8.3.1　分类变量与列联表　8.3.2　独立性检验--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教A版数学选择性必修第三册
8.3　列联表与独立性检验
8.3.1　分类变量与列联表　8.3.2　独立性检验
参考数据:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]为考察某种药物对某种疾病的治疗效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高堆积条形图,最能体现该药物对治疗该种疾病有效果的等高堆积条形图是(　　)
2.[探究点一、二]有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如下所示的2×2列联表:
单位:人
班级 成绩 合计
优秀 非优秀
甲班 10 b
乙班 c 30
合计
已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是(　　)
A.列联表中c的值为30,b的值为35
B.列联表中c的值为15,b的值为50
C.根据α=0.05的独立性检验,认为成绩与班级有关联,此推断犯错误的概率不超过0.05
D.根据α=0.05的独立性检验,认为成绩与班级没有关联
3.[探究点三]疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行,用于人体预防接种的生物制品,其前期研发过程中,一般都会进行动物保护测试,为了考察某种疫苗预防效果,在进行动物试验时,得到如下2×2列联表:
单位:只
注射疫苗情况 发病情况 合计
未发病 发病
未注射 20
已注射 30
合计 50 50 100
零假设为H0:该种疫苗对传染病无效.现从试验动物中任取一只,取到已注射疫苗的动物概率为,则下列判断错误的是(　　)
A.已注射疫苗发病的动物数为10
B.从该试验未注射疫苗的动物中任取一只,发病的概率为
C.能在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为该疫苗有效
D.该疫苗的有效率为75%
4.[探究点二]在对某小学的学生进行吃零食的调查中,得到数据如下表:
单位:人
性别 零食 合计
吃零食 不吃零食
男 27 34 61
女 12 29 41
合计 39 63 102
根据上述数据分析,可得χ2约为　　　　.
5.[探究点二]在研究某种新措施对猪白痢的防治效果问题时,得到以下数据:
单位:头
新措施 存活情况 合计
存活数 死亡数
未采取新措施 114 36 150
采取新措施 132 18 150
合计 246 54 300
试根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断新措施对防治猪白痢是否有效.
B级 必备知识基础练
6.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立,某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查.零假设为H0:英语词汇量与阅读水平无关.经过计算,χ2的观测值为7,根据这一数据分析,下列说法正确的是(　　)
A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为英语词汇量与阅读水平无关
B.在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为英语词汇量与阅读水平有关
C.依据小概率值α=0.001的独立性检验,认为英语词汇量与阅读水平有关
D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,可以认为英语词汇量与阅读水平有关
7.千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气,得到如下2×2列联表:
单位:天
日落云里走 夜晚天气 合计
下雨 未下雨
出现 25 5 30
未出现 25 45 70
合计 50 50 100
计算得到χ2≈19.05,下列小波对地区A天气判断不正确的是(　　)
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C.在犯错误的概率不大于0.001的前提下,认为“日落云里走”与“夜晚下雨”有关联
D.依据α=0.001的独立性检验,认为“日落云里走”与“夜晚下雨”无关联
8.对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示:
单位:人
手术 心脏病 合计
又发作过 未发作过
心脏搭桥 39 157 196
血管清障 29 167 196
合计 68 324 392
试根据上述数据计算χ2≈　　　　　,根据小概率值α=0.1的独立性检验,这两种手术对病人又发作心脏病的影响　　　　　差别.(填“有”或“没有”)
9.书籍是文化的重要载体,读书是继承文化的重要方式.某地区为了解学生课余时间的读书情况,随机抽取了n名学生进行调查,根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图,将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”,日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”.已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人.
(1)求n,p的 值.
(2)根据已知条件完成下面的2×2列联表,依据α=0.05的独立性检验能否认为“读书之星”与性别有关联
单位:人
性别 非读书之星 读书之星 合计
男
女 10 55
合计
(3)将上述调查所得到的频率视为概率,现从该地区大量学生中随机抽取3名学生,每次抽取1名,已知每个人是否被抽到互不影响,记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X,求X的分布列和均值E(X).
10.[2024吉林长春高二期末]为探究药物A对疾病B的治疗效果,将40名患者均分为两组,分别为对照组(未服药)和实验组(服药).
(1)任取两名患者,已知其中一名患者在实验组的条件下,求另一名患者在对照组的概率.
(2)测得40名患者血液中的某个指标数据如下(单位:mg).
对照组:
18.3　19.4　20.1　21.4　22.6　23.4　24.4
24.9　25.3　25.9　26.2　26.7　26.8　26.8
26.9　27.3　27.4　27.5　27.6　35.3
实验组:
4.4　5.3　5.8　6.9　7.3　8.1　8.4　9.0　10.4　13.2　13.4　16.3　18.2　19.3　23.6
24.1　24.5　24.7　25.2　25.3
①求这40名患者血液中的该指标数据的中位数m,并完成下面2×2列联表.
单位:人
药物A 疾病B 合计
对照组
实验组
合计
②依据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为药物A对治疗疾病B有效呢
C级 学科素养创新练
11.某工厂为了提高生产效率,对生产设备进行了技术改造,为了对比技术改造前后的效果,采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位:天)数据,整理如下:
改造前:19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21
改造后:32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36
(1)完成下面的列联表,依据α=0.01的独立性检验,能否据此判断技术改造前后的连续正常运行时间有差异
单位:天
技术改造 时间 合计
超过30天 不超过30天
改造前
改造后
合计
(2)工厂的生产设备需要进行维护,工厂对生产设备的维护费用包括正常维护费和保障维护费两种.对生产设备设定维护周期为T天,即从开工运行到第kT天(k∈N*)进行维护.生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期,每个维护周期相互独立.在一个维护周期内,若生产设备能连续运行,则只产生一次正常维护费,而不会产生保障维护费;若生产设备不能连续运行,则除产生一次正常维护费外,还会产生保障维护费.经测算,正常维护费为0.5万元/次;保障维护费第一次为0.2万元/周期,此后每增加一次保障维护费增加0.2万元.现制定生产设备一个生产周期(以120天计)内的维护方案:T=30,k=1,2,3,4.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率,求一个生产周期内维护费用的分布列及均值.
参考答案
8.3　列联表与独立性检验
8.3.1　分类变量与列联表
8.3.2　独立性检验
1.C　根据四个列联表对应的等高堆积条形图知,选项C中不服药与服药时患该种疾病的差异最大,它最能体现该药物对预防该种疾病有效果.故选C.
2.C　由题意知,成绩优秀的学生数是105=30,
成绩非优秀的学生数是75,所以c=20,b=45,
故A,B错误;
零假设为H0:成绩与班级没有关联,
根据列联表中的数据,得到χ2=6.109>3.841=x0.05,根据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为成绩与班级有关联,此推断犯错误的概率不超过0.05.故C正确,D错误.故选C.
3.D　由题知,已注射疫苗的动物共40只,未注射疫苗的动物共60只,补充列联表如下:
单位:只
注射疫苗情况 发病情况 合计
未发病 发病
未注射 20 40 60
已注射 30 10 40
合计 50 50 100
由此可得A,B正确.
计算得χ2=16.67>10.828=x0.001,根据α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为该疫苗有效,此推断犯错误的概率不超过0.001,C正确.易知D错误.故选D.
4.2.334　χ2=2.334.
5.解零假设为H0:新措施对防治猪白痢无效.
由列联表的数据可求得
χ2=7.317>6.635=x0.01,
根据小概率值α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为新措施对防治猪白痢有效,此推断犯错误的概率不超过0.01.
6.D　由题意知χ2=7>6.635=x0.01,根据α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为英语词汇量与阅读水平有关,此推断犯错误的概率不超过0.01.
7.D　由题意,把频率看作概率可得夜晚下雨的概率约为,故A正确;未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为,故B正确;由χ2≈19.05>10.828=x0.001,根据临界值表,可得在犯错误的概率不大于0.001的前提下,认为“日落云里走”与“夜晚下雨”有关联,故C正确,D错误.
8.1.779　没有　零假设为H0:这两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.
根据列联表中的数据,可以求得
χ2=1.779<2.706=x0.1.
根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,我们没有充分的证据推断H0不成立,即认为这两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.
9.解(1)因为(0.005+p+0.018+0.020+0.022+0.025)×10=1,所以p=0.01.
所以n==100.
(2)因为n=100,所以“读书之星”有100×[(0.02+0.005)×10]=25(人).
从而2×2列联表如下所示:
单位:人
性别 非读书之星 读书之星 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
零假设为H0:“读书之星”与性别无关联.将2×2列联表中的数据代入公式计算得χ2=3.030<3.841=x0.05.
依据α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为“读书之星”与性别无关联.
(3)将频率视为概率,即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为
由题意可知X~B3,.
所以P(X=0)=;
P(X=1)=;
P(X=2)=1-=;
P(X=3)=
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=3
10.解 (1)记“任取两名患者,其中一名患者在实验组”为事件A,则P(A)=
记“一名患者在对照组”为事件B,则P(AB)=,所以P(B|A)=
(2)①依题意,这40个数据的中位数是将两组数据合在一起,从小到大排序后第20个与第21个数据的平均数,
可得第20个数据为23.4,第21个数据为23.6,所以m==23.5.
故2×2列联表为
单位:人
药物A 疾病B 合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
②零假设为H0:药物A对治疗疾病B无效.根据列联表中数据,经计算得到χ2==6.4>3.841=x0.05.
所以依据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为药物A对治疗疾病B有效,此推断犯错误的概率不超过0.05.
11.解(1)零假设为H0:技术改造前后的连续正常运行时间无差异.由题意可得列联表如下:
单位:天
技术改造 时间 合计
超过30天 不超过30天
改造前 5 15 20
改造后 15 5 20
合计 20 20 40
根据列联表中的数据,经计算得到χ2==10>6.635=x0.01.
依据α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异,此推断犯错误的概率不大于0.01.
(2)由题知,生产周期内有4个维护周期,一个维护周期为30天.在一个维护周期内,生产线需保障维护的概率为P=
设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ,可知ξ~B4,.一个生产周期内的正常维护费为0.5×4=2(万元),保障维护费为=(0.1ξ2+0.1ξ)(万元).
所以一个生产周期内需保障维护ξ次时的维护费用为(0.1ξ2+0.1ξ+2)万元.
设一个生产周期内的维护费用为X,则X的所有可能取值为2,2.2,2.6,3.2,4,
且P(X=2)=;
P(X=2.2)=;
P(X=2.6)=;
P(X=3.2)=1-;
P(X=4)=
所以X的分布列为
X 2 2.2 2.6 3.2 4
P
所以E(X)=2+2.2+2.6+3.2+4=2.275.
所以一个生产周期内生产维护费的均值为2.275.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)