6.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题
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| 名称 | 6.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 322.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-28 21:25:25 | ||
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文档简介
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2025人教A版数学选择性必修第三册
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]某同学从4本不同的科普杂志,3本不同的文摘杂志,2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读,则不同的选法种数为( )
A.24 B.9 C.3 D.26
2.[探究点二]将3个不同的小球放入4个盒子中,不同放法种数为( )
A.81 B.64 C.14 D.12
3.[探究点一]在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个数是( )
A.18 B.36 C.72 D.48
4.[探究点一]有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有( )
A.21种 B.315种 C.153种 D.143种
5.[探究点二]某食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤,现要配成一荤一素一汤的套餐,则可以配成不同套餐的种数为( )
A.14 B.64 C.72 D.80
6.[探究点二·苏教版教材习题]若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组,每人选报1项,则不同的报名方式有( )
A.34种 B.43种
C.3×2×1种 D.4×3×2种
7.[探究点三]由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数有 个.
8.[探究点三]有一项活动,需从3名教师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
(1)若只需1人参加,则有多少种不同的选法
(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法
B级 必备知识基础练
9.现有一算盘,取其两档(如图1),自右向左分别表示十进制数的个位和十位,中间一道横梁把算珠分为上下两部分,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下四珠,上拨一珠记作数字1(如图2算盘表示整数51).若拨动图1的两枚算珠,则可以表示不同整数的个数为( )
图1
图2
A.6 B.8 C.10 D.15
10.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每名同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有( )
A.27种 B.36种 C.54种 D.81种
11.[2024山东德州高二期末]已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从集合M中选一个元素作为点的横坐标,从集合N中选一个元素作为点的纵坐标,则落在第三、第四象限内点的个数是( )
A.6 B.8 C.10 D.1
12.有4位教师在同一年级的4个班中分别担任数学老师,在数学测验时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有( )
A.8种 B.9种 C.10种 D.11种
13.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有( )
A.24种 B.36种 C.42种 D.60种
14.(多选题)现有不同的红球4个,黄球5个,绿球6个,则下列说法正确的是( )
A.从中任选1个球,有15种不同的选法
B.若每种颜色选出1个球,有120种不同的选法
C.若要选出不同颜色的2个球,有31种不同的选法
D.若要不放回地依次选出2个球,有210种不同的选法
15.如图所示为一电路图,从A到B不同的线路中可通电的共有 条.
16.如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有 个.
17.现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
(1)从中任选1幅画布置房间,有几种不同的选法
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选1幅画布置房间,有几种不同的选法
(3)从这些画中任选出2幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法
18.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告和1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,宣传广告与公益广告不能连续播放,2个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式
C级 学科素养创新练
19.在如图1的电路中,只合上一个开关可以接通电路,有 种不同的方法;在如图2的电路中,合上两个开关可以接通电路,有 种不同的方法.
图1
图2
参考答案
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.B 由分类加法计数原理,某同学任选1本杂志阅读,不同的选法种数为4+3+2=9.
2.B 将3个不同的小球放入4个盒子中,每个小球不同放法的种数都为4.
根据分步乘法计数原理,不同放法的种数为4×4×4=64.
3.B 按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分成八类,
在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个.
由分类加法计数原理知,满足条件的两位数的个数为8+7+6+5+4+3+2+1=36.
4.D 由题意,选一本语文书一本数学书的选法种数为9×7=63,
选一本数学书一本英语书的选法种数为7×5=35,
选一本语文书一本英语书的选法种数为9×5=45.
根据分类加法计数原理,不同的选法种数为63+45+35=143.故选D.
5.B 因为食堂备有4种素菜,8种荤菜,2种汤,分三步:第1步,从素菜中任选一种,有4种选法;第2步,从荤菜中任选一种,有8种选法;第3步,从汤菜中任选一种,有2种选法.
根据分步乘法计数原理,可以配制出不同的套餐种数为4×8×2=64.
故选B.
6.A
7.15 分三类:第一类,一位数有1,2,3,共3个自然数;
第二类,两位数有12,21,23,32,13,31,共6个自然数;
第三类,三位数有123,132,213,231,321,312,共6个自然数.根据分类加法计数原理,所组成的自然数的个数为3+6+6=15.
8.解(1)选1人,有3类方案:
第1类,从教师中选1人,有3种不同的选法;
第2类,从男同学中选1人,有8种不同的选法;
第3类,从女同学中选1人,有5种不同的选法.
由分类加法计数原理,不同选法的种数为3+8+5=16.
(2)选教师、男同学、女同学各1人,分3个步骤进行:
第1步,选教师,有3种不同的选法;
第2步,选男同学,有8种不同的选法;
第3步,选女同学,有5种不同的选法.
由分步乘法计数原理,不同选法的种数为3×8×5=120.
9.B 拨动两枚算珠可分为以下三类:
第1类,在个位上拨动两枚,可表示2个不同整数.
第2类,在十位上拨动两枚,可表示2个不同整数.
第3类,在个位、十位上分别拨动一枚,由分步乘法计数原理易得,可表示2×2=4个不同整数.
根据分类加法计数原理,一共可表示2+2+4=8个不同整数.
故选B.
10.C 小张的报名方法有2种,其他3名同学的报名方法各有3种,由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×3=54种不同的报名方法,故选C.
11.A 依题意,若点落在第三、第四象限内,故纵坐标为负,第1步,从集合N中选一个负数,有2种选择;第二步,从集合M中任选一个数,有3种选择.由分步乘法计数原理得,落在第三、第四象限内的点的个数为3×2=6.
故选A.
12.B 设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班级分别为a,b,c,d.假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同的监考方法.同理A监考c,d时,也分别有3种不同的监考方法.
由分类加法计数原理得,监考方法共有3+3+3=9种.
13.D 把3个项目分配到4个体育馆,所有方案共有4×4×4=64种.
其中,3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方法,故满足条件的分配方案有64-4=60种.
14.ABD 从中任选1个球,有4+5+6=15种不同的选法,所以A选项正确;
若每种颜色选出1个球,有4×5×6=120种不同的选法,所以B选项正确;
若要选出不同颜色的2个球,有4×5+5×6+4×6=74种不同的选法,所以C选项错误;
若要不放回地依次选出2个球,有15×14=210种不同的选法,所以D选项正确.
故选ABD.
15.8 按上、中、下三条线路可分为三类:第一类,上线路有3条;
第二类,中线路有1条;
第三类,下线路有2×2=4条.
根据分类加法计数原理可得,可通电的线路条数为3+1+4=8.
16.40 满足条件的三角形有两类.第1类,与正八边形有两条公共边的三角形有8个;第2类,与正八边形有一条公共边的三角形有8×4=32个.
由分类加法计数原理,满足条件的三角形的个数为8+32=40.
17.解(1)从所有画中任选一幅画布置房间,有三类方案:第1类,从国画中选取,有5种选法;第2类,从油画中选取,有2种选法;第3类,从水彩画中选取,有7种选法.
由分类加法计数原理,知共有5+2+7=14种不同的选法.
(2)分三个步骤完成:第1步,国画有5种不同的选法;第2步,油画有2种不同的选法;第3步,水彩画有7种不同的选法.由分步乘法计数原理,知共有5×2×7=70种不同的选法.
(3)三类分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画.由分类加法计数原理和分步乘法计数原理,知共有5×2+2×7+5×7=59种不同的选法.
18.解用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序,则完成这件事有3类方法.
第1类,宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式;
第2类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式;
第3类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6.同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式.
由分类加法计数原理,得6个广告不同的播放方式共有36+36+36=108种.
19.5 6 对于图1,按要求接通电路,有两类方案:
第1类方案是合上A电路中2个开关的其中一个,第2类方案是合上B电路中3个开关的其中一个.
由分类加法计数原理,不同的方法有2+3=5种.
对于图2,按要求接通电路可以分两个步骤完成:
第一步,合上电路A中的一个开关,有2种方法;
第二步,合上电路B中的一个开关,有3种方法.
由分步乘法计数原理,不同的方法有2×3=6种.
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6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]某同学从4本不同的科普杂志,3本不同的文摘杂志,2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读,则不同的选法种数为( )
A.24 B.9 C.3 D.26
2.[探究点二]将3个不同的小球放入4个盒子中,不同放法种数为( )
A.81 B.64 C.14 D.12
3.[探究点一]在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个数是( )
A.18 B.36 C.72 D.48
4.[探究点一]有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有( )
A.21种 B.315种 C.153种 D.143种
5.[探究点二]某食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤,现要配成一荤一素一汤的套餐,则可以配成不同套餐的种数为( )
A.14 B.64 C.72 D.80
6.[探究点二·苏教版教材习题]若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组,每人选报1项,则不同的报名方式有( )
A.34种 B.43种
C.3×2×1种 D.4×3×2种
7.[探究点三]由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数有 个.
8.[探究点三]有一项活动,需从3名教师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
(1)若只需1人参加,则有多少种不同的选法
(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法
B级 必备知识基础练
9.现有一算盘,取其两档(如图1),自右向左分别表示十进制数的个位和十位,中间一道横梁把算珠分为上下两部分,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下四珠,上拨一珠记作数字1(如图2算盘表示整数51).若拨动图1的两枚算珠,则可以表示不同整数的个数为( )
图1
图2
A.6 B.8 C.10 D.15
10.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每名同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有( )
A.27种 B.36种 C.54种 D.81种
11.[2024山东德州高二期末]已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从集合M中选一个元素作为点的横坐标,从集合N中选一个元素作为点的纵坐标,则落在第三、第四象限内点的个数是( )
A.6 B.8 C.10 D.1
12.有4位教师在同一年级的4个班中分别担任数学老师,在数学测验时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有( )
A.8种 B.9种 C.10种 D.11种
13.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有( )
A.24种 B.36种 C.42种 D.60种
14.(多选题)现有不同的红球4个,黄球5个,绿球6个,则下列说法正确的是( )
A.从中任选1个球,有15种不同的选法
B.若每种颜色选出1个球,有120种不同的选法
C.若要选出不同颜色的2个球,有31种不同的选法
D.若要不放回地依次选出2个球,有210种不同的选法
15.如图所示为一电路图,从A到B不同的线路中可通电的共有 条.
16.如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有 个.
17.现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
(1)从中任选1幅画布置房间,有几种不同的选法
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选1幅画布置房间,有几种不同的选法
(3)从这些画中任选出2幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法
18.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告和1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,宣传广告与公益广告不能连续播放,2个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式
C级 学科素养创新练
19.在如图1的电路中,只合上一个开关可以接通电路,有 种不同的方法;在如图2的电路中,合上两个开关可以接通电路,有 种不同的方法.
图1
图2
参考答案
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.B 由分类加法计数原理,某同学任选1本杂志阅读,不同的选法种数为4+3+2=9.
2.B 将3个不同的小球放入4个盒子中,每个小球不同放法的种数都为4.
根据分步乘法计数原理,不同放法的种数为4×4×4=64.
3.B 按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分成八类,
在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个.
由分类加法计数原理知,满足条件的两位数的个数为8+7+6+5+4+3+2+1=36.
4.D 由题意,选一本语文书一本数学书的选法种数为9×7=63,
选一本数学书一本英语书的选法种数为7×5=35,
选一本语文书一本英语书的选法种数为9×5=45.
根据分类加法计数原理,不同的选法种数为63+45+35=143.故选D.
5.B 因为食堂备有4种素菜,8种荤菜,2种汤,分三步:第1步,从素菜中任选一种,有4种选法;第2步,从荤菜中任选一种,有8种选法;第3步,从汤菜中任选一种,有2种选法.
根据分步乘法计数原理,可以配制出不同的套餐种数为4×8×2=64.
故选B.
6.A
7.15 分三类:第一类,一位数有1,2,3,共3个自然数;
第二类,两位数有12,21,23,32,13,31,共6个自然数;
第三类,三位数有123,132,213,231,321,312,共6个自然数.根据分类加法计数原理,所组成的自然数的个数为3+6+6=15.
8.解(1)选1人,有3类方案:
第1类,从教师中选1人,有3种不同的选法;
第2类,从男同学中选1人,有8种不同的选法;
第3类,从女同学中选1人,有5种不同的选法.
由分类加法计数原理,不同选法的种数为3+8+5=16.
(2)选教师、男同学、女同学各1人,分3个步骤进行:
第1步,选教师,有3种不同的选法;
第2步,选男同学,有8种不同的选法;
第3步,选女同学,有5种不同的选法.
由分步乘法计数原理,不同选法的种数为3×8×5=120.
9.B 拨动两枚算珠可分为以下三类:
第1类,在个位上拨动两枚,可表示2个不同整数.
第2类,在十位上拨动两枚,可表示2个不同整数.
第3类,在个位、十位上分别拨动一枚,由分步乘法计数原理易得,可表示2×2=4个不同整数.
根据分类加法计数原理,一共可表示2+2+4=8个不同整数.
故选B.
10.C 小张的报名方法有2种,其他3名同学的报名方法各有3种,由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×3=54种不同的报名方法,故选C.
11.A 依题意,若点落在第三、第四象限内,故纵坐标为负,第1步,从集合N中选一个负数,有2种选择;第二步,从集合M中任选一个数,有3种选择.由分步乘法计数原理得,落在第三、第四象限内的点的个数为3×2=6.
故选A.
12.B 设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班级分别为a,b,c,d.假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同的监考方法.同理A监考c,d时,也分别有3种不同的监考方法.
由分类加法计数原理得,监考方法共有3+3+3=9种.
13.D 把3个项目分配到4个体育馆,所有方案共有4×4×4=64种.
其中,3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方法,故满足条件的分配方案有64-4=60种.
14.ABD 从中任选1个球,有4+5+6=15种不同的选法,所以A选项正确;
若每种颜色选出1个球,有4×5×6=120种不同的选法,所以B选项正确;
若要选出不同颜色的2个球,有4×5+5×6+4×6=74种不同的选法,所以C选项错误;
若要不放回地依次选出2个球,有15×14=210种不同的选法,所以D选项正确.
故选ABD.
15.8 按上、中、下三条线路可分为三类:第一类,上线路有3条;
第二类,中线路有1条;
第三类,下线路有2×2=4条.
根据分类加法计数原理可得,可通电的线路条数为3+1+4=8.
16.40 满足条件的三角形有两类.第1类,与正八边形有两条公共边的三角形有8个;第2类,与正八边形有一条公共边的三角形有8×4=32个.
由分类加法计数原理,满足条件的三角形的个数为8+32=40.
17.解(1)从所有画中任选一幅画布置房间,有三类方案:第1类,从国画中选取,有5种选法;第2类,从油画中选取,有2种选法;第3类,从水彩画中选取,有7种选法.
由分类加法计数原理,知共有5+2+7=14种不同的选法.
(2)分三个步骤完成:第1步,国画有5种不同的选法;第2步,油画有2种不同的选法;第3步,水彩画有7种不同的选法.由分步乘法计数原理,知共有5×2×7=70种不同的选法.
(3)三类分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画.由分类加法计数原理和分步乘法计数原理,知共有5×2+2×7+5×7=59种不同的选法.
18.解用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序,则完成这件事有3类方法.
第1类,宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式;
第2类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式;
第3类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6.同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式.
由分类加法计数原理,得6个广告不同的播放方式共有36+36+36=108种.
19.5 6 对于图1,按要求接通电路,有两类方案:
第1类方案是合上A电路中2个开关的其中一个,第2类方案是合上B电路中3个开关的其中一个.
由分类加法计数原理,不同的方法有2+3=5种.
对于图2,按要求接通电路可以分两个步骤完成:
第一步,合上电路A中的一个开关,有2种方法;
第二步,合上电路B中的一个开关,有3种方法.
由分步乘法计数原理,不同的方法有2×3=6种.
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