数为f'(1)=-1,即函数y=-x2-2在点P处的切线斜率为-1.
又倾斜角的取值范围是[0°,180°),
∴在点P处的切线的倾斜角为135°.
4.C　由导数的几何意义,可得f'(x0)=-2<0.
5.B　由y=ax2,得Δy=a(2+Δx)2-22a=4aΔx+a(Δx)2,则=4a+aΔx,令Δx趋于0,∴f'(2)=4a.
又y=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,∴4a=-,∴a=-.
6.2　∵f'(0)=(a+Δx)=a=1,又f(0)=1,即b=1,∴a+b=2.
7.2　∵=2+Δx,
∴(2+Δx)=2.
8.2　由题意知a+b=3,
又f'(1)==2a=2,
则a=1,b=2,故=2.
9.　∵f'(1)==3,
∴曲线f(x)=x3在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2,则切线与x轴,直线x=2所围成的三角形面积为×2-×4=.
10.解由f'(x)=-x-Δx=-x,所以f'(2)=-2,即该曲线在点P(2,-2)处的切线斜率为-2,所以所求的切线方程为y-(-2)=-2(x-2),即2x+y-2=0,所以曲线y=-x2在点P(2,-2)处的切线方程为2x+y-2=0.
11.解(1)y'=(2x+Δx)=2x.
设点P(x0,y0)是曲线上满足条件的切点.
因为切线与直线y=4x-5平行,
所以k=y'=2x0=4,得x0=2,
即点P(2,4)处的切线平行于直线y=4x-5.
(2)因为与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0×=-1,得x0=-,即点P-处的切线垂直于直线2x-6y+5=0.
(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=2x0=-1,得x0=-,即点P-处的切线与x轴成135°的倾斜角.
12.解 设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为k=,
∴切线方程为y-(x-x0),
即y=·x-.∵点P(2,4)在切线上,
∴4=2,即-3+4=0.
∴-4+4=0,
∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
解得x0=-1,或x0=2.
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
13.D　根据题意,因为=-2,
即f'(1)=-2,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=-2.故选D.
14.C　y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率为k=f'(x0)=1-=1-<1,即k<1.
15.A　因为f(x)=x2+bx,
所以f'(1)=(2+Δx+b)=2+b.
因为函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,所以f'(1)=2+b=3,解得b=1,
所以f(x)=x2+x=x(x+1),,所以S2 021=+…+=1-.
故选A.
16.BC　设切点坐标为(x0,y0),
则
=
=,
令Δx趋于0,则f'(x0)=3-2=tan=1,
所以x0=±1,
当x0=1时,y0=-1,
当x0=-1时,y0=1.故选BC.
17.5　3　由题意知m=a+2,1+m=b,
因为f'(1)=a-=a-2,所以曲线f(x)在点(1,m)处的切线斜率为a-2,由a-2=-1,得a=1,m=3,b=4,a+b=5.
18.4　
==-5+Δx.
令Δx趋于0,则函数y=x2-x+c在x=-2处的切线斜率为-5.
∴切线方程为y=-5x.
∴点P的纵坐标为y=-5×(-2)=10,
将P(-2,10)代入y=x2-x+c,得c=4.
19.-1,-　设点P的横坐标为x0,
则
=
==2x0+2+Δx,
令Δx趋于0,则函数y=x2+2x+3在x=x0处的切线斜率为2x0+2,
由题意,得0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤-,
∴点P的横坐标的取值范围为-1,-.
20.解(1)在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温的平均变化率为=-1.6(℃/min),它表示在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
(2)T'(5)=
=
==-1.2(℃/min),它表示太阳落山后5 min时,蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min.
21.2　由导数的定义,得f'(0)=[a·(Δx)+b]=b>0.
又∴ac≥,∴c>0.
∴=2.
当且仅当a=c=时等号成立.
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