7.3.2　离散型随机变量的方差--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学选择性必修第三册
7.3.2　离散型随机变量的方差
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]设随机变量X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)1-k(k=0,1),则E(X),D(X)的值分别是(　　)
A.0和1 B.p和p2
C.p和1-p D.p和(1-p)p
2.[探究点二]已知随机变量X满足E(2X-1)=2,D(2X-1)=4,则(　　)
A.E(X)=2,D(X)=
B.E(X)=,D(X)=
C.E(X)=,D(X)=1
D.E(X)=2,D(X)=1
3.[探究点二·2024吉林通化高二期末]若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论不正确的是(　　)
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=2 D.D(X)=
4.[探究点三]由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
X1(甲得分) 0 1 2
P 0.2 0.5 0.3
X2(乙得分) 0 1 2
P 0.3 0.3 0.4
现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好(　　)
A.甲 B.乙
C.甲、乙均可 D.无法确定
5.[探究点一](多选题)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则(　　)
A.X的可能取值为0,1 B.X服从两点分布
C.E(X)=1 D.D(X)=
6.[探究点一]随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=　　　　　　.
7.[探究点二]设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)=　　　　　,D(X)=　　　　　.
8.[探究点一]已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
若E(X)=.
(1)求D(X)的值;
(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.
9.[探究点三·湘教版教材例题]某人欲投资10万元,有两种方案可供选择.设X表示方案一所得收益(单位:万元),Y表示方案二所得收益(单位:万元).其分布列分别为
X -2 8
P 0.7 0.3
Y -3 12
P 0.7 0.3
假定同期银行利率为1.75%,该人征求你的意见,你通过分析会得到怎样的结论呢
B级 必备知识基础练
10.已知X的分布列如表所示.
X -1 0 1
P
有下列式子:①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=.其中正确的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
11.(多选题)为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况,在该市中小学中随机抽取了10所学校,10所学校中了解这个项目的人数如图所示.
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动,记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数,则(　　)
A.X的可能取值为0,1,2,3
B.P(X=0)=
C.E(X)=
D.D(X)=
12.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则(　　)
A.抽取2次后停止取球的概率为
B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为
C.取球次数ξ的均值为2
D.取球次数ξ的方差为
13.甲、乙、丙三人参加某比赛三个赛区的志愿服务活动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则(　　)
A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)
B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)
C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)
D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)
14.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x115.若随机变量X的分布列为P(X=m)=,P(X=n)=a,若E(X)=2,则D(X)的最小值为　　　　　　.
16.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X.
(1)求X的分布列及方差D(X);
(2)若ξ=aX+2,且D(ξ)=33.6,求实数a的值.
C级 学科素养创新练
17.某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令X表示走出迷宫所需的时间.
(1)求X的分布列;
(2)求X的均值和方差.
参考答案
7.3.2　离散型随机变量的方差
1.D　由X的分布列知,P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,
故E(X)=0×(1-p)+1×p=p,易知X服从两点分布,
∴D(X)=p(1-p).
2.C　因为E(2X-1)=2E(X)-1=2,得E(X)=
因为D(2X-1)=4D(X)=4,得D(X)=1.故选C.
3.D　因为随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,所以P(X=1)=,
则E(X)=0+1=P(X=1),D(X)=0-2+1-2,
E(3X+2)=3E(X)+2=4,D(3X+2)=9D(X)=2.
故D错误,A,B,C正确.故选D.
4.A　∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)则甲比乙得分稳定,故派甲运动员参加较好.
5.ABD　由已知X的可能取值为0,1,且服从两点分布.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
∴E(X)=0+1,
D(X)=
6　设P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b,
则解得
所以D(ξ)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2
7.2　8　随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(Y)=2E(X)+b=4+b.
所以E(X)=2.
D(Y)=D(2X+b)=4D(X)=32,所以D(X)=8.
8.解(1)由+p=1,得p=
又E(X)=0+1x=,所以x=2.
D(X)=0-2
(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.
9.解 由期望和方差的计算公式,得
E(X)=-2×0.7+8×0.3=1,
E(Y)=-3×0.7+12×0.3=1.5,
D(X)=(-2-1)2×0.7+(8-1)2×0.3=21,
D(Y)=(-3-1.5)2×0.7+(12-1.5)2×0.3=47.25,
由于同期银行利率为1.75%,所以若将10万元存入银行,可得利息(无风险收益)10×1.75%=0.175(万元).从期望收益的角度来看,两种投资方案都可以带来额外的收益,但都要冒一定的风险.方案一的期望收益小于方案二,但方案一的风险也小于方案二.所以,如果想稳赚而不冒任何风险,就选择存入银行;如果想多赚点又不想风险太大就选择方案一;如果想多赚又不怕风险就选择方案二.
10.C　E(X)=(-1)+0+1=-,故①正确.
D(X)=,故②不正确.
由分布列知③正确.
11.BD　根据题意,X的可能取值为0,1,2,其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所,了解冰壶的人数在30以下的学校有6所,
所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)=0+1+2,D(X)=0-2+1-2+2-2,
所以选项B,D正确,选项A,C错误.故选BD.
12.BD　设取球次数为ξ,则ξ的可能取值为1,2,3,则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=
对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=,A选项错误;
对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=,B选项正确;
对于C选项,取球次数ξ的均值为E(ξ)=1+2+3,C选项错误;
对于D选项,取球次数ξ的方差为D(ξ)=1-2+2-2+3-2,D选项正确.
13.D　由题意得X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以E(X)=1+2+3,D(X)=1-2+2-2+3-2
Y的可能取值为0,1,2,则P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,
所以E(Y)=0+1+2,D(Y)=0-2+1-2+2-2
故E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).故选D.
14.3　由已知得
即
解得
又x115.0　由分布列的性质知,a+=1,得a=
∵E(X)=2,=2,∴m=6-2n.
∴D(X)=(m-2)2+(n-2)2
=(6-2n-2)2+(n-2)2
=2n2-8n+8
=2(n-2)2,
故当n=2时,D(X)取最小值0.
16.解(1)X的所有可能取值为6,9,12.
P(X=6)=,P(X=9)=,
P(X=12)=,
∴X的分布列为
X 6 9 12
P
∴E(X)=6+9+12=7.8,D(X)=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.
(2)由(1),可知D(ξ)=D(aX+2)=a2D(X)=3.36a2=33.6,解得a=±
17.解(1)X的所有可能取值为1,3,4,6,
当X=1时,直接从1号通道走出,则P(X=1)=;
当X=3时,先走2号通道,再走1号通道,
则P(X=3)=;
当X=4时,先走3号通道,再走1号通道,
则P(X=4)=;
当X=6时,先走2号通道,再走3号通道,最后再走1号通道,或者先走3号通道,再走2号通道,最后再走1号通道,则P(X=6)=21=所以X的分布列为
X 1 3 4 6
P
(2)E(X)=1+3+4+6,D(X)=1-2+3-2+4-2+6-2
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