6.3.2　二项式系数的性质--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学选择性必修第三册
6.3.2　二项式系数的性质
A级 必备知识基础练
1.[探究点二]已知展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含x项的系数是(　　)
A.5 B.20 C.10 D.40
2.[探究点一·2024四川雅安统考一模](1-x)10的展开式中,系数最小的项是(　　)
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第7项
3.[探究点二]的展开式中只有第5项的二项式系数最大,若展开式中所有项的系数和为256,则a的值为(　　)
A.1 B.-1
C.3 D.1或-3
4.[探究点二]若(x2+x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a1+a3+a5+a7+a9=(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
5.[探究点一、二](多选题)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则下列结论正确的是 (　　)
A.a2+a5=588
B.a1+a2+…+a7=1
C.a1+a3+a5+a7=
D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1
6.(多选题)关于(a-b)11的说法,正确的是(　　)
A.展开式中的二项式系数之和为2 048
B.展开式中只有第6项的二项式系数最大
C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最大
7.[探究点二]若(3-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=　　　　　.
8.[探究点二]设(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a6(2x-1)6,则=　　　　　.
9.[探究点二]已知(1+m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256,展开式中含x的项的系数为112.
(1)求m,n的值;
(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和;
(3)求(1+m)n(1-x)的展开式中含x2的项的系数.
B级 必备知识基础练
10.在n的展开式中,所有奇数项系数之和为1 024,则中间项系数是(　　)
A.330 B.462 C.682 D.792
11.若(1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024(x∈R),则+…+的值为(　　)
A.2 B.0 C.-2 D.-1
12.[2024河南高三校联考阶段练习]已知x++a5(a∈R)展开式的各项系数之和为-1,则展开式中x2的系数为(　　)
A.270 B.-270 C.330 D.-330
13.已知(2x-1)n二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则+…+=　　　　　.
C级 学科素养创新练
14.已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,则展开式中含x2项的系数的最小值为　　　　　.
参考答案
6.3.2　二项式系数的性质
1.C　根据题意,x2+n展开式的二项式系数之和为32,则2n=32,可得n=5,
故展开式的通项为Tk+1=x2(5-k)·x-k=x10-3k.
令10-3k=1,解得k=3,
所以展开式中含x项的系数是=10.故选C.
2.C　依题意,(1-x)10展开式的通项为Tr+1=(-x)r=(-1)rxr,其系数为(-1)r
当r为奇数时,(-1)r才能取得最小值,
所以当r=5时,(-1)r取得最小值,即第6项的系数最小.故选C.
3.D　∵展开式中只有第5项的二项式系数最大,∴展开式共有9项,即n=8.
令x=1,则所有项的系数和为(1+a)8=256,解得a=1或a=-3.故选D.
4.C　∵(x2+x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
令x=1,则(1+1-1)5=a0+a1+a2+…+a10,即a0+a1+a2+…+a10=1; ①
令x=-1,则(1-1-1)5=a0-a1+a2-…+a10,即a0-a1+a2-…+a10=-1. ②
①-②得,
2(a1+a3+a5+a7+a9)=2,即a1+a3+a5+a7+a9=1.故选C.
5.ACD　因为(2x-1)7展开式的通项为
Tk+1=(2x)7-k(-1)k=(-1)k27-kx7-k,
又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,
所以a2=(-1)5×27-5=-84,a5=(-1)2×27-2=672,则a2+a5=588,故A正确;
令x=1,则(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1,
令x=0,则(0-1)7=a0=-1;
令x=-1,则(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37,
故a1+a2+…+a7=1-a0=2,即B错误;
a1+a3+a5+a7=,即C正确;
|a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37-1,即D正确.
6.AC　(a-b)11的展开式中的二项式系数之和为211=2 048,故A正确;
因为n=11为奇数,所以展开式中有12项,中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大,故B不正确,C正确;展开式中第6项的系数为负数,不是最大值,故D不正确.
故选AC.
7.45　令x=1,则25=a0+a1+a2+a3+a4+a5,
令x=-1,则45=a0-a1+a2-a3+a4-a5,
故=a0+a2+a4,=a1+a3+a5,
则有|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|==45.
8.-　令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=1,令x=0,得a0-a1+a2-…+a6=64,两式相减得2(a1+a3+a5)=-63,两式相加得2(a0+a2+a4+a6)=65,故=-
9.解(1)由题意可得2n=256,解得n=8.Tk+1=mk,含x项的系数为m2=112,解得m=2或m=-2(舍去).故m,n的值分别为2,8.
(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为=28-1=128.
(3)(1+2)8(1-x)=(1+2)8-x(1+2)8,
所以含x2的项的系数为24-22=1 008.
10.B　∵二项展开式中各项的二项式系数之和为2n,而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等,故由题意得2n-1=1 024,
∴n=11,
∴展开式共12项,中间项为第6项、第7项,其系数为=462.
11.D　(1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024,
令x=0,得a0=1,令x=,得1-22 024=a0++…+=0,所以+…+=-1.
12.D　令x=1,则(1+1+a)5=-1,得a=-3,
所以x+-35=x+5+x+4·(-3)+x+3(-3)2+x+2(-3)3+x+(-3)4+(-3)5.
又因为只有x+4·(-3),x+2·(-3)3的展开式中有含x2的项,
所以x2的系数为(-3)+(-3)3=-330.故选D.
13.255　设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇数项的系数和为A,偶数项的系数和为B.
则A=a1+a3+a5+a7+…,B=a0+a2+a4+a6+….
由已知可知,B-A=38.令x=-1,
得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,
即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n,
∴(-3)n=38=(-3)8,
∴n=8.
由二项式系数的性质,可得+…+=2n-=28-1=255.
14.272　(1+2x)m+(1+4x)n的展开式中含x的项为
2x+4x=(2+4)x,
∴2+4=36,即m+2n=18,(1+2x)m+(1+4x)n的展开式中含x2的项的系数为t=22+42=2m2-2m+8n2-8n,
∵m+2n=18,
∴m=18-2n,
∴t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n=16n2-148n+612=16n2-n+,
∴当n=时,t取最小值,但n∈N*,
∴当n=5时,含x2项的系数最小,最小值为272.
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