第2章　导数及其应用培优课　导数的综合应用--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
培优课　导数的综合应用
A级必备知识基础练
1.[探究点三](多选题)已知f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且(x+1)·f'(x)>f(x),则下列不等式一定成立的是(　　)
A.3f(4)<4f(3) B.4f(4)>5f(3)
C.3f(3)<4f(2) D.3f(3)>4f(2)
2.[探究点三]已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是(　　)
A.-∞,- B.-,+∞
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
3.[探究点四·2024江苏苏州模拟]已知函数f(x)=xex+m-x2-mx在区间[-1-m,1-m]上有且仅有两个极值点,则实数m的取值范围为(　　)
A. B.(1,e)
C. D.(1,e]
4.[探究点二]已知函数f(x)=aln(x+1)+x2,在区间(2,3)内任取两个实数x1,x2,且x1≠x2,若不等式>1恒成立,则实数a的取值范围为　　　　　.
5.[探究点一]某厂生产某种商品x件的总成本c(x)=1 200+x3(单位:万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为　　　　件时,总利润最大.
6.[探究点二]已知函数f(x)=aex-x2-x.
(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,证明: x∈(-2,+∞),f(x)>sin x.
7.[探究点三]已知函数f(x)=ex+exln x(其中e是自然对数的底数).
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求证:f(x)≥ex2.
B级关键能力提升练
8.关于函数f(x)=,x∈(0,+∞)的性质,以下说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的周期是2π
B.函数f(x)在(0,π)内有极值
C.函数f(x)在(0,+∞)内单调递减
D.函数f(x)在(0,+∞)内有最小值
9.已知定义在R上的函数f(x)满足:xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=2,则f(ex)>的解集为(　　)
A.(0,+∞)
B.(ln 2,+∞)
C.(1,+∞)
D.(0,1)
10.(多选题)已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,以下几个结论中正确的是(　　)
A.0B.x0>
C.f(x0)+2x0<0
D.f(x0)+2x0>0
11.(多选题)已知函数f(x)=sin x+x3-ax,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是奇函数
B.若f(x)是增函数,则a≤1
C.当a=-3时,函数f(x)恰有两个零点
D.当a=3时,函数f(x)恰有两个极值点
12.函数y=x3+ax+b在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,则a=　　　　　.
13.已知函数f(x)=x2-2ln x,若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则实数m的取值范围是　　　　　.
14.已知函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是　　　　　.
15.已知f(x)=x++aln x(a∈R).
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当x∈[e,+∞)且-≤a<0时,证明:曲线y=f(x)在x轴的上方.
16.设函数f(x)=ax2-(a-2)x-ln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)恰有两个零点,求a的取值范围.
C级学科素养创新练
17.已知函数f(x)=x2-2aln x+(a-2)x.
(1)当a=1时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值和最大值.
(2)是否存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有>a恒成立 若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
参考答案
培优课　导数的综合应用
1.BD　由(x+1)f'(x)>f(x),
得(x+1)f'(x)-f(x)>0,令g(x)=,
则g'(x)=>0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴g(2)即4f(2)<3f(3),5f(3)<4f(4),故选BD.
2.C　∵f(x)=x-sin x,∴f(-x)=-x+sin x=-f(x),即函数f(x)为奇函数,函数的导数f'(x)=1-cos x≥0,则函数f(x)是增函数,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为(-∞,3).
3.A　f'(x)=(x+1)ex+m-x-m,
令t=x+m,则t∈[-1,1],g(t)=(t-m+1)et-t.
因为函数f(x)=xex+m-x2-mx在区间[-1-m,1-m]上有且仅有两个极值点,
所以g(t)=(t-m+1)et-t在(-1,1)内有两个变号零点,令g(t)=0,得m=t+1-.
令h(t)=t+1-,t∈(-1,1),h'(t)=1-,
令φ(t)=et+t-1,则φ(t)在(-1,1)上单调递增,且φ(0)=0,
所以当-1当00,即h'(t)>0,
所以h(t)在(-1,0)内单调递减,在(0,1)内单调递增,
所以h(t)≥h(0)=1,h(1)=2-,h(-1)=e,
所以m的取值范围为1故选A.
4.[-9,+∞)　不妨设x1>x2,则由>1,
可得f(x1)-f(x2)>x1-x2,即f(x1)-x1>f(x2)-x2,
设g(x)=f(x)-x=aln(x+1)+x2-x,
则g(x)在区间(2,3)内单调递增,
g'(x)=+2x-1,
则g'(x)=+2x-1≥0在区间(2,3)内恒成立,
即a≥(-2x+1)(x+1),也即a≥-2x2-x+1,
因为二次函数y=-2x2-x+1在(2,3)内单调递减,
所以y<-2×22-2+1=-9,所以a≥-9.
5.25　设产品的单价为p万元,根据已知,可设p2=,其中k为比例系数.
因为当x=100时,p=50,所以k=250 000.
所以p2=,p=,x>0.
设总利润为y万元,
y=·x-1 200-x3=500x3-1 200,
则y'=x2.
令y'=0,得x=25.
故当00,当x>25时,y'<0,所以,当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值.
6.(1)解由函数f(x)=aex-x2-x,可得f'(x)=aex-x-1,
因为f(x)在R上单调递增,可得f'(x)≥0在R上恒成立,
即aex-x-1≥0在R上恒成立,即a≥在R上恒成立,
令h(x)=,可得h'(x)=,
当x>0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
当x<0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
所以当x=0时,函数h(x)取得极大值,即为最大值,h(0)=1,
所以a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞).
(2)证明当a=1时,f(x)=ex-x2-x,
当x>0时,f'(x)=ex-x-1,
要证f(x)>sin x,只需证f(x)>1,
令g(x)=f'(x)=ex-x-1,可得g'(x)=ex-1>0,所以g(x)单调递增,
又由g(0)=0,所以g(x)>g(0)=0,所以f(x)单调递增,
所以f(x)>f(0)=1,
当-2因为ex>0且-x2-x=-(x+1)2+>0,所以f(x)>0,所以f(x)>sin x.
综上可得,对于 x∈(-2,+∞),都有f(x)>sin x.
7.(1)解因为函数f(x)=ex+exln x,
所以f'(x)=ex+e(1+ln x),f(1)=e,
所以f'(1)=2e,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.
(2)证明要使f(x)≥ex2,即证ex+exln x≥ex2,
即证+ln x-x≥0,
构造函数G(x)=+ln x-x,
则G'(x)=-1=.
令H(x)=ex-1-x,则H'(x)=ex-1-1,
当x>1时,H'(x)>0,H(x)单调递增;
当0所以H(x)≥H(1)=0.
于是当0当x>1时,G'(x)>0,G(x)单调递增.
于是G(x)≥G(1)=0,命题得证.
8.D　对于选项A,因为f(x+2π)=,当sin x≠0时,f(x+2π)≠f(x),所以函数f(x)的周期不是2π,A错误;
对于选项B,因为f'(x)=,
设g(x)=xcos x-sin x,g'(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,当x∈(0,π)时,g'(x)<0,
所以g(x)对于选项C,f(π)=f(2π)=0,所以函数f(x)在(0,+∞)内不单调,C错误;
对于选项D,因为x>0,则当0≤sin x≤1时,f(x)≥0,当-1≤sin x<0时,0>f(x)=≥-,当且仅当x=+2kπ(k∈N)时,等号成立,而y=-在(0,+∞)内单调递增,所以当x=时,函数f(x)取得最小值,D正确.
故选D.
9.A　令F(x)=xf(x),可得F'(x)=xf'(x)+f(x)>0,
所以F(x)在R上是增函数,
且F(ex)=exf(ex),f(1)=2,F(1)=f(1),f(ex)>,
可得F(ex)>F(1),即ex>1,所以x>0,
所以不等式的解集为(0,+∞).
故选A.
10.AD　函数f(x)=xln x+x2(x>0),
∴f'(x)=ln x+1+2x,
易知f'(x)=ln x+1+2x在(0,+∞)内单调递增,
∵x0是函数f(x)的极值点,∴f'(x0)=0,
即ln x0+1+2x0=0,
而f'=>0,当x→0,f'(x)→-∞,
∴0f(x0)+2x0=x0ln x0++2x0=x0(ln x0+x0+2)=-x0(x0-1)>0,即选项D正确,选项C不正确.选AD.
11.ABD　对于选项A,f(x)=sin x+x3-ax的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)+(-x)3+ax=-(sin x+x3-ax)=-f(x).故A正确.
对于选项B,f'(x)=cos x+3x2-a,因为f(x)是增函数,
故cos x+3x2-a≥0恒成立,
即a≤cos x+3x2恒成立.
令g(x)=cos x+3x2,则g'(x)=6x-sin x,
设h(x)=6x-sin x,h'(x)=6-cos x>0,
故g'(x)=6x-sin x单调递增,
又g'(0)=0,故当x<0时g'(x)<0,当x>0时g'(x)>0.
故g(x)=cos x+3x2最小值为g(0)=1.
故a≤1.故B正确.
对于选项C,当a=-3时,由f'(x)=cos x+3x2-a>0在R上恒成立知,f(x)是增函数,故不可能有两个零点,故C错误.
对于选项D,当a=3时f(x)=sin x+x3-3x,f'(x)=cos x+3x2-3,令cos x+3x2-3=0,则有cos x=3-3x2.
在同一平面直角坐标系中作出y=cos x,y=3-3x2的图象易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.
故函数f(x)恰有两个极值点.故D正确.
故选ABD.
12.-3　因为y=x3+ax+b在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,
所以x=1为函数y=x3+ax+b的极值点,且y'=3x2+a,
所以,y'|x=1=3+a=0,解得a=-3,且当a=-3时,y'=3x2-3,
由y'<0可得-1由y'>0可得x<-1或x>1,
所以函数y=x3-3x+b的单调递减区间为(-1,1),单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),符合题意.
因此a=-3.
13.(-∞,e2-2]　由f(x)-m≥0得f(x)≥m,
函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-,
当x∈[1,e]时,f'(x)≥0,
此时,函数f(x)单调递增,所以f(1)≤f(x)≤f(e),
即1≤f(x)≤e2-2,
要使f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则有m≤e2-2.
14.21　由于y'=2x,则函数y=x2(x>0)在点(a1,)(a1=16)处(即点(16,256)处)的切线方程为y-256=32(x-16).
令y=0,得a2=8.
同理函数y=x2(x>0)在点(a2,)(a2=8)处(即点(8,64)处)的切线方程为y-64=16(x-8).
令y=0,得a3=4,依次同理求得a4=2,a5=1.
所以a1+a3+a5=21.
15.(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=1时,f(x)=x++ln x,f'(x)=1-,所以f(1)=3,f'(1)=0.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3.
(2)证明 当a<0时,f'(x)=1-.
令f'(x)=0,得x=-2a.
当x变化时,f'(x),f(x)变化情况如下:
x (0,-2a) -2a (-2a,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
当-≤a<0,即-2a≤e时,f(x)在区间[e,+∞)内单调递增,
则f(x)≥f(e)=a2+a+e=e>0,即曲线y=f(x)在x轴的上方.
16.解 (1)因为f(x)=ax2-(a-2)x-ln x,其定义域为(0,+∞),所以f'(x)=2ax-(a-2)-(x>0).
①当a≥0时,令f'(x)<0,得0令f'(x)>0,得x>,此时f(x)在0,内单调递减,在,+∞内单调递增.
②当-2-;
令f'(x)>0,得③当a=-2时,f'(x)≤0,此时f(x)在(0,+∞)内单调递减.
④当a<-2时,令f'(x)<0,得0;
令f'(x)>0,得-(2)由(1)可知:
①当a≥0时,f(x)极小值=f=+ln 2.
易证ln x≤x-1,所以f(x)=ax2-(a-2)x-ln x≥ax2-(a-1)x+1.
因为0<,f≥a·-(a-1)·+1=>0,f(1)=2>0,所以f(x)恰有两个不同的零点,只需f=+ln 2<0,解得a>4+4ln 2.
②当-2f=+ln 2>0,不符合题意.
③当a=-2时,f(x)在(0,+∞)内单调递减,不符合题意.
④当a<-2时,由于f(x)在0,-,,+∞内单调递减,在-内单调递增,f=+ln 2>0,f-=1--ln-,0<-,所以ln-<0,所以f-=1--ln->0,函数f(x)最多只有1个零点,与题意不符.
综上可知,a>4+4ln 2,即a的取值范围为(4+4ln 2,+∞).
17.解 (1)当a=1时,f(x)=x2-2ln x-x,
则f'(x)=x--1=,x∈[1,e].
∴当x∈[1,2)时,f'(x)<0;
当x∈(2,e]时,f'(x)>0.
∴f(x)在[1,2)上单调递减,在(2,e]上单调递增.
∴当x=2时,f(x)取得最小值,其最小值为f(2)=-2ln 2.
又f(1)=-,f(e)=-e-2,f(e)-f(1)=-e-2+<0,
∴f(e)(2)假设存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有>a恒成立,
不妨设0a,
∴f(x2)-ax2>f(x1)-ax1.
令g(x)=f(x)-ax,
则由此可知g(x)在(0,+∞)内单调递增,
又g(x)=x2-2aln x+(a-2)x-ax=x2-2aln x-2x,则g'(x)=x--2=,
由此可得g'(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,
只需4+4×2a≤0,解得a≤-,
即a的取值范围是.
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