第2章　导数及其应用 3　导数的计算--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
§3　导数的计算
A级必备知识基础练
1.[探究点二](多选题)下列结论正确的是(　　)
A.(sin x)'=cos x B.()'=
C.(log3x)'= D.(ln x)'=
2.[探究点二]已知函数f(x)=xα(α是实数),若f'(-1)=-4,则α的值等于(　　)
A.4 B.-4
C.5 D.-5
3.[探究点三]“以直代曲”是重要的数学思想.具体做法是:在函数图象某个切点附近用切线代替曲线来近似计算.比如要求sin 0.05的近似值,我们可以先构造函数y=sin x,由于0.05与0比较接近,所以求出在x=0处的切线方程为y=x,再把x=0.05代入切线方程,故有sin 0.05≈0.05,类比上述方式,则≈(　　)
A.1.001 B.1.005
C.1.015 D.1.025
4.[探究点三]曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A.e2 B.2e2
C.e2 D.
5.[探究点三](多选题)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时,点P的坐标为(　　)
A.(-1,1) B.(-1,-1)
C.(1,1) D.(1,-1)
6.[探究点三]以正弦曲线y=sin x上一点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的取值范围是 (　　)
A.
B.[0,π)
C.
D.
7.[探究点一]若指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)满足f'(1)=ln 27,则f'(-1)=　　　　　.
8.[探究点一]求函数f(x)=x2+5x在x=3处的导数和它的导函数.
9.[探究点二]求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=log2x2-log2x;
(4)y=-2sin.
10.[探究点二]已知f(x)=cos x,g(x)=x,求满足f'(x)+g'(x)≤0的x的值.
B级关键能力提升练
11.[2024山东日照期末]已知函数f(x)=x2-2,则=(　　)
A.-12 B.-9 C.9 D.12
12.已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b等于(　　)
A.4 B.-4 C.28 D.-28
13.已知直线l是曲线y=ex的切线,切点横坐标为-1,直线l与x轴和y轴分别相交于A,B两点,则△OAB的面积为(　　)
A. B.1 C. D.
14.设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·…·xn的值为(　　)
A. B. C. D.1
15.设函数f(x)在x=x0处可导,当h趋于0时,对于的值,以下说法正确的是　　　　　.(填序号)
①与x0,h都有关;
②仅与x0有关而与h无关;
③仅与h有关而与x0无关;
④与x0,h均无关.
16.写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)=　　　　　.
①f(x1x2)=f(x1)+f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
17.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N+,若a1=16,则a1+a3+a5的值是　　　　　.
18.已知P为曲线y=ln x上的一动点,Q为直线y=x+1上的一动点,则当点P的坐标为　　 　时,PQ最小,此时最小值为　 　　.
19.已知f(x)=x2,g(x)=x3,求适合f'(x0)+2=g'(x0)的x0的值.
C级学科素养创新练
20.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)
A.y=sin x B.y=ln x
C.y=ex D.y=x3
参考答案
§3　导数的计算
1.AD　∵()'=,(log3x)'=,
∴BC错误,AD正确.
2.A　∵f'(x)=αxα-1,f'(-1)=α(-1)α-1=-4,
∴α=4.
3.A　设f(x)=ex,可得f'(x)=ex,f(0)=1,f'(0)=1,
由于与0比较接近,所以求出曲线y=ex在x=0处的切线为y=g(x)=x+1,
在切点附近用切线代替曲线进行近似计算,=f≈g=1+=1.001.故选A.
4.D　因为y'=ex,所以切线的斜率k=e2,所以切线方程为y=e2x-e2,它与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-e2),(1,0),所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
5.BC　y'=3x2,因为k=3,
所以3x2=3,所以x=±1,
则点P的坐标为(-1,-1)或(1,1).
6.A　∵y=sin x,∴y'=cos x.
∵cos x∈[-1,1],
∴切线斜率的取值范围是[-1,1].
∴倾斜角的取值范围是.
7.　f'(x)=axln a,f'(1)=aln a=3ln 3,所以a=3,故f'(-1)=3-1ln 3=.
8.解 f'(x)=
=
=(2x+Δx+5)=2x+5,
∴f'(3)=2×3+5=11.
9.解 (1)y'='=(x-3)'=-3x-3-1=-3x-4=-.
(2)y'=()'=()'=.
(3)因为y=log2x2-log2x=log2x,
所以y'=(log2x)'=.
(4)因为y=-2sin1-2cos2=2sin2cos2-1=2sincos=sin x,所以y'=(sin x)'=cos x.
10.解 因为f(x)=cos x,g(x)=x,
所以f'(x)=(cos x)'=-sin x,g'(x)=x'=1.
由f'(x)+g'(x)≤0,得-sin x+1≤0,
即sin x≥1,但sin x∈[-1,1],
所以sin x=1,所以x=2kπ+,k∈Z.
11.D　∵f'(x)=2x,∴f'(3)=6,
∴=2=2f'(3)=12.故选D.
12.C　∵点(2,8)在切线上,∴2k+b=8, ①
又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k, ②
由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28.
13.C　当x=-1时,y=e-1=,而y'=ex,k=y'|x=-1=e-1=,所以切线l:y-(x+1),
即x-ey+2=0,
当y=0时,x=-2,即A(-2,0);
当x=0时,y=,即B0,,
所以S△OAB=×2×,故选C.
14.B　∵y'=(n+1)xn,∴曲线在点(1,1)处的切线的斜率是k=n+1.切线的方程是y-1=(n+1)(x-1),当y=0时,得xn=,则x1·x2·…·xn=×…×.
15.②
16.ln x(答案不唯一)　由题意,可写函数f(x)=ln x,
由f(x1x2)=ln(x1x2)=ln x1+ln x2=f(x1)+f(x2),即满足①;
又由f(x)=ln x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=>0,即满足②.
17.21　∵y'=2x,∴y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak).
又该切线与x轴的交点坐标为(ak+1,0),∴ak+1=ak,即数列{ak}是首项为a1=16,公比为q=的等比数列,
∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.
18.(1,0)　　如图,当直线l与曲线y=ln x相切且与直线y=x+1平行时,切点到直线y=x+1的距离即为PQ的最小值.易知(ln x)'=,令=1,得x=1,故此时点P的坐标为(1,0),所以PQ的最小值为.
19.解 f'(x0)=2x0,g'(x0)=3.
因为f'(x0)+2=g'(x0),所以2x0+2=3,
即3-2x0-2=0,解得x0=或x0=.
20.A　设函数y=f(x)的图象上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),则由导数的几何意义可知,点P,Q处切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2),若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.对于A选项,f'(x)=cos x,显然k1·k2=cos x1·cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有T性质;对于B选项,f'(x)=(x>0),显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有T性质;对于C选项,f'(x)=ex>0,显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有T性质;对于D选项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3·3=-1无解,故该函数不具有T性质.
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