7.5　正态分布--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学选择性必修第三册
7.5　正态分布
(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
A级 必备知识基础练
1.[探究点二·2024浙江宁波高二期末]已知随机变量X~N(20,22),则P(X<16)≈(　　)
A.0.022 75 B.0.158 8
C.0.158 65 D.0.341 35
2.[探究点三]某厂生产的零件外径X~N(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件,测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm,则可认为(　　)
　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.上午生产情况正常,下午生产情况异常
B.上午生产情况异常,下午生产情况正常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常
3.[探究点一]如图所示是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线的图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是(　　)
A.σ1>1>σ2>σ3>0
B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2>1>σ3>0
D.0<σ1<σ2=1<σ3
4.[探究点二]为了解全市高三学生身体素质状况,对某校高三学生进行了体能抽样测试,得到学生的体育成绩X~N(70,100),其中60分及以上为及格,90分及以上为优秀,则下列说法正确的是(　　)
A.该校学生体育成绩的方差为10
B.该校学生体育成绩的期望为85
C.该校学生体育成绩的及格率小于85%
D.该校学生体育成绩的优秀率大于3%
5.[探究点二]已知随机变量X服从正态分布N(100,4),若P(m≤X≤104)≈0.135 9,则m等于(　　)
A.100 B.101
C.102 D.103
6.[探究点二]已知X~N(4,σ2),且P(2≤X≤6)≈0.682 7,则σ=　　　　　,P(|X-2|≤4)≈　　　　　.
7.[探究点二]某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为　　　　.
8.[探究点一、二]已知某地外来务工人员年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.
(1)写出此地外来务工人员年均收入的正态密度函数解析式;
(2)估计此地外来务工人员年均收入在8 000~8 500元的人数所占的百分比.
9.[探究点三·2024广西高二期末]某校团委组织学生开展了某知识竞赛活动,现从参加该活动的学生中随机抽取了100名,统计出他们竞赛成绩分布如下:
成绩/分 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
人数 2 4 22 40 28 4
已知抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分=75.
(1)求抽取的100名学生竞赛成绩的方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
(2)以频率估计概率,发现我校参赛学生竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均分,σ2近似为样本方差s2,若μ-σ≤X≤μ+2σ,参赛学生可获得“参赛纪念证书”;若X>μ+2σ,参赛学生可获得“参赛先锋证书”.
①若我校有3 000名学生参加本次竞赛活动,试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数(结果保留整数);
②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”.
B级 必备知识基础练
10.若随机变量X的正态密度函数为f(x)=,X在(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为(　　)
A.p1>p2 B.p1C.p1=p2 D.不确定
11.(多选题)[2024新高考Ⅰ改编]为了解某种植区推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(　　)
(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z≤μ+σ)≈0.841 35)
A.P(X>2)>0.2
B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5
D.P(Y>2)<0.8
12.在某市高三质量检测考试中,学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市学生有9 455人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第(　　)
A.1 500名 B.1 700名
C.4 500名 D.8 000名
13.[2024辽宁大连二十四中高二校考期中]设随机变量X~N(0,1),f(x)=P(X≥x),其中x>0,则下列等式成立的是(　　)
A.f(2x)=2f(x)
B.f(-x)=1-f(x)
C.P(X≤x)=2f(x)-1
D.P(|X|>x)=2-f(x)
14.(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),其正态曲线在(-∞,80]上单调递增,在[80,+∞)内单调递减,且P(72≤X≤88)≈0.682 7,则下列说法正确的有(　　)
A.μ=80
B.σ=4
C.P(X>64)≈0.977 25
D.P(6415.(多选题)下列说法正确的有(　　)
A.设随机变量X服从二项分布B6,,则P(X=3)=
B.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X≤4)=0.9,则P(0≤X≤2)=0.4
C.已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|≤2)=a,则P(X>2)的值为
D.已知X是一个离散型随机变量,则E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+3
16.已知随机变量X~N(4,1),且P(X>2m-1)=P(X17.某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6,现从该生产线上随机抽取10片瓷砖,记Y表示800≤X<801的瓷砖片数,则E(Y)=　　　　　.
18.某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84).
(1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73 mm,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据;
(2)如果钢管的直径X在60.6 mm~69.4 mm之间为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数Y的分布列和数学期望.(精确到0.01)
C级 学科素养创新练
19.某市教育局为了了解高三学生的体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分),经分析,全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2),已知P(X<75)=0.3,P(X>95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三位同学.
(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间(80,85),(85,95),(95,100)内各有一位同学的概率;
(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间(75,85)内的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).
参考答案
7.5　正态分布
1.A　由题意可得μ=20,σ=2,则P(16≤ξ≤24)≈0.954 5,
所以P(X<16)=[1-P(16≤ξ≤24)]≈0.022 75.
故选A.
2.A　因测量值X为随机变量,又X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,记I=[μ-3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],则9.9∈I,9.3 I.故选A.
3.D　当μ=0,σ=1时,正态曲线f(x)=在x=0处取最大值,故σ2=1.
由正态曲线的性质,得当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,反之越“矮胖”.故选D.
4.C　因为X~N(70,100),所以该校学生体育成绩的期望为70,方差为100,故A,B均不正确;
因为60分及以上为及格,
所以P(X≥60)=1-0.841 35<0.85,故C正确;
因为90分及以上为优秀,所以P(X≥90)=0.022 75<0.03,故D不正确.
故选C.
5.C　∵随机变量X服从正态分布N(100,4),
∴P(98≤X≤102)≈0.682 7,P(96≤X≤104)≈0.954 5,
∴P(102≤X≤104)(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
又P(m≤X≤104)≈0.135 9,∴m=102.
6.2　0.84　∵X~N(4,σ2),∴μ=4.
∵P(2≤X≤6)≈0.682 7,
∴σ=2.
∴P(|X-2|≤4)=P(-2≤X≤6)=P(-2≤X≤2)+P(2≤X≤6)=[P(-2≤X≤10)-P(2≤X≤6)]+P(2≤X≤6)=P(-2≤X≤10)+P(2≤X≤6)0.997 3+0.682 7=0.84.
7.10　由题意知,P(ξ>110)==0.2,
故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.
8.解设此地外来务工人员年均收入X~N(μ,σ2),
结合题图可知,μ=8 000,σ=500.
(1)此地外来务工人员年均收入的正态密度函数解析式为
f(x)=,x∈R.
(2)∵P(7 500≤X≤8 500)=P(8 000-500≤X≤8 000+500)≈0.682 7,
∴P(8 000≤X≤8 500)=P(7 500≤X≤8 500)≈0.341 35=34.135%.
故此地外来务工人员年均收入在8 000~8 500元的人数所占的百分比约为34.135%.
9.解 (1)由题意,抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分=75,
所以这100名学生竞赛成绩的方差
s2=(45-75)2+(55-75)2+(65-75)2+(75-75)2+(85-75)2+(95-75)2=100.
(2)①由于μ近似为样本成绩平均分,σ2近似为样本成绩方差s2,
所以竞赛成绩X近似地服从正态分布N(75,102).
因此竞赛学生获得“参赛纪念证书”的概率为
P(μ-σ≤X≤μ+2σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)0.682 7+0.954 5=0.818 6.
3 000×0.818 6=2 455.8≈2 456,
故估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为2 456.
②当X>μ+2σ,即X>95时,参赛学生可获得“参赛先锋证书”,
所以竞赛成绩为96分的学生能获得“参赛先锋证书”.
10.C　由题意知μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称,所以p1=p2.
11.BC　由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).
∵P(X≤1.8+0.1)≈0.841 35,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 65.∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)≈0.158 65,∴A错误.P(X>2)1.8)=0.5,∴B正确.∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y≤2.1+0.1)≈0.841 35,∴C正确,D错误.故选BC.
12.A　因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),
所以P(X>108)=[1-P(88≤X≤108)]=[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)](1-0.682 7)=0.158 65.所以0.158 65×9 455≈1 500.
13.B　因为随机变量X~N(0,1),
所以正态曲线关于直线x=0对称.
因为f(x)=P(X≥x)(x>0),
所以根据正态曲线的对称性可得f(-x)=P(X因为f(2x)=P(X≥2x),2f(x)=2P(X≥x),故A错误;
P(X≤x)=1-P(X≥x)=1-f(x),故C错误;
P(|X|>x)=P(X>x)+P(X<-x)=2f(x),故D错误.
故选B.
14.ACD　因为正态曲线在(-∞,80]上单调递增,在[80,+∞)内单调递减,所以正态曲线关于直线x=80对称,所以μ=80,故A正确;因为P(72≤X≤88)≈0.682 7,结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,可知σ=8,故B错误;
因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,且P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)(1-0.954 5)=0.045 5=0.022 75,所以P(X>64)≈0.977 25,故C正确;
因为P(X<72)=(1-P(72≤X≤88))(1-0.682 7)=0.158 65,
所以P(6464)-P(X>72)≈0.977 25-(1-0.158 65)=0.135 9,故D正确.
15.AB　∵随机变量X服从二项分布B6,,
则P(X=3)=3×1-3=,故A正确;
∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴正态曲线的对称轴是直线x=2,
∵P(X≤4)=0.9,
∴P(2≤X≤4)=0.4,
∴P(0≤X≤2)=P(2≤X≤4)=0.4,故B正确;
已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|≤2)=a,
则P(X>2)=[1-P(|X|≤2)]=,故C错误;
已知X是一个离散型随机变量,则E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X),故D错误.
16.3　因为X~N(4,1),所以正态曲线关于直线x=4对称.又因为P(X>2m-1)=P(X17.1　由题意,X~N(800,σ2),所以正态曲线关于直线X=800对称,所以P(X<800)=0.5.
因为P(X<801)=P(X<800)+P(800≤X<801)=0.6,
所以P(800≤X<801)=0.6-0.5=0.1.
由题意,Y~B(10,0.1),所以E(Y)=10×0.1=1.
18.解(1)由题得μ=65,σ=2.2,μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6,
∴P(X>71.6)==0.001 35,而73∈(μ+3σ,+∞),此事件为小概率事件,故该质检员的决定有道理.
(2)因为μ=65,σ=2.2,μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,由题意可知钢管直径满足μ-2σ≤X≤μ+2σ为合格品,
所以该批钢管为合格品的概率约为0.95,
所以在60根钢管中,合格品约57根,次品约3根,任意挑选3根,则次品数Y的可能取值为0,1,2,3.
P(Y=0)=,
P(Y=1)=,
P(Y=2)=,
P(Y=3)=
则次品数Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
所以E(Y)=0+1+2+3=0.15.
19.解(1)P(80故所求概率P=0.2×0.2×0.1=0.024.
(2)P(75P(ξ=0)=0.63=0.216,
P(ξ=1)=0.4×0.62=0.432,
P(ξ=2)=0.42×0.6=0.288,
P(ξ=3)=0.43=0.064.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
E(ξ)=3×0.4=1.2.
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