模块综合测评A--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
模块综合测评A
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.等比数列{an}中,a5,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则a3·a9等于(　　)
A.-3 B.3 C.-4 D.4
2.设函数f(x)=ax3+b,若f'(-1)=3,则a的值为(　　)
A.-1 B. C.1 D.
3.Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则为(　　)
A. B. C. D.
4.函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大值是(　　)
A.1+ B.1 C.e+1 D.e-1
5.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.b6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a4=,S6=9S3.若bn=log2an,则数列{bn}的前10项和是(　　)
A.-35 B.-25 C.25 D.35
7.设等比数列{an}的前n项积为Sn,若S3=1,S9=512,则a11=(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
8.函数f(x)在定义域R上的导函数是f'(x),若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)·f'(x)<0.设a=f(0),b=f(),c=f(log28),则(　　)
A.c二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,下列选项正确的是(　　)
A.d>0 B.a1<0
C.当n=5时,Sn最小 D.Sn>0时,n的最小值为8
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S15>0,S16<0,则(　　)
A.a8>0 B.a9<0
C.,…,中最大的项为 D.,…,中最大的项为
11.[2024全国新高考卷Ⅰ,10]设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则(　　)
A.x=3是函数f(x)的极小值点 B.当0C.当1f(x)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n-1,则a1+a3+a5+…+a25=　　　　　.
13.[2024全国新高考卷Ⅰ,13]若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.
14.若函数f(x)=ax3-x2+1存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
16.(15分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,求a的取值范围.
17.(15分)某公司自2022年起,每年投入的设备升级资金为500万元,预计自2022年起(2022年为第1年),因为设备升级,第n年可新增的盈利an=(单位:万元),求:
(1)从哪一年起,当年新增盈利超过当年设备升级资金;
(2)从哪一年起,累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.
18.(17分)已知各项都不为零的数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,满足a1=1,2Sn=anan+1且2bn=Tn+2.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}对任意n∈N+都有+…+=bn恒成立,求c1+c2+c3+…+cn.
19.(17分)[2024湖北黄冈浠水模拟]已知函数f(x)=x+ln x,g(x)=ex.
(1)求函数H(x)=f(x)-xg(x)的最大值;
(2)当x>时,证明:≥x2+1.
参考答案
模块综合测评A
1.B　∵a5,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,
∴a5,a7是方程x2-4x+3=0的两个根,∴a5·a7=3,由等比数列的性质可得a3·a9=a5·a7=3.
2.C　∵f'(x)=3ax2,∴f'(-1)=3a=3,∴a=1.
3.A　设S3=a,S6=3a,则S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是一个首项为a,公差为a的等差数列,各项分别为a,2a,3a,4a,故.
4.D　f'(x)=ex-1,令f'(x)=0,得x=0.
当-1≤x<0时,f'(x)<0,
当00,
又f(1)=e-1>1,f(-1)=+1>1,
且e-1-=e--2=>0,
所以f(x)max=f(1)=e-1.
5.C　令f(x)=,则a==f,
b==f(6),c==f(4),
由f(x)=可得f'(x)=且x>0,
由f'(x)<0可得x>e,所以f(x)=在(e,+∞)内单调递减.
因为>6>4,所以f所以a6.C　设等比数列{an}的公比为q.由题意知q≠1,则解得
所以an=×2n-1=2n-3,所以bn=n-3,所以数列{bn}的前10项和T10==5×(-2+7)=25.
7.C　因为S3=1,S9=512,所以a1a2a3==1,a1a2a3…a9==512,解得a2=1,a5=2,则q3==2,故a11=a2q9=23=8.故选C.
8.A　∵当x∈(-∞,1)时,(x-1)f'(x)<0,
∴f'(x)>0,∴f(x)在区间(-∞,1)内单调递增.
又∵f(x)=f(2-x),
∴f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
∵a=f(0)=f(2),b=f(),c=f(log28)=f(3),
∴c9.ABD　由题意,设等差数列{an}的公差为d,
因为a7=3a5,可得a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d,又由等差数列{an}是递增数列,可知d>0,则a1<0,故A,B正确;
因为Sn=n2+n=n2-n=,
由n∈N+可知,当n=3或n=4时,Sn最小,故C错误;
令Sn=n2-n>0,解得n<0或n>7,即Sn>0时,n的最小值为8,故D正确.
10.ABD　由S15==15a8>0,得a8>0,A正确;
由S16=<0,得a9+a8<0,所以a9<0,且d<0,B正确;
因为d<0,所以数列{an}为递减数列,所以a1,…,a8为正,a9,…,an为负,且S1,…,S15为正,S16,…,Sn为负,则,…,为正,,…,为负,C错误;
当n≤8时,Sn单调递增,an单调递减,所以单调递增,所以,…,中最大的项为,D正确.
11.AC　∵f(x)=(x-1)2(x-4),∴函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=3(x-1)(x-3).令f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,得x=1或x=3.当x<1或x>3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当10,即f(2x-1)>-4,∴C正确.f(2-x)-f(x)=(2-x-1)2(2-x-4)-(x-1)2(x-4)=-2(x-1)3.当-112.350　当n=1时,a1=S1=12+2×1-1=2;
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+2(n-1)-1=n2-2,
所以an=Sn-Sn-1=(n2+2n-1)-(n2-2)=2n+1.
此时若n=1,则an=2n+1=3≠a1,
所以an=故a1+a3+a5+…+a25=2+(7+11+15+…+51)=2+=350.
13.ln 2　由y=ex+x,得y'=ex+1.当x=0时,y'=2.
∴曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.∴直线y=2x+1是曲线y=ln(x+1)+a的切线.由y=ln(x+1)+a,得y'=.设直线y=2x+1与曲线y=ln(x+1)+a相切于点(x0,y0),则=2,
∴x0=-.将x0=-代入y=2x+1,得y0=2×-+1=0.∴ln-+1+a=0,∴a=ln 2.
14.　当a=0时,f(x)=-x2+1有两个零点,不符合题意;
当a≠0时,f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1),
令f'(x)=0,解得x1=0,x2=.
①若a>0,则>0,令f'(x)>0,得x<0或x>;令f'(x)<0,得0又f(-1)=-a-<0,f(0)=1,则此时f(x)在(-∞,0)内存在零点,不符合题意.
②若a<0,则<0,令f'(x)>0,得0,则f(x)在内单调递增,在,(0,+∞)内单调递减.要使存在唯一的零点x0,且x0>0,则满足f=1->0,解得a<-或a>(舍去).
综上,实数a的取值范围是.
15.解 (1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a.
因为f(x)在x=3处取得极值,
所以f'(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,
解得a=3.经检验a=3符合题意.
所以f(x)=2x3-12x2+18x+8.
(2)点A在f(x)上,
由(1)可知f'(x)=6x2-24x+18,f'(1)=6-24+18=0,
所以切线方程为y=16.
16.解 (1)f'(x)=3ax2+6x+3,令f'(x)=0,
即3ax2+6x+3=0,则Δ=36(1-a).
①若a≥1,则Δ≤0,f'(x)≥0,所以f(x)在R上是增函数.
②因为a≠0,故当a<1时,Δ>0,f'(x)=0有两个根,x1=,x2=,
若00,故f(x)在(-∞,x2),(x1,+∞)内单调递增;
当x∈(x2,x1)时,f'(x)<0,故f(x)在(x2,x1)内单调递减.
当a<0时,则当x∈(-∞,x1)或x∈(x2,+∞)时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)内单调递减;当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,故f(x)在(x1,x2)内单调递增.
(2)当a>0,x>0时,f'(x)=3ax2+6x+3>0,
所以当a>0时,f(x)在区间(1,2)内单调递增.
当a<0时,f(x)在区间(1,2)内单调递增,
则f'(1)≥0且f'(2)≥0,解得-≤a<0.
综上,a的取值范围是∪(0,+∞).
17.解 (1)当n≤5时,an=80(n-1)>500,
解得n>7.25,即n≥8,不成立.
当n≥6时,an=1 000(1-0.6n-5)>500,
即0.6n-5<0.5,0.6n-5随着n的增大而减小,
当n=6时,0.66-5=0.6>0.5,故不成立,
当n=7时,0.67-5=0.36<0.5成立,
故从2028年起,当年新增盈利超过当年设备升级资金.
(2)当n=5时,累计新增盈利总额S5=a1+a2+a3+a4+a5=0+80+160+240+320=800<500×5,
可得所求n超过5,
当n≥6时,Sn=S5+1 000(n-5)->500n,
整理得n+3×0.6n-5>11.4,
由于3×0.6n-5随着n的增大而减小,
又当n=11时,11+3×0.611-5<11.4,故不成立,
当n=12时,12+3×0.612-5>11.4,故成立,
故从2033年起,累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.
18.解 (1)因为a1=1,2Sn=anan+1,所以a2=2.
2Sn-1=an-1an(n≥2),
得anan+1-an-1an=2Sn-2Sn-1=2an,即an+1-an-1=2,
所以an+2-an+1=an-an-1,所以an+1-an=a2-a1=1,
又a1=1,所以an=n(n∈N+).因为2bn=Tn+2,
所以2b1=T1+2,即b1=2,
又由2bn-1=Tn-1+2(n≥2),得2bn-2bn-1=Tn-Tn-1=bn,即bn=2bn-1(n≥2),所以bn=2n(n∈N+).
(2)当n=1时,=b1=2,即c1=2,
当n≥2时,+…+=bn-1(n≥2),
得=bn-bn-1=2n-1,即cn=n·2n-1(n≥2),
记Rn=c1+c2+c3+…+cn=2+2×21+3×22+4×23+…+n·2n-1,则2Rn=2×2+2×22+3×23+4×24+…+(n-1)·2n-1+n·2n,Rn-2Rn=21+22+23+…+2n-1-n·2n=(1-n)·2n-2,
则Rn=c1+c2+c3+…+cn=(n-1)·2n+2(n∈N+).
19.(1)解 由题意,H(x)=f(x)-xg(x)=x+ln x-xex,定义域为(0,+∞),可得H'(x)=1+-(ex+xex)=-ex(x+1)=(x+1)(x>0).
令t(x)=-ex,则t'(x)=--ex<0,所以t(x)单调递减,又由t(1)=1-e<0,t=2->0,所以存在x0∈,使t(x0)=0,即,即x0+ln x0=0,
当00,H(x)单调递增;
当x>x0时,H'(x)<0,H(x)单调递减,
所以H(x)有最大值,最大值为H(x0)=x0+ln x0-x0=-1.
(2)证明 要证不等式≥x2+1,
即证≥x2+1,即证,
当x=1时,不等式显然成立;
当因为所以m(x)在内单调递减,
所以m(x)>m(1)=0,即ex-1>x,
要证不等式,
只需证明,等价于证明>1+ln x.
令F(x)=-(1+ln x),可得F'(x)=<0,
函数F(x)在内单调递减,
所以F(x)>F(1)=0,即>1+ln x.
当x>1时,只需证,
令h(x)=,可得h'(x)=>0,函数h(x)在(1,+∞)内单调递增,所以h(x)>h(1)=1,
又由u(x)=,可得u'(x)=<0,在(1,+∞)内单调递减,所以u(x)所以x>1时,h(x)>u(x),所以不等式成立.
综上所述,原不等式得证.
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