7.4.1　二项分布--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学选择性必修第三册
7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是,则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是(　　)
A. B. C. D.
2.[探究点一](多选题)随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法错误的有(　　)
A.每次出现正面向上的概率为0.5
B.第一次出现正面向上的概率为0.5,第二次出现正面向上的概率为0.25
C.出现n次正面向上的概率为0.510
D.出现n次正面向上的概率为0.5n
3.[探究点二·2024辽宁鞍山高二期末]在3重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A发生的次数X的期望和方差分别为(　　)
A. B.
C. D.
4.[探究点三]唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.[探究点一]某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任意一个片区的房源是等可能的.该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为　　　　　　.
6.[探究点一]位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位长度,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P连续移动五次后位于点(2,3)的概率是　　　　　　.
7.[探究点三]将一枚均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为　　　　　.
8.[探究点二·人教B版教材习题]已知某类种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,求E(X),D(X).
9.[探究点三]某大学学生宿舍4人参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个网站购物,掷出点数为5或6的人去A网购物,掷出点数小于5的人去B网购物,且参加者必须从A网和B网选择一家购物.
(1)求这4个人中恰有1人去A网购物的概率;
(2)用ξ,η分别表示这4个人中去A网和B网购物的人数,令X=ξη,求随机变量X的分布列.
B级 必备知识基础练
10.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)
A.[0.4,1) B.(0,0.4]
C.(0,0.6] D.[0.6,1)
11.(多选题)若随机变量X~B5,,则P(X=k)最大时,k的值可以为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
12.某人抛掷一枚硬币,出现正、反面的概率都是,构造数列{an},使得an=记Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),则S4=2的概率为　　　　　.
13.用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布,两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”.双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率;
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X,求X的分布列.
C级 学科素养创新练
14.掷骰子游戏:规定掷出1点,甲盒中放一球,掷出2点或3点,乙盒中放一球,掷出4点、5点或6点,丙盒中放一球,共掷6次,用x,y,z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数.令X=x+y,则E(X)=　　　　　.
15.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率.
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.
(3)假设每人连续2次未击中目标,则终止其射击.问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少
参考答案
7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
1.A　设A=“出现正误差”,则P(A)=用X表示事件A发生的次数,则X~B5,.
恰好出现2次正误差等价于X=2,于是P(X=2)=2×3=
2.BD　对于A,每次出现正面向上的概率都是0.5,故A正确;
对于B,第一次出现正面向上的概率为0.5,第二次出现正面向上的概率为0.5,故B错误;
对于C,出现n次正面向上的概率为0.5n0.510-n=0.510,故C正确,D错误.故选BD.
3.D　设事件A在每次试验中发生的概率为p∈(0,1),则X~B(3,p).
因为事件A至少发生一次的概率为,可得1-(1-p)3=,解得p=,
所以X~B3,.所以E(X)=3,D(X)=3故选D.
4.A　该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮,
有两天出现大潮的概率为2,
有三天出现大潮的概率为3=,
所以至少有两天出现大潮的概率为
5　每位申请人申请房源为一次试验,这是4次独立重复试验,设申请A片区房源记为事件D,则P(D)=,所以恰有2人申请A片区的概率为2×2=
6.　如图,由题意可知,质点P必须向右移动2次,向上移动3次才能到点(2,3)的位置,问题相当于在5次独立重复试验中,事件“质点P向右移动2次”的概率,故所求概率为2×3=5=
7　正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次、5次或6次,所求概率P=6+6+6=
8.解 根据题意,每粒种子发芽的概率为0.9,则种子不发芽的概率为0.1,不发芽种子数ξ服从二项分布B(1 000,0.1),即ξ~B(1 000,0.1),所以E(ξ)=1 000×0.1=100,D(ξ)=1 000×0.1×(1-0.1)=90.而对于没有发芽的种子,每粒需要再补种2粒,补种的种子数记为X,则X=2ξ,所以E(X)=2E(ξ)=200,D(X)=4D(ξ)=4×90=360.
9.解依题意,得这4个人中,每个人去A网购物的概率为,去B网购物的概率为设“这4个人中恰有i人去A网购物”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),
则P(Ai)=i4-i(i=0,1,2,3,4).
(1)这4个人中恰有1人去A网购物的概率为3=
(2)X的所有可能取值为0,3,4,
则P(X=0)=P(A0)+P(A4)=0×4+4×0=,
P(X=3)=P(A1)+P(A3)=1×3+3×1=,
P(X=4)=P(A2)=2×2=
所以随机变量X的分布列为
X 0 3 4
P
10.A　由题意得,p(1-p)3p2(1-p)2,
∴4(1-p)≤6p.
∵0∴0.4≤p<1.
11.AB　依题意得P(X=k)=k5-k,
k=0,1,2,3,4,5.
则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
P(X=4)=,P(X=5)=
故当k=1或k=2时,P(X=k)最大.
12　S4=2,即4次中有3次正面1次反面,则所求概率P=3
13.解(1)用x1,x2分别表示玩家甲、乙双方在1次游戏中出示的手势,则可用(x1,x2)表示玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的可能结果,则样本空间Ω={(石头,石头),(石头,剪刀),(石头,布),(剪刀,石头),(剪刀,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),(布,剪刀),(布,布)},共有9个样本点.玩家甲胜玩家乙的样本点分别是(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),共有3个.
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P=
(2)X的可能取值分别为0,1,2,3,X~B,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
14.3　将每一次掷骰子看作一次试验,试验的结果分丙盒中放入球(成功)和丙盒中不放入球(失败)两种,且丙盒中放入球(成功)的概率为,设Z表示6次试验中成功的次数,则Z~B6,,
∴E(Z)=3,
∴E(X)=E(6-Z)=6-E(Z)=6-3=3.
15.解(1)记“甲射击4次,至少有1次未击中目标”为事件A1,则事件A1的对立事件为“甲射击4次,全部击中目标”.由题意知,射击4次相当于做4次独立重复试验.
故P()=4=
所以P(A1)=1-P()=1-
所以甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率为
(2)记“甲射击4次,恰好有2次击中目标”为事件A2,“乙射击4次,恰好有3次击中目标”为事件B2,
则P(A2)=2×1-2=,
P(B2)=3×1-1=
由于甲、乙射击相互独立,
故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=
所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为
(3)记“乙恰好射击5次后,被终止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Di(i=1,2,3,4,5),
则A3=D5D4D1∪D2),且P(Di)=
由于各事件相互独立,故P(A3)=P(D5)P(D4)P()·P(D1∪D2)=1-=
所以乙恰好射击5次后,被终止射击的概率为
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