第2章　导数及其应用 7.1　实际问题中导数的意义~7.2　实际问题中的最值问题--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
§7　导数的应用
7.1　实际问题中导数的意义~7.2　实际问题中的最值问题
A级必备知识基础练
1.[探究点三]已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+4x+,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A.3万件 B.1万件
C.2万件 D.7万件
2.[探究点一]某公司的盈利y(单位:元)和时间x(单位:天)的函数关系是y=f(x),假设f'(x)>0恒成立,且f'(10)=10,f'(20)=1,则这些数据说明第20天与第10天比较(　　)
A.公司已经亏损
B.公司的盈利在增加,但增加的幅度变小
C.公司在亏损且亏损幅度变小
D.公司的盈利在增加,且增加的幅度变大
3.[探究点二(角度2)]将周长为4的矩形ABCD绕直线AB旋转一周所得圆柱体积最大时,线段AB长为(　　)
A. B.
C. D.1
4.[探究点三]某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一件产品,成本增加100元,若总收入R与月产量x(单位:件)的关系是R(x)=则当总利润最大时,每月生产产品的件数是(　　)
A.150 B.200 C.250 D.300
5.[探究点三]电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定为　　　　　　　　　　.
6.[探究点三]某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件,生产过程中总成本w(x)(单位:万元)是关于x(单位:百件)的一次函数,且w(1)=57,w(10)=120.预计生产的产品能全部售完,且当年产量为x百件时,每百件产品的销售收入G(x)(单位:万元)满足G(x)=-+4.
(1)写出该企业今年生产这种产品的利润F(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:百件)的函数关系式;
(2)当年产量为多少百件时,该企业在这种产品的生产中获利最大 最大利润是多少
(参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10,ln 5≈1.61,ln 7≈1.95)
7.[探究点二(角度1)·2024四川绵阳检测]剪纸是一种镂空艺术,是中国古老的民间艺术.如图,一张圆形纸片,直径AB=20 cm,需要剪去菱形EFGH,可以经过两次对折、沿EF裁剪、展开后得到.若CF=EF,要使镂空的菱形EFGH面积最大,试求菱形的边长EF.
B级关键能力提升练
8.在用计算机进行的数学模拟实验中,一种应用微生物跑步参加化学反应,其物理速度f(t)与时间t的关系是f(t)=t+cos πt0A.f(t)有最小值
B.f(t)有最大值
C.f(t)有最小值
D.f(t)有最大值
9.(多选题)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1 000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时,则有(　　)
A.年产量为9 000件
B.年产量为10 000件
C.年利润最大值为38万元
D.年利润最大值为38.6万元
10.现有一批货物由海上从甲地运往乙地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,甲地与乙地之间的距离约为500海里.运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船行驶的速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.为了使全程运输成本最低,轮船行驶速度应为 (　　)
A.25海里/时
B.35海里/时
C.20海里/时
D.30海里/时
11.某企业生产甲、乙两种产品,根据以往经验和市场调查,甲产品的利润与投入资金成正比,乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比,已知甲、乙产品分别投入资金4万元时,所获得利润(单位:万元)情况如下:
投入资金 甲产品利润 乙产品利润
4 1 2.5
该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品,那么可获得的最大利润(单位:万元)是(　　)
A. B.
C. D.
12.(多选题)声音是由物体振动产生的声波,可以用正弦函数描述.纯音的数学模型是函数y=Asin ωt,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sin x+sin 2x,则(　　)
A.f(x)在0,上单调递增
B.f(x)的最大值为
C.f(x)在[0,2π]上有3个零点
D.f(x)在[0,2π]上有3个极值点
13.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8,x∈(0,120],且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以　　　　　　　千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少.
14.已知函数f(x)=-ln x,x∈(0,e).在曲线y=f(x)上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A,B两点,设O为坐标原点,则△AOB面积的最大值为　　　　　.
15.一艘渔船在进行渔业作业的过程中,产生的主要费用有燃油费用和人工费用,已知渔船每小时的燃油费用与渔船速度的立方成正比,已知当渔船的速度为10海里/小时时,燃油费用是600元/小时,人工费用是4 050元/小时,记渔船的航行速度为v(单位:海里/小时),满足0(1)用航行速度v(单位:海里/小时)表示出渔船航行1小时的主要费用q元;
(2)用航行速度v(单位:海里/小时)表示出航行1海里产生的主要费用p元;
(3)求航行1海里产生的主要费用p(单位:元)的最小值,及此时渔船的航行速度v(单位:海里/小时)的大小.
C级学科素养创新练
16.某工厂计划投入一定数额的资金生产甲、乙两种新产品.甲产品的平均成本利润f(x)(单位:万元)与投资成本x(单位:万元)满足:f(x)=-b(a,b为常数,a,b∈R);乙产品的平均成本利润g(x)(单位:万元)与投资成本x(单位:万元)满足:g(x)=.已知当投资甲产品为1万元,10万元时,获得的利润分别为5万元,16.515万元.
(1)求a,b的值;
(2)若该工厂计划投入50万元用于甲、乙两种新产品的生产,每种产品投资不少于10万元,问怎样分配这50万元,才能使该工厂获得最大利润 最大利润为多少万元
(参考数据:ln 10≈2.303,ln 5≈1.609)
参考答案
§7　导数的应用
7.1　实际问题中导数的意义~
7.2　实际问题中的最值问题
1.C　函数的定义域为(0,+∞),y'=-x2+4=-(x-2)(x+2),
由y'=0得x=2或x=-2(舍),
当x>2时,y'<0,
当00,
即当x=2时,函数取得极大值,同时也是最大值,
即该生产厂家获取最大年利润的年产量为2万件.
2.B　因为f'(x)>0恒成立,f'(10)>f'(20)>0,所以公司的盈利在增加,且增加的幅度变小.
3.B　∵矩形ABCD的周长为4,设BC=x(0∴将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱的体积为V(x)=πx2(2-x)=π(2x2-x3)(0则V'(x)=π(4x-3x2),令V'(x)=0,解得x=,
当00,则V(x)单调递增,
当所以当x=,即BC=,AB=时,V(x)取得最大值V=.
故选B.
4.D　由题意得,总利润
P(x)=
P'(x)=令P'(x)=0,得x=300,易知x=300是P(x)的最大值点,即当每月生产300件产品时,总利润最大.故选D.
5.40　由题设知y'=x2-39x-40(x>0),
令y'>0,解得x>40或x<-1,
故函数y=x3-x2-40x(x>0)在[40,+∞)内单调递增,在(0,40]上单调递减.∴当x=40时,y取得最小值.
所以为使耗电量最小,则其速度应定为40.
6.解(1)设w(x)=kx+b,
由可得解得
所以w(x)=7x+50,
依题意得,F(x)=xG(x)-50-7x
=x-50-7x
=-+20ln x-3x+34(x>0).
(2)由(1)得,F(x)=-+20ln x-3x+34,则F'(x)=-3==-,
令F'(x)>0,解得07,
所以F(x)在(0,7)内单调递增,在(7,+∞)内单调递减,
所以当x=7时,有F(x)max=F(7)=20ln 7+12≈20×1.95+12=51.
答:当产量为7百件时,该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元.
7.解 设圆心为O,由圆的性质可知,点A,E,O,G,B共线,点C,F,O,H,D共线.
由菱形性质可知,EG⊥FH,设OF=m,OE=n,又半径为10,则EF==CF=10-m,
即2m=10-n2,0故S菱形EFGH=4S△OEF=2OE·OF=2mn=-n3+10n,
令f(x)=-x3+10x,0则f'(x)=-x2+10,0由f'(x)>0,得0由f'(x)<0,得故f(x)在内单调递增,在内单调递减,
所以当x=时,f(x)在(0,10)上取最大值,从而要使镂空的菱形EFGH面积最大,则n=.
由2m=10-n2可得,m=,
则此时EF=10-m=.
8.B　∵f(t)=t+cos πt0∴f'(t)=1-2sin πt,
由1-2sin πt=0,得sin πt=,
∵0∴当t∈0,时,f'(t)>0,f(t)单调递增;
当t∈时,f'(t)<0,f(t)单调递减.
∴f(t)有最大值f.
9.AD　设年利润为W万元.
当0令W'=0,得x=9,或x=-9(舍去).
当x∈(0,9)时,W'>0,
当x∈(9,10]时,W'<0,
所以当x=9时,年利润W取得最大值38.6;
当x>10时,W=x-(10+2.7x)=98--2.7x,W'=-2.7.
令W'=0,得x=,或x=-(舍去).
且当x∈时,W'>0;
当x∈时,W'<0,
所以当x=时,年利润W取得最大值38.
因为38.6>38,所以当年产量为9 000件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,且年利润最大值为38.6万元.故A,D正确,B,C错误.
10.B　设轮船的行驶速度为x海里/时,运输成本为y元.
依题意得y=×(960+0.6x2)=+300x,x∈(0,35],
则y'=300-,x∈(0,35].
当0所以函数y=+300x在(0,35]上单调递减,
故当x=35时,函数y=+300x取得最小值.
故为了使全程运输成本最小,
轮船应以35海里/时的速度行驶.
11.B　∵甲产品的利润与投入资金成正比,
∴设y=k1t,当投入4万元时,利润为1万元,
即4k1=1,得k1=,即y=t.
∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比,
∴设y=k2,当投入4万元时,利润为2.5万元,
即k2=,得k2=,即y=.
设乙产品投入资金为x,
则甲产品投入资金为10-x,0≤x≤10,
则生产甲、乙两种产品所得利润之和为
y=(10-x)+,则y'=-,
由y'>0,得5-2>0,即0≤x<,
由y'<0,得5-2<0,即即当x=时,函数取得极大值同时也是最大值,此时
y=×10-+.
12.BC　当x∈[0,2π]时,f'(x)=cos x+cos 2x=2cos2x+cos x-1,
由f'(x)>0,得∴0≤x<由f'(x)<0,得-1∴∴函数f(x)在0,,,2π上单调递增,在内单调递减,
∴f(x)在[0,2π]上有2个极值点,故AD错误.
∵x=为函数f(x)的极大值点,x=为函数f(x)的极小值点,
且f(0)=0,f=,f=-,f(2π)=0,
∴f(x)max=f=,故B正确.
由f(x)=sin x+sin 2x=0,得sin x+sin xcos x=0,
∴sin x=0或cos x=-1,当x∈[0,2π]时,x=0,x=π,x=2π,则f(x)在[0,2π]上有3个零点,故C正确.
13.80　当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为f(x)升,
依题意得f(x)=x3-x+8·x2+(0则f'(x)=(0令f'(x)=0,得x=80,
当x∈(0,80)时,f'(x)<0,该函数单调递减;
当x∈(80,120]时,f'(x)>0,该函数单调递增,
所以当x=80时,f(x)取得最小值.
14.　设切点为(t,f(t)).
由已知f'(x)=-,所以曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线方程为y+ln t=-(x-t).
令y=0,得点A的横坐标为xA=t(1-ln t),
令x=0,得点B的纵坐标为yB=1-ln t,
当t∈(0,e)时,xA>0,yB>0,
此时△AOB的面积S=t(1-ln t)2,S'=(ln t-1)(ln t+1),
解S'>0,得0解S'<0,得所以0,是函数S=t(1-ln t)2的单调递增区间;,e是该函数的单调递减区间.
所以当t=时,△AOB的面积最大,最大值为1-ln2=.
15.解(1)设渔船每小时的燃油费用为y元,由题意可设y=kv3,
又当渔船的速度为10海里/小时时,燃油费用是600元/小时,得600=1 000k,k=0.6,航行1小时的主要费用为q=0.6v3+4 050(0(2)p=(0(3)p=(0由p'>0,解得15可得函数p=在(0,15)内单调递减,在(15,30]上单调递增,故当v=15时,pmin=405,
即当航行速度为15海里/小时时,航行1海里产生的主要费用p有最小值405元.
16.解(1)由题意知
整理得解得
(2)设甲产品投资x万元,乙产品投资(50-x)万元,且x∈[10,40],
则该公司获得的利润φ(x)=x+(50-x)·=5ln x+5+2,x∈[10,40],
则φ'(x)=.
令φ'(x)=0,解得x=25或x=-50(舍去),
当10≤x<25时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增;
当25∴φ(x)max=φ(25)=10ln 5+15≈10×1.609+15=31.09,
∴当甲、乙两种产品各投资25万元时,公司取得最大利润,最大利润为31.09万元.
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