第2章综合测评--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习

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2025北师大版数学选择性必修第二册
第二章综合测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=2x+1,则等于(　　)
A.-4 B.-2 C.2 D.4
2.若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.若函数f(x)=(x>1)有最大值-4,则实数a的值是(　　)
A.1 B.-1 C.4 D.-4
4.已知函数f(x)=x+在(-∞,-1)内单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,0)∪(0,1]
C.(0,1] D.(-∞,0)∪[1,+∞)
5.函数f(x)=的部分图象大致为(　　)
6.方程-ln x-2=0的根的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
7.已知函数g(x)的图象关于y轴对称,当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,g(2)=0,且g(x)=f(x+1),则(x+1)f(x)>0的解集为(　　)
A.(3,+∞) B.(-∞,1)∪(1,+∞)
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
8.设a=,b=ln,c=2lnsin+cos,则(　　)
A.b二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024全国新高考卷Ⅱ,11]设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(　　)
A.当a>1时,f(x)有三个零点
B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
C.存在a,b使得直线x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
10.[2024四川成都期末]已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,则下列函数中有“巧值点”的是(　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=e-x C.f(x)=ln x D.f(x)=
11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则下列说法正确的是(　　)
A.a+b=0 B.a+b=-7
C.f(x)一定有两个极值点 D.f(x)一定存在单调递减区间
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=ln x-的极小值大于0,则实数m的取值范围为　　　　　.
13.已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f'(x),且满足f(-1)=0,当x>0时,2f(x)>xf'(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是　　　　　　　　.
14.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表所示,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.下列关于f(x)的命题:
x -1 0 4 5
f(x) 1 2 2 1
　　
①函数f(x)的极大值点为0,4;
②函数f(x)在区间[0,2]上是减函数;
③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当1其中所有正确命题的序号是　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=2x3-ax2+4,x=1是函数f(x)的一个极值点.
(1)求函数f(x)的递增区间;
(2)当x∈[-1,2]时,求函数f(x)的最小值.
16.(15分)设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.
(1)求f(x)的极值;
(2)若关于x的方程f(x)=a有3个不同的实根,求实数a的取值范围.
17.(15分)已知函数f(x)=aex-x+1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设x0为函数f(x)的极小值点,证明:f(x0)≥3-.
18.(17分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品需向总公司缴纳a(a为常数,2≤a≤5)元的管理费,根据多年的管理经验,预计当每件产品的售价为x元时,该产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件.已知当每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件,经物价部门核定,每件产品的售价x最低不低于35元,最高不超过41元.
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关系式.
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L(x)最大 并求出L(x)的最大值.
19.(17分)已知函数f(x)=2ax-+ln x.
(1)若f(x)在x=1,x=处取得极值.
①求a,b的值;
②若存在x0∈,使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的最小值.
(2)当b=a时,若f(x)在(0,+∞)内是单调函数,求a的取值范围.
参考答案
第二章综合测评
1.D　∵f'(x0)=2,f'(x0)==2,∴=2=4.
故选D.
2.D　f'(x)=3x2+2ax+3.由f(x)在x=-3时取得极值,得f'(-3)=0,即27-6a+3=0,∴a=5.经检验,a=5符合题意.
3.B　由函数f(x)=(x>1),
则f'(x)=.
要使得函数f(x)有最大值-4,则a<0,
则当x∈(1,2)时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,2)内单调递增,
当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)在(2,+∞)内单调递减,
所以当x=2时,函数f(x)取得最大值,即f(x)max=f(2)==-4,解得a=-1,满足题意,故选B.
4.D　由题意知f'(x)=1-,由于f(x)在(-∞,-1)内单调递增,则f'(x)≥0在(-∞,-1)内恒成立,即≤x2在(-∞,-1)内恒成立.当x<-1时,x2>1,则有≤1,解得a≥1或a<0.故选D.
5.C　f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-,则f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故排除B;
f(1)=<1,故排除A;
∵f(x)=,当x>0时,可得f'(x)=,当x>1时,f'(x)>0,f(x)为增函数,故排除D.故选C.
6.C　令f(x)=-ln x-2(x>0),则f'(x)=,当x∈(0,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,且f(4)=2-ln 4-2<0,f(e6)=e3-ln e6-2=e3-8>0,f(e-2)=e-1-ln e-2-2=>0,结合函数零点存在定理可知函数在区间(0,4)上存在一个零点,在区间(4,+∞)上也存在一个零点,故方程-ln x-2=0的根的个数为2.故选C.
7.A　因为函数g(x)的图象关于y轴对称,
所以g(x)为偶函数,则g(-2)=g(2)=0.
因为当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,故g(x)单调递减,
所以当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)单调递增,
故当x<-2或x>2时,g(x)>0,
当-2因为g(x)=f(x+1),所以f(x)=g(x-1),
故不等式(x+1)f(x)>0等价于(x+1)g(x-1)>0,
所以
解得x>3,所以(x+1)f(x)>0的解集为(3,+∞).
故选A.
8.B　令f(x)=xln x-(x-1),
所以f'(x)=ln x+1-1=ln x,
令f'(x)=0,得x=1,
所以当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以f>f(1)=0,即ln--1>0,
所以ln,即b>a,令g(x)=ln(sin x+cos x)-x,g'(x)=-1=,
当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
又g所以ln,即2ln,所以c9.AD　由题得,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).当a>1时,x∈(-∞,0),函数f(x)单调递增,x∈(0,a),函数f(x)单调递减,x∈(a,+∞),函数f(x)单调递增.又极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以f(x)有三个零点,A正确;
当a<0时,x=0是f(x)的极小值点,B错误;
任何三次函数不存在对称轴,C错误;
f(1+x)+f(1-x)=12x2-6ax2+6-6a,当a=2时,f(1+x)+f(1-x)=-6=2f(1),D正确.
故选AD.
10.ACD　A.f'(x)=2x,由x2=2x得x=0或x=2,有“巧值点”;
B.f'(x)=-e-x,-e-x=e-x无解,无“巧值点”;
C.f'(x)=,方程ln x=有解,有“巧值点”;
D.f'(x)=-,由=-,得x=-1,有“巧值点”.
11.BCD　由f(x)=x3+ax2+bx+a2,得f'(x)=3x2+2ax+b.∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,∴f'(1)=0,f(1)=10,
∴解得
当a=-3,b=3时,f'(x)=3(x-1)2≥0,
∴在x=1处不存在极值,舍去;
当a=4,b=-11时,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),∴x∈-∞,-时,f'(x)>0,x∈-,1时,f'(x)<0,x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在x=1处取得极值10,则a=4,b=-11,则a+b=-7,故A错误,B正确;
此时f(x)一定有两个极值点且存在单调递减区间,故C,D正确.
故选BCD.
12.-∞,-　由f(x)=ln x-,得f'(x)=(x>0).令f'(x)=0,则x=-m,
当x>-m时,f'(x)>0,当0f(x)在(0,-m)内单调递减,在(-m,+∞)内单调递增,
所以当x=-m时,f(x)取得极小值,所以-m>0,m<0.
f(x)极小值=f(-m)=ln(-m)+1>0,解得m<-.
综上,m的取值范围为-∞,-.
13.(-1,0)∪(0,1)　根据题意,令g(x)=,
又由f(x)为偶函数,则g(-x)=,故g(x)为偶函数,且g'(x)=,
又由当x>0时,xf'(x)<2f(x),则当x>0时,g'(x)<0,
所以函数g(x)在(0,+∞)内单调递减,
又f(-1)=f(1)=0,所以g(1)==0,又g(x)为偶函数,则有|x|<1,解得x∈(-1,0)∪(0,1),
所以g(x)在(-1,0)∪(0,1)内的函数值大于零,
则f(x)在(-1,0)∪(0,1)内的函数值大于零.
14.①②　由f(x)的导函数y=f'(x)的图象(题图)知,函数f(x)的极大值点为0,4,故①正确;
因为在区间[0,2]上f'(x)≤0,故函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,故②正确;
由题目中的表和题图知0≤t≤5,所以③不正确;
因为f(x)的极小值f(2)未知,所以当115.解 (1)由题意,得f'(x)=6x2-2ax,f'(1)=0,则a=3.
f(x)=2x3-3x2+4,f'(x)=6x(x-1),
当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0;
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
所以函数f(x)的递增区间为(-∞,0)和(1,+∞).
(2)当x∈[-1,2]时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) -1 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 8
当x=-1时,f(-1)=2(-1)3-3(-1)2+4=-1;
当x=1时,f(1)=2-3+4=3,
所以当x∈[-1,2]时,函数f(x)的最小值为-1.
16.解 (1)f'(x)=3(x2-2),
令f'(x)=0,得x1=-,x2=,
当x<-或x>时,f'(x)>0,
当-∴当x=-时,f(x)取得极大值为f(-)=5+4,
当x=时,f(x)取得极小值为f()=5-4.
(2)令g(x)=f(x)-a,则g'(x)=f'(x),
由(1)可得g(x)的极大值为5+4-a,极小值为5-4-a,∵g(x)=0有3个不同的实根,故
解得5-4∴实数a的取值范围是(5-4,5+4).
17.(1)解 函数f(x)的定义域为R,
因为f(x)=aex-x+1,所以f'(x)=aex-1.
当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在R上单调递减;
当a>0时,令f'(x)=0,得x=-ln a.
当x<-ln a时,f'(x)<0,当x>-ln a时,f'(x)>0.
综上,当a≤0时,单调递减区间为(-∞,+∞),无增区间;
当a>0时,单调递增区间为(-ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,-ln a).
(2)证明 由(1)知当a>0时,f(x)在x=-ln a时取得极小值,f(x)的极小值为f(-ln a)=2+ln a.设函数g(x)=2+ln x-=ln x+-1,g'(x)=(x>0),
当0当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
故g(x)min=g(1)=0,即g(x)≥g(1)=0,
所以f(x0)≥3-.
18.解 (1)设该产品一年的销售量为Q(x)=,则=500,所以k=500e40,则该产品一年的销售量Q(x)=,
则该产品一年的利润L(x)=(x-a-30)=500e40·(35≤x≤41).
(2)L'(x)=500e40·.
①若2≤a≤4,则33≤a+31≤35,
当35≤x≤41时,L'(x)≤0,L(x)单调递减,
所以当x=35时,L(x)取得最大值为500(5-a)e5.
②若4令L'(x)=0,得x=a+31,
易知当x=a+31时,L(x)取得最大值为500e9-a.
综上所述,当2≤a≤4,且每件产品的售价为35元时,该产品一年的利润最大,最大利润为500(5-a)e5万元;
当419.解 (1)①函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2a+.∵f(x)在x=1,x=处取得极值,∴f'(1)=0,f'=0,即解得
经检验,当a=-,b=-时符合题意.
②若存在x0∈,使得不等式f(x0)-c≤0成立,
则只需c≥f(x)min.∵f'(x)=-=-=-,
∴当x∈时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减;
当x∈时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增;
当x∈[1,2]时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减,
∴f(x)在x=处取得极小值,
即f+ln-ln 2,又f(2)=-+ln 2,
∴f(x)min=f(2),∴c≥f(x)min=-+ln 2,
∴c∈,故cmin=-+ln 2.
(2)当a=b时,f'(x)=.
当a=0时,f(x)=ln x,
则f(x)在(0,+∞)内是增函数;
当a>0时,∵x>0,
∴2ax2+x+a>0,∴f'(x)>0,
则f(x)在(0,+∞)内是增函数;
当a<0时,设g(x)=2ax2+x+a=2a+a-,∵->0,故只需Δ≤0,从而得a≤-,
此时f(x)在(0,+∞)内是减函数.
综上可得,a∈∪[0,+∞).
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