模块综合测评B--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
模块综合测评B
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=2x2-ln x的单调递减区间为(　　)
A.(-2,2) B.(0,2) C.- D.0,
2.已知在等差数列{an}中,a2+a3+a4+a5=14,则a1+a6=(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
3.已知在等比数列{an}中,a3=7,前三项之和S3=21,则公比q=(　　)
A.- B.1 C.1或- D.1或2
4.已知不等式x2-5x-6<0,其解集中的三个整数解构成等比数列{an}的前三项,则数列{an}的第4项是(　　)
A.8 B. C.8或2 D.8或
5.定义在[0,+∞)内的函数f(x),对任意x≥0,恒有f(x)>f'(x),a=,b=,则a与b的大小关系为(　　)
A.a>b B.a6.已知函数f(x)=ex-f(0)x,若存在实数x0使不等式2a-1-≥f(x0)成立,则a的取值范围为(　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,3] C.(-∞,2] D.[0,+∞)
7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=3,对 x∈R恒有f'(x)<2,则f(x)≥2x+1的解集为(　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.(-∞,1)
8.在数列{an}中,an=若am-1am=am+1,则m=(　　)
A.8 B.10 C.2或10 D.1或8
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列求导运算正确的是(　　)
A.(sin x+cos x)'=cos x+sin x B.(3xcos 2x)'=3x(ln 3·cos 2x-2sin 2x)
C.(xln x)'= D.'=
10.已知数列{an}为递增的等差数列,其公差为d,前n项和为Sn.若2a5=a2,则下列说法正确的是(　　)
A.d>0 B.S7=S8>0
C.仅S7为Sn的最小值 D.满足Sn>0的n的最小正整数为16
11.设函数f(x)=xln2x+x的导函数为f'(x),则(　　)
A.f'=0 B.x=是f(x)的极值点
C.f(x)存在零点 D.f(x)在,+∞内单调递增
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.用Sn表示等差数列{an}的前n项和,若am+am+1+am+2=33,S2m+1=121,则m的值为　　　　　.
13.已知函数f(x)的导数为f'(x),若f(x)=f'(1)x3-2x,则f'(1)=　　　　　.
14.设数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,且an+1=1+an,若2Sn+12≥kan恒成立,则k的最大值是　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=x3-x2-f'(-1)x,其中f'(x)是f(x)的导函数.
(1)求f'(-1);
(2)求过原点与曲线y=f(x)相切的切线方程.
16.(15分)在①已知数列{an}满足:an+1-2an=0,a3=8,②等比数列{an}的公比q=2,数列{an}的前5项和Sn为62这两个条件中任选一个,并解答下列问题.(若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,若2Tn>m-2 022对n∈N+恒成立,求正整数m的最大值.
17.(15分)已知函数f(x)=ln(x+a)-x2+x,且f(x)在x=1处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[1,3]上有解,求b的取值范围.
18.(17分)数列{an}满足:a1=1,点(n,an+an+1)在函数y=kx+1图象上,其中k为常数,且k≠0.
(1)若a1,a2,a4成等比数列,求k的值;
(2)当k=3时,求数列{an}的前n项和Sn.
19.(17分)已知函数f(x)=2ln x+ax2-(2a+1)x.
(1)若f(x)在(2,+∞)内是单调函数,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)在(2,+∞)内有极小值g(a),求证:g(a)≤4ln 2-4.
参考答案
模块综合测评B
1.D　函数f(x)=2x2-ln x的定义域是(0,+∞),函数的导数为f'(x)=4x-,由可得02.B　由等差数列的性质可知a2+a3+a4+a5=2(a1+a6)=14,故a1+a6=7.
3.C　∵在等比数列{an}中,a3=7,前三项之和S3=21,
∴a1+a2=21-7=14,∴=14,
整理可得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.
4.D　不等式x2-5x-6<0的解集为{x|-15.A　令g(x)=,x>0,则g'(x)=.因为f(x)>f'(x),所以g'(x)<0,所以g(x)在[0,+∞)内单调递减.因为1<2,所以g(1)>g(2),即,所以a>b.
6.A　令x=0得f(0)=1,所以f(x)=ex-x,将2a-1-≥f(x0)化简得2a-1≥-x0+,令g(x)=ex-x+,则g'(x)=ex-1+x,令h(x)=g'(x)=ex-1+x,因为h'(x)=ex+1>0,所以g'(x)为增函数,当x>0时,g'(x)>g'(0)=0,g(x)单调递增,g(x)>g(0)=1;当x<0时,g'(x)g(0)=1,因此g(x)的最小值为1,从而2a-1≥1,即a≥1.故选A.
7.B　令F(x)=f(x)-2x-1,则F'(x)=f'(x)-2.
∵对 x∈R恒有f'(x)<2,∴F'(x)=f'(x)-2<0恒成立,∴F(x)=f(x)-2x-1是R上的减函数.
又F(1)=f(1)-2-1=0,∴当x≤1时,F(x)≥F(1)=0,即f(x)-2x-1≥0,即不等式f(x)≥2x+1的解集为(-∞,1].故选B.
8.A　当m为偶数时,由am-1am=am+1得3m-1×(m+1)=3m+1,解得m=8;当m为奇数时,由am-1am=am+1得(m-1+1)×3m=(m+1+1),即3m=1+,因为3m随m增大而增大,1+随m增大而减小,且31=1+,所以由3m=1+得m=1,由am-1am=am+1可知m≥2,所以m=1不满足题意.综上可知,m=8.故选A.
9.BD　(sin x+cos x)'=(sin x)'+(cos x)'=cos x-sin x;(3xcos 2x)'=(3x)'cos 2x+3x(cos 2x)'=3xln 3·cos 2x-2·3xsin 2x=3x(ln 3·cos 2x-2sin 2x);(xln x)'=(x)'ln x+x(ln x)'=ln x+1;'=.故选BD.
10.AD　∵{an}为递增数列,∴d>0,故A正确;2a5=2a1+8d=a1+d=a2,则a1+7d=a8=0,又d>0,∴S7=S8<0,故B不正确;S7=S8同为Sn的最小值,故C不正确;
∵a8=0,S15=15a8=0,∴满足Sn>0的n的最小正整数为16,故D正确.故选AD.
11.AD　由题可知f(x)=xln2x+x的定义域为(0,+∞).f'(x)=ln2x+2ln x+1,则f'=ln2+2ln +1=1-2+1=0,故A正确;因为f'(x)=ln2x+2ln x+1=(ln x+1)2≥0,所以函数f(x)单调递增,无极值点,故B错误,D正确;由于f(x)=xln2x+x=x(ln2x+1)>0,故函数f(x)不存在零点,故C错误.故选AD.
12.5　由am+am+1+am+2=3am+1=33,则am+1=11,
由S2m+1==(2m+1)am+1=121,则2m+1=11,解得m=5.
13.ln 2　因为f(x)=f'(1)x3-2x,则f'(x)=3f'(1)x2-2xln 2,令x=1可得f'(1)=3f'(1)-2ln 2,解得f'(1)=ln 2.
14.　因为an+1=an,所以,
所以数列是常数列,则=1,可得an=n+1,故Sn=.
因为2Sn+12≥kan恒成立,所以n2+3n+12≥k(n+1)恒成立,即k≤恒成立,设t=n+1,t∈N+,t≥2,则n=t-1,从而=t++1,
设h(t)=t++1(t∈N+,t≥2),
当t=3时,t++1=,当t=4时,t++1=,
因为,所以h(t)=t++1的最小值是,
即k≤,所以实数k的最大值为.
15.解(1)因为f(x)=x3-x2-f'(-1)x,所以f'(x)=3x2-2x-f'(-1).令x=-1,得f'(-1)=3+2-f'(-1),解得f'(-1)=3.
(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-2x,
所以f'(x)=3x2-2x-2,
设切点(t,t3-t2-2t),则f'(t)=3t2-2t-2,
所以切线方程为y-(t3-t2-2t)=(3t2-2t-2)(x-t).
由题意-(t3-t2-2t)=(3t2-2t-2)(-t),
整理得t2(2t-1)=0,解得t=0或t=.
当t=0时,切线方程为y=-2x;
当t=时,切线方程为y=-x.
综上,曲线y=f(x)过原点的切线方程为2x+y=0或x+y=0.
16.解(1)选择条件①:由an+1-2an=0得=2,{an}为等比数列,公比q=2,所以an=a3qn-3=2n.
选择条件②,数列{an}的前5项和S5==62,解得a1=2,所以an=a1qn-1=2n.
(2)bn=,则Tn=+2×2+…+n·n,Tn=2+2×3+…+(n-1)·n+n·n+1,两式相减得Tn=+2+…+n-n·n+1=-n·n+1,即Tn=2-(2+n)n.因为Tn+1-Tn=(n+1)n+1>0,
所以数列{Tn}为递增数列,最小值为T1=.
2Tn>m-2 022对n∈N*恒成立,即m<2Tn+2 022对n∈N*恒成立,所以m<2 023,m的最大值是2 022.
17.解(1)∵f(x)=ln(x+a)-x2+x(x>-a),
∴f'(x)=-2x+1.
∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴f'(1)=0,
即-1=0,解得a=0,经检验符合题意.
(2)由(1)得,f(x)=ln x-x2+x(x>0),∴ln x-x2+x=-x+b在[1,3]上有解,即ln x-x2+x=b在[1,3]上有解.令h(x)=ln x-x2+x,则h'(x)=-2x+=-.
当x∈[1,3]时,h'(x),h(x)随x的变化情况如下表:
x [1,2) 2 (2,3]
h'(x) + 0 -
h(x) ↗ 极大值 ↘
计算得h(1)=,h(3)=ln 3+,h(2)=ln 2+3,
∴h(x)∈,ln 2+3,∴b的取值范围为,ln 2+3.
18.解(1)由an+an+1=kn+1,可得a1+a2=k+1,a2+a3=2k+1,a3+a4=3k+1,所以a2=k,a3=k+1,a4=2k.
又因为a1,a2,a4成等比数列,
所以=a1a4,即k2=2k.
又因为k≠0,故k=2.
(2)当k=3时,an+an+1=3n+1.
当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…+(an-1+an)=4+10+16+…+(3n-2)=;当n为奇数时,Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+…+(an-1+an)=1+7+13+19+…+(3n-2)=.
综上所述,Sn=
19.(1)解函数的导数为f'(x)=+ax-(2a+1)=.
当a≤0时,因为x∈(2,+∞),所以f'(x)<0,因此f(x)在(2,+∞)内单调递减,符合题意;
当a≥时,因为x∈(2,+∞),所以f'(x)>0,因此f(x)在(2,+∞)内单调递增,符合题意;当02时,若2,则f'(x)>0,此时f(x)单调递增,显然不符合题意.
综上所述,a的取值范围为(-∞,0]∪,+∞.
(2)证明由(1)可知,当a≤0或a≥时,f(x)在(2,+∞)内是单调函数,所以不存在极值,因此02.
当2当x>时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
因此当x=时,函数有极小值,极小值为f=2ln a×2-(2a+1)×=-2ln a--2,
即g(a)=-2ln a--20所以g'(a)=-.
当00,函数g(a)单调递增,当所以当a=时,函数g(a)有最大值,最大值为g=-2ln -4=4ln 2-4.
所以g(a)≤4ln 2-4.
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