6.2.3　组合　6.2.4　组合数--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学选择性必修第三册
6.2.3　组合　6.2.4　组合数
A级 必备知识基础练
1.[探究点一](多选题)下列问题不是组合问题的是 (　　)
　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.求把5本不同的书分给5个学生,每人一本的分法
B.求从7本不同的书中取出5本给某个同学的取法
C.某人射击8次,击中4次,且击中的4次中有3次连中,共有多少种不同的结果
D.10个人互发一个电子邮件,共发了多少个邮件
2.[探究点一·2024陕西汉中高三期末]二十四节气的划分如图所示.小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗.他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气,则小明选取节气的不同情况的种数是(　　)
A.90 B.180
C.220 D.360
3.[探究点三]从2,3,…,8中任意取三个不同的数字,组成无重复数字的三位数,要求个位数最大,百位数最小,则这样的三位数的个数为(　　)
A.35 B.42 C.105 D.210
4.[探究点二·2024福建龙岩高二期末]计算:=(　　)
A.34 B.35 C.36 D.37
5.[探究点三·2024广东茂名一模]从6名女生,3名男生中选出2名女生,1名男生,则不同的选取方法种数为(　　)
A.33 B.45 C.84 D.90
6.[探究点二](多选题)对于m,n∈N*且mA.
B.
C.
D.=(m+1)
7.[探究点三]已知集合P={1,2,3,4,5,6},则集合P的子集中含有3个元素的子集数为　　　　.
8.[探究点二]计算的值为　　　　　.
9.[探究点二·2024上海高二阶段练习]已知,则k=　　　　　　.
10.[探究点三·2024江西宜春高二期末]从4位男同学,5位女同学中选出3位同学,男女生都要有的选法有　　　　种.
11.[探究点三]现有5名男司机、4名女司机,需选派5人运货到某市.
(1)如果派3名男司机、2名女司机,共有多少种不同的选派方法
(2)至少有2名男司机,共有多少种不同的选派方法
B级 必备知识基础练
12.某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果有(　　)
A.种 B.种
C.种 D.种
13.已知圆上有9个点,每两点连一线段,所有线段在圆内的交点最多有(　　)
A.36个 B.72个 C.63个 D.126个
14.将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子里,每个盒内放一个球,恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为(　　)
A.120 B.240
C.360 D.720
15.从10名大学毕业生中选3人担任某公司助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)
A.28 B.49
C.56 D.85
16.一栋楼门口有8个台阶,已知小王一步可走一个或两个台阶,那么他走完台阶的不同走法种数为(　　)
A.28 B.32 C.34 D.40
17.(多选题)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某地区参与救援,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则N=(　　)
A.
B.
C.
D.
18.=　　　　　.
19.某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有　　　　种.
20.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有　　　　　条.
21.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲会议需2人参加,乙、丙两个会议各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法有　　　　　种.
C级 学科素养创新练
22.n位校验码是一种由n个“0”或“1”构成的数字传输单元,分为奇校验码和偶校验码.若一个校验码中有奇数个1,则称其为奇校验码,如5位校验码“01101”中有3个1,该校验码为奇校验码.那么6位校验码中的奇校验码的个数是(　　)
A.6 B.32 C.64 D.846
23.某校高二年级开设了“数学建模”“电影赏析”“经典阅读”“英语写作”四门校本选修课程,甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习,已知三人选择课程时互不影响,且每人选择每一门课程都是等可能的.
(1)求三位同学选择的课程互不相同的概率;
(2)若至少有两位同学选择“数学建模”,则三人不同的选课种数为多少
参考答案
6.2.3　组合　6.2.4　组合数
1.ACD　对于A,由于书不同,每种分法中每人拿到的也不同,有顺序之分,故它是排列问题;
对于B,从7本不同的书中,取出5本给某个同学,在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序,故它是组合问题;
对于C,易知它是排列问题;
对于D,发邮件与顺序有关,故它是排列问题.
2.C　小明选取节气的不同情况的种数为=220.故选C.
3.A　由于取出三个数字后大小次序已确定,只需把最小的数字放在百位,最大的数字放在个位,剩下的数字放在十位,因此满足条件的三位数的个数为=35.
4.A　由题意=3+6+10+15=34.故选A.
5.B　从6名女生中选出2名女生,有种选法;从3名男生中选出1名男生,有种选法.故不同的选取方法种数为=45.故选B.
6.ABC　根据组合数的性质与组合数的计算公式
,故A正确;
因为,所以,故B正确;
因为m!=,所以,故C正确;
因为,(m+1)=(m+1),故D不正确.
7.20　由于集合中的元素具有无序性,因此含3个元素的子集与元素顺序无关,是组合问题,共有=20个子集.
8.126　=126.
9.2或6　因为,
所以解得1≤k≤9,k∈Z.
又k=2k-2或k+2k-2=16,
解得k=2或k=6.
10.70　若选出1男2女,此时选法有=40种;
若选出2男1女,此时选法有=30种.
故男女生都要有的选法种数为40+30=70.
11.解 (1)从5名男司机中选派3名,有种方法,
从4名女司机中选派2名,有种方法.
根据分步乘法计数原理得,所选派的方法种数为=60.
(2)从9人中任选5人运货有种方法.
其中1名男司机、4名女司机有=5种选法.
所以至少有2名男司机的选派方法种数为-5=121.
12.D　由题意,初中部和高中部总共有400+200=600(人),按照比例分配的分层随机抽样的原理,应从初中部抽取60=40(人),从高中部抽取60=20(人).
第一步,从初中部抽取40人,有种方法,第二步,从高中部抽取20人,有种方法,
根据分步乘法计数原理,一共有种抽样结果.故选D.
13.D　此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线交点个数即为所求,所以交点最多为=126个.
14.B　根据题意,先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球,即从10个球中取出3个,有=120种,而这3个球的排法有2×1×1=2种,则共有120×2=240种放入方法.
15.B　依题意,满足条件的不同选法的种数为=49.
16.C　①若8步走完楼梯,即每步走一个台阶,有1种走法;
②若7步走完楼梯,即其中1步走两个台阶,剩余6步走一个台阶,有=7种走法;
③若6步走完楼梯,即其中2步走两个台阶,剩余4步走一个台阶,有=15种走法;
④若5步走完楼梯,即其中3步走两个台阶,剩余2步走一个台阶,有=10种走法;
⑤若4步走完楼梯,即4步走两个台阶,有1种走法.
不同的走法种数为1+7+15+10+1=34.故选C.
17.BC　13名医生,其中女医生6人,男医生7人.
(方法一　直接法)2男3女;3男2女;4男1女;5男,所以N=
(方法二　间接法)13名医生,任取5人,减去4、5名女医生的情况,即N=
故选BC.
18.220　=220.
19.10　依题意,就所剩余的1本进行分类:
第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;
第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有=6种.
因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10种.
20.126　要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走.因此,从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有=126种走法,故从A地到B地的最短路线共有126条.
21.2 520　从10人中选派4人有种方法,对选出的4人具体安排会议有种方法,由分步乘法计数原理知,不同的选派方法有=2 520种.
22.B　依题意,6位校验码中的奇校验码的个数是=6+20+6=32.故选B.
23.解 (1)三位同学选择课程共有43=64种情况,三位同学选择的课程互不相同共有=24种情况,
所以三位同学选择的课程互不相同的概率为
(2)分两种情况讨论:①有两位同学选择“数学建模”,共有=9种不同的情况;
②有三位同学选择“数学建模”,有1种情况.
由分类加法计数原理,得三人不同的选课种数为9+1=10.
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