模块综合训练--2025北师大版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

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2025北师大版数学选择性必修第二册
模块综合训练
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.曲线y=xln x在点(e,e)处的切线方程为(　　)
A.y=2x-e
B.y=-2x-e
C.y=2x+e
D.y=-x-1
2.记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S2=2,S4=6,则S8=(　　)
A.22 B.24
C.28 D.30
3.在等差数列{an}中,4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36,那么该数列的前14项和为(　　)
A.20 B.21
C.42 D.84
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a4=,S6=9S3.若bn=log2an,则数列{bn}的前10项和是(　　)
A.-35 B.-25
C.25 D.35
5.[2024江苏扬州期末]对于函数f(x)=sin x+x-ex,x∈[0,π],下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)有唯一的极大值点
B.函数f(x)有唯一的极小值点
C.函数f(x)有最大值没有最小值
D.函数f(x)有最小值没有最大值
6.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=1,对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,则不等式xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)的解集是(　　)
A.(-∞,1) B.(-∞,2)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
7.已知函数f(x)=x2-ax-xln x,a∈R,若f(x)在[1,+∞)内单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
8.已知f(x)为定义在R上的可导函数,f'(x)为其导函数,且f(x)A.f(2 023)B.ef(2 023)C.ef(2 023)=f(2 024)
D.ef(2 023)>f(2 024)
二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,则以下结论正确的是(　　)
A.a10=0 B.S10最小
C.S7=S12 D.S19=0
10.等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,下列选项正确的是(　　)
A.d>0
B.a1<0
C.当n=5时Sn最小
D.Sn>0时n的最小值为8
11.[2024广西桂林月考]已知数列{an}中,a1=2,an+1=(+1)2-2,则关于数列{an}的说法正确的是(　　)
A.a2=5
B.数列{an}为递增数列
C.an=n2+2n-1
D.数列的前n项和小于
三、填空题
12.已知数列{an}满足a1=1,an·an+1=3n(n∈N+),那么数列{an}的前9项和S9=　　　　　.
13.若函数f(x)=ex(cos x+a)在区间(0,π)内单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.
14.[2024北京丰台期末]已知函数f(x)=aln x-(x-1)2(a∈R)存在两个极值点x1,x2(x1①函数f(x)有零点;
②a的取值范围是;
③x2>1;
④f(x2)>0.
其中所有正确结论的序号是　　　　　.
四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.已知函数f(x)=aln(x+1)+ln x(a∈R).
(1)若a=2,求函数g(x)=f(x)-ax的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,4]上单调递增,求实数a的取值范围.
16.设数列{an}的前n项和Sn=,数列{bn}满足bn=.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{bn}的前n项和为Tn,cn=,求数列{cn}的前n项和Rn.
17.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=3Sn+1(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=,在数列{bn}中是否存在三项bm,bk,bp(其中2k=m+p)成等比数列 若存在,求出这三项;若不存在,说明理由.
18.已知函数f(x)=asin x-x+b0≤x≤在x=处有极值.
(1)求a的值,并判断x=是f(x)的极大值点还是极小值点
(2)若不等式f(x)>sin x+cos x对于任意的x∈恒成立,求b的取值范围.
19.已知函数f(x)=ex-ln(x+m).
(1)设x=0是f(x)的极值点,求m的值,并讨论f(x)的单调性;
(2)证明:ex-ln(x+2)>0.
参考答案
模块综合训练
1.A　y'=ln x+1,则曲线在点(e,e)处的切线斜率为ln e+1=2,所以切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e,故选A.
2.D　设等比数列{an}的公比为q,首项为a1,则q≠1,
所以S2==2,
S4==6,
所以=1+q2=3,解得q2=2,=-2,
所以S8==-2×(1-24)=30.故选D.
3.B　由4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36,得12a4+12a11=36,即a4+a11=3,则数列{an}的前14项和为=7(a4+a11)=21.
4.C　设等比数列{an}的公比为q.由题意知q≠1,
则解得
所以an=×2n-1=2n-3,所以bn=n-3,
所以数列{bn}的前10项和T10==5×(-2+7)=25.故选C.
5.A　∵f(x)=sin x+x-ex,x∈[0,π],
∴f'(x)=cos x+1-ex,x∈[0,π],设g(x)=cos x+1-ex,则g'(x)=-sin x-ex<0在[0,π]上恒成立,
则f'(x)=cos x+1-ex在[0,π]上单调递减,
而f'(0)=1>0,f'(π)=-eπ<0,
∴存在x0∈(0,π),使得x∈(0,x0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(x0,π)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
又f(0)=-1,f(π)=π-eπ<-1,
则函数f(x)有唯一的极大值点,且函数f(x)有最大值和最小值.
故A正确,B,C,D错误.
故选A.
6.A　设g(x)=xf(x),则g(2)=2f(2)=2,
因为任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,
所以g'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,
即g(x)在R上单调递减,
由xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)可得(x+1)·f(x+1)>g(2),
即g(x+1)>g(2),所以x+1<2,即x<1.
7.B　因为f(x)=x2-ax-xln x(a∈R),定义域为(0,+∞),所以f'(x)=2x-a-ln x-1,依题意f'(x)≥0在[1,+∞)内恒成立,
即2x-a-ln x-1≥0在[1,+∞)上恒成立,
所以a≤2x-ln x-1在[1,+∞)上恒成立,
令g(x)=2x-ln x-1,x∈[1,+∞),
则g'(x)=2->0,g(x)在[1,+∞)内单调递增,所以g(x)在x=1处取得最小值,
即g(x)min=g(1)=2×1-ln 1-1=1,
所以a≤1,即a∈(-∞,1].
故选B.
8.B　令F(x)=,则F'(x)=,
由于f(x)0,
故函数F(x)在R上单调递增,
所以F(2 024)>F(2 023),故,
即ef(2 023)9.ACD　因为2a1+3a3=S6,
所以2a1+3a1+6d=6a1+15d,
所以a1+9d=0,即a10=0,故A正确;
当d<0时,Sn=na1+d=-9dn+d=(n2-19n)无最小值,故B错误;
因为S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,所以S12=S7,故C正确;
因为S19==19a10=0,故D正确.
故选ACD.
10.ABD　由题意,设等差数列{an}的公差为d,
因为a7=3a5,可得a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d,
又由等差数列{an}是递增数列,可知d>0,则a1<0,故A,B正确;
因为Sn=n2+n=n2-n=,由n∈N+可知,当n=3或4时Sn最小,故C错误;
令Sn=n2-n>0,解得n<0或n>7,
即Sn>0时n的最小值为8,故D正确.
11.BCD　由an+1=(+1)2-2,
得an+1+2=(+1)2,即+1,
又a1=2,=2,
所以{}是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以=2+(n-1)×1=n+1,即an=n2+2n-1,
所以a2=7,故A错误,C正确;
因为an=(n+1)2-2,所以{an}为递增数列,故B正确;
,
所以数列的前n项和为1-+…+=1+=<,故D正确.
故选BCD.
12.241　∵an·an+1=3n(n∈N+),∴an+1=,
则a2==3,a3==3,a4==32,a5==32,a6==33,a7==33,a8==34,a9==34,因此,S9=1+2×(3+32+33+34)=1+2×=241.
13.[,+∞)　由题意f'(x)=ex(cos x-sin x+a)=ex,∵f(x)在区间(0,π)内单调递增,
∴f'(x)=ex≥0在(0,π)内恒成立,
当x∈(0,π)时,x+,-1≤cosx+<,即-cos<1,
∵cos+a≥0,-a≤cos,
∴-a≤-,即a≥.故a的取值范围是[,+∞).
14.①④　显然f(1)=0,故①正确;
函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=-2(x-1)=,
由于f(x)存在两个极值点,则关于x的方程-2x2+2x+a=0有两个正根,所以解得-令f'(x)=0,得-2x2+2x+a=0,解得x1=,x2=,
又-由前面分析可知,函数f(x)在(0,x1),(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增,所以f(x2)>f(1)=0,故④正确.
15.解(1)要使函数有意义,则解得x>0,即函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=2时,f(x)=2ln(x+1)+ln x,有g(x)=2ln(x+1)+ln x-2x,x∈(0,+∞),所以g'(x)=-2=,当00,当x>1时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,即函数g(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).
(2)因为函数f(x)=aln(x+1)+ln x(a∈R)在区间[1,4]上单调递增,所以f'(x)=≥0在[1,4]上恒成立,所以a≥-=-在[1,4]上恒成立,所以a≥.
因为x∈[1,4],所以1+,
即-,
所以=-,所以a≥-,
即实数a的取值范围为.
16.解(1)当n=1时,a1=S1=3;
由Sn=得Sn-1=(n≥2),
∴an=Sn-Sn-1=3n(n≥2),
又a1=S1=3也符合,∴an=3n(n∈N+),bn=.
(2)Tn=+…+=1-+…+=1-,∴cn==(n+1)·3n.
∴Rn=2×31+3×32+4×33+…+(n+1)·3n,①
∴3Rn=2×32+3×33+4×34+…+(n+1)·3n+1,②
①-②得,-2Rn=2×31+32+33+…+3n-(n+1)·3n+1=6+-(n+1)·3n+1=·3n+1,
∴Rn=·3n+1-.
17.解(1)由题意,在数列{an}中,
an+1=3Sn+1(n∈N+),an=3Sn-1+1(n∈N+,n≥2),
两式相减可得,an+1-an=3an,an+1=4an,n≥2,
∵a2=3a1+1=4a1,故an+1=4an(n∈N+),
∴{an}是以1为首项,4为公比的等比数列,
∴an=4n-1(n∈N+).
(2)不存在,理由如下:
由题意及(1)得,在数列{an}中,an=4n-1(n∈N+),在数列{bn}中,bn=,
如果满足条件的bm,bk,bp存在,
则=bmbp,其中2k=m+p,∴,
∵2k=m+p,∴(k+1)2=(m+1)(p+1),解得k2=mp.
∵2k=m+p,
∴k=m=p,与已知矛盾,所以不存在满足条件的三项.
18.解(1)由f(x)=asin x-x+b,得f'(x)=acos x-1,
又f'=0,即acos-1=0,解得a=2,
当a=2时,f'(x)=2cos x-1=2,
由f'(x)=0,得cos x=,
结合0≤x≤,解得x=,
当0≤x<时,f'(x)>0;
当∴x=是f(x)的极大值点.
(2)不等式f(x)>sin x+cos x等价于b>x+cos x-sin x对于任意x∈恒成立.
设g(x)=x+cos x-sin x,则b>g(x)max,
g'(x)=1-sin x-cos x=1-sin.
由0≤x≤,得≤x+,
∴≤sin≤1,
即1≤sin,∴g'(x)≤0.
从而g(x)在上单调递减,
∴g(x)max=g(0)=1,
故b的取值范围是(1,+∞).
19.(1)解f'(x)=ex-,
由题意可得,f'(0)=1-=0,解得m=1,
经检验,当m=1时,x=0是f(x)的极值点.
f'(x)=ex-,
令g(x)=ex(x+1)-1,
则g'(x)=(x+2)ex>0,
故g(x)在(-1,+∞)内单调递增且g(0)=0,
当x>0时,g(x)>0,即f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
当-1(2)证明令h(x)=ex-ln(x+2),定义域为(-2,+∞),则h'(x)=ex-在(-2,+∞)内单调递增,
因为h'(-1)<0,h'(0)>0,
所以h'(x)=0在(-2,+∞)内存在唯一实数根x0,且x0∈(-1,0),
当x∈(-2,x0)时,h'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,
当x=x0时,函数h(x)取得最小值,
因为,即x0=-ln(2+x0),
故h(x)≥h(x0)=-ln(2+x0)=+x0=>0,所以ex-ln(x+2)>0.
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