第6章测评--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第6章测评--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 308.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-29 10:18:14 | ||
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文档简介
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2025人教A版数学选择性必修第三册
第六章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.=( )
A.960 B.480 C.160 D.80
2.在(a+b)10的二项展开式中,第3项为( )
A.a8b2 B.a2b8 C.a7b3 D.a3b7
3.[2024江苏高二期中]现有6名志愿者去5个社区参加志愿活动,每名志愿者可自由选择其中的1个社区,不同选法的种数是( )
A.56 B.65 C.30 D.11
4.[2024陕西宝鸡高二统考期末]若的展开式中第3项与第9项的系数相等,则展开式中二项式系数最大的项为( )
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项
5.[2024山东烟台期中]将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中,要求每个盒子中至少放2个小球,则不同放法的种数为( )
A.3 B.6 C.10 D.15
6.(ax+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为40,则实数a的值为( )
A.4 B.2 C.1 D.
7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团开展“六艺”讲座活动,每周安排一次讲座,共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次,“数”和“乐”两次不相邻,则“六艺”讲座不同的次序共有( )
A.120种 B.240种 C.1 092种 D.408种
8.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142 857,因为142 857×2=285 714,142 857×3=428 571,142 857×4=571 428,…,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下规律:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为( )
A.48 B.60 C.96 D.120
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在的展开式中( )
A.二项式系数的和为32
B.第3项的系数最大
C.所有项系数的和为-1
D.不含常数项
10.某高一学生想在物理、化学、生物学、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目,则( )
A.若不选择政治,选法总数为种
B.若物理和化学至少选一门,选法总数为
C.若物理和历史不能同时选,选法总数为()种
D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,选法总数为12种
11.若(1-x2)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a4 044x4 044,则( )
A.a0=1
B.a2i=0
C.(iai2i-1)=4 044×32 021
D.(-1)i()2=-
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数,则在组成的五位数中,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有 个.
13.已知(x-2)(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a0= ,a5= .
14.信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势,为了了解学生利用学习机学习的情况,某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机,并安排4人进行相关数据统计,且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计),则不同的安排方法有 种.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)解下列方程.
(1)=3;
(2)+…+.
16.(15分)[2024江苏高二期末](1)求的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;
(2)求的展开式中x3的系数.
17.(15分)从1,2,3,4,5,6中任取5个数字,随机填入如图所示的5个空格中.
A B C D E
(1)若填入的5个数字中有1和2,且1和2不能相邻,不同的填法有多少种
(2)若填入的5个数字中有1和3,且区域A,B,C中有奇数,不同的填法有多少种
18.(17分)某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加研讨会.
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同的选法
(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法
(3)甲、乙2人至少有1人参加,有多少种选法
(4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生,有多少种选法
19.(17分)已知f(x)=(2x+3)n展开式的二项式系数和为512,且(2x+3)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n.
(1)求a2的值;
(2)求a1+a2+a3+…+an的值;
(3)求f(20)-20被6整除的余数.
参考答案
第六章测评
1.B =4×3×2=480.
2.A 在(a+b)10的二项展开式中,第3项为T3=a8b2.
3.A 由题可得,每一名志愿者有5种选择方法,则6名志愿者共有56种不同的选法.故选A.
4.C 由二项式定理可得,第3项与第9项的系数分别为,
则,解得n=10.
因此展开式中二项式系数最大的项为x5-5,即第6项.
故选C.
5.B 依题意,先将每个盒子中放入2个球,余下2个球,若放入同一个盒子中,有种放法.若放入两个盒子中,有种放法,所以不同放法的种数为=6.故选B.
6.C (2x-y)5展开式的通项为Tr+1=(2x)5-r(-y)r=(-1)r25-rx5-ryr,则其展开式中x2y3的系数为(-1)322=-40,x3y2的系数为(-1)223=80.
又(ax+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为40,
故-40a+80=40,则a=1.
7.D 根据题意,这六门课程全排列,共有=720种不同的次序,其中“射”排在第一次的次序有=120种,“数”和“乐”两次相邻有=240种不同的次序,“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻有=48种不同的次序,“六艺”讲座不同的次序共有720-120-240+48=408种.
8.A 根据题意,数字142 857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组,若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,则x,y的百位数字有种选法,x的十位数字可以为剩下4个数字中任意1个,假设为2,则y的十位数字必须为7,则x,y的十位数字有种选法,x的个位数字可以为剩下2个数字中任意1个,y的个位数字为最后1个,则x,y的个位数字有种选法,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为=48,故选A.
9.ABD 由题可得,二项式系数的和为+…=25=32,故A正确;
设展开式第k+1项为Tk+1=(2x)5-k=(-1)k25-kx5-2k,k=0,1,2,…,5,
易知T2,T4,T6的系数均小于0,且T1=32x5,T3=80x,T5=10x-3,则第3项的系数最大,为80,故B正确;
令x=1,得所有项系数的和为15=1,故C错误;
令5-2k=0,则k=因为k=0,1,2,3,4,5,故展开式不含常数项,故D正确.故选ABD.
10.ACD 对于A,原题意等价于六门课程中选三门选修科目,已知不选择政治,则再从剩余的五门课程中选择两门不作为选修科目,可得选法总数为种,故A正确;
对于B,六门课程中选三门,选法种数为=20,若物理和化学均不选,选法种数为=4,若物理和化学至少选一门,选法种数为20-4=16,但=20≠16,故B错误;
对于C,若物理和历史同时选,选法种数为,若物理和历史不能同时选,选法种数为,故C正确;
对于D,在物理和历史不同时选的前提下,排除物理和化学均不选,结合选项B,C可知,选法种数为-4=20-4-4=12种,故D正确.
11.ABD A选项,x=0时,1=a0,A正确;
B选项,x=1时,0=a0+a1+a2+…+a4 044,①
x=-1时,0=a0-a1+a2-a3+…+a4 044,②
①+②,得0=a0+a2+a4+…+a4 044,B正确;
C选项,(1-x2)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a4 044x4 044,求导得,2 022(-2x)(1-x2)2 021=a1+2a2x+3a3x2+…+4 044a4 044x4 043,x=2时,2 022×(-4)×(-3)2 021=a1+2a2·2+3a3·22+…+4 044·a4 044·24 043,8 088×32 021=(iai2i-1),C错误;
D选项,(1-x2)2 022=(1+x)2 022·(1-x)2 022 (a0+a1x+a2x2+…+a4 044x4 044)=(x+x2+…+x2 022)(x+x2-x3+…+x2 022),比较两边x2 022的系数 a2 022=()2-()2+…-()2+()2(-1)i()2=-,D正确.
12.28 符合要求的五位数,分成两类:
1和3两个夹着0时,有2=12个,1和3两个夹着2或4时,0不能放在首位,共有()=16个.
综上所述,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有12+16=28个.
13.-2 3 由题意,令x=0,可得-2×1=a0,即a0=-2;
由二项展开式得,(x+1)5=x5+x4+…+x0,
则a5=1+(-2)=5-2=3.
14.1 560 由题意可知6种主流的学习机安排给4人进行相关数据统计,每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计),则学习机的分配方法有3,1,1,1和2,2,1,1两类情况,则按3,1,1,1分组,再分配给4人,共有=20×24=480种安排方法,按2,2,1,1分组,再分配给4人,共有24=1 080种安排方法,故共有480+1 080=1 560种不同的安排方法.
15.解(1)因为=3,所以m(m-1)(m-2)=3,整理得2m-4=m+1,所以m=5.
(2)因为+…++…++…+,
而+…+,所以,
即3+2x-1=2 024或3=2x-1,所以x=1 011或x=2.
16.解 (1)由题得,26展开式的通项为Tr+1=(2)6-r=26-r(-1)r,
可得T6=26-5(-1)5=-12,
故展开式的第6项的二项式系数为=6,展开式的第6项的系数为-12.
(2)x-9展开式的通项为Tr+1=x9-r(-1)rx9-2r,
令9-2r=3,得r=3.
因此,x3的系数为(-1)3=-84.
17.解(1)第一步,在3,4,5,6这四个数中任选3个数排列,有=24种填法,第二步,3个数中共产生4个空,将1和2插空,有=12种填法,由分步乘法计数原理,不同的填法有24×12=288种.
(2)若填入的5个数字中有1和3,再从2,4,5,6中任取3个数字,有=4种不同的填法,将这5个数字全排列,有=120种不同的填法,故共有4×120=480种不同的填法.
若区域A,B,C中无奇数,则只能为2,4,6,则有=12种不同的填法,∴填入的5个数字中有1和3,且区域A,B,C中有奇数,不同的填法有480-12=468种.
18.解(1)只需从其他18人中选3人即可,共有=816种选法.
(2)只需从其他18人中选5人即可,共有=8 568种选法.
(3)分两类:第一类,甲、乙中有1人参加,有种选法;
第二类,甲、乙都参加,则有种选法.
由分类加法计数原理,共有=6 936种选法.
(4)(方法一 直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类:
1内4外,2内3外,3内2外,4内1外.
所以共有=14 656种选法.
(方法二 间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求,即共有-()=14 656种选法.
19.解(1)因为f(x)=(2x+3)n展开式的二项式系数和为512,则2n=512,解得n=9.
因为(2x+3)9=[2(x+1)+1]9,则a2=22=144.
(2)令x=-1,可得a0=1;
令x=0,可得a0+a1+a2+…+a9=39,
所以a1+a2+a3+…+a9=39-1=19 682.
(3)f(20)-20=439-20=(42+1)9-20=429+428+…+42+1-20.
因为429+428+…+42能被6整除,所以-19被6整除后余数为5.
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第六章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.=( )
A.960 B.480 C.160 D.80
2.在(a+b)10的二项展开式中,第3项为( )
A.a8b2 B.a2b8 C.a7b3 D.a3b7
3.[2024江苏高二期中]现有6名志愿者去5个社区参加志愿活动,每名志愿者可自由选择其中的1个社区,不同选法的种数是( )
A.56 B.65 C.30 D.11
4.[2024陕西宝鸡高二统考期末]若的展开式中第3项与第9项的系数相等,则展开式中二项式系数最大的项为( )
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项
5.[2024山东烟台期中]将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中,要求每个盒子中至少放2个小球,则不同放法的种数为( )
A.3 B.6 C.10 D.15
6.(ax+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为40,则实数a的值为( )
A.4 B.2 C.1 D.
7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团开展“六艺”讲座活动,每周安排一次讲座,共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次,“数”和“乐”两次不相邻,则“六艺”讲座不同的次序共有( )
A.120种 B.240种 C.1 092种 D.408种
8.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142 857,因为142 857×2=285 714,142 857×3=428 571,142 857×4=571 428,…,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下规律:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为( )
A.48 B.60 C.96 D.120
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在的展开式中( )
A.二项式系数的和为32
B.第3项的系数最大
C.所有项系数的和为-1
D.不含常数项
10.某高一学生想在物理、化学、生物学、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目,则( )
A.若不选择政治,选法总数为种
B.若物理和化学至少选一门,选法总数为
C.若物理和历史不能同时选,选法总数为()种
D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,选法总数为12种
11.若(1-x2)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a4 044x4 044,则( )
A.a0=1
B.a2i=0
C.(iai2i-1)=4 044×32 021
D.(-1)i()2=-
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数,则在组成的五位数中,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有 个.
13.已知(x-2)(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a0= ,a5= .
14.信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势,为了了解学生利用学习机学习的情况,某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机,并安排4人进行相关数据统计,且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计),则不同的安排方法有 种.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)解下列方程.
(1)=3;
(2)+…+.
16.(15分)[2024江苏高二期末](1)求的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;
(2)求的展开式中x3的系数.
17.(15分)从1,2,3,4,5,6中任取5个数字,随机填入如图所示的5个空格中.
A B C D E
(1)若填入的5个数字中有1和2,且1和2不能相邻,不同的填法有多少种
(2)若填入的5个数字中有1和3,且区域A,B,C中有奇数,不同的填法有多少种
18.(17分)某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加研讨会.
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同的选法
(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法
(3)甲、乙2人至少有1人参加,有多少种选法
(4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生,有多少种选法
19.(17分)已知f(x)=(2x+3)n展开式的二项式系数和为512,且(2x+3)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n.
(1)求a2的值;
(2)求a1+a2+a3+…+an的值;
(3)求f(20)-20被6整除的余数.
参考答案
第六章测评
1.B =4×3×2=480.
2.A 在(a+b)10的二项展开式中,第3项为T3=a8b2.
3.A 由题可得,每一名志愿者有5种选择方法,则6名志愿者共有56种不同的选法.故选A.
4.C 由二项式定理可得,第3项与第9项的系数分别为,
则,解得n=10.
因此展开式中二项式系数最大的项为x5-5,即第6项.
故选C.
5.B 依题意,先将每个盒子中放入2个球,余下2个球,若放入同一个盒子中,有种放法.若放入两个盒子中,有种放法,所以不同放法的种数为=6.故选B.
6.C (2x-y)5展开式的通项为Tr+1=(2x)5-r(-y)r=(-1)r25-rx5-ryr,则其展开式中x2y3的系数为(-1)322=-40,x3y2的系数为(-1)223=80.
又(ax+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为40,
故-40a+80=40,则a=1.
7.D 根据题意,这六门课程全排列,共有=720种不同的次序,其中“射”排在第一次的次序有=120种,“数”和“乐”两次相邻有=240种不同的次序,“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻有=48种不同的次序,“六艺”讲座不同的次序共有720-120-240+48=408种.
8.A 根据题意,数字142 857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组,若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,则x,y的百位数字有种选法,x的十位数字可以为剩下4个数字中任意1个,假设为2,则y的十位数字必须为7,则x,y的十位数字有种选法,x的个位数字可以为剩下2个数字中任意1个,y的个位数字为最后1个,则x,y的个位数字有种选法,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为=48,故选A.
9.ABD 由题可得,二项式系数的和为+…=25=32,故A正确;
设展开式第k+1项为Tk+1=(2x)5-k=(-1)k25-kx5-2k,k=0,1,2,…,5,
易知T2,T4,T6的系数均小于0,且T1=32x5,T3=80x,T5=10x-3,则第3项的系数最大,为80,故B正确;
令x=1,得所有项系数的和为15=1,故C错误;
令5-2k=0,则k=因为k=0,1,2,3,4,5,故展开式不含常数项,故D正确.故选ABD.
10.ACD 对于A,原题意等价于六门课程中选三门选修科目,已知不选择政治,则再从剩余的五门课程中选择两门不作为选修科目,可得选法总数为种,故A正确;
对于B,六门课程中选三门,选法种数为=20,若物理和化学均不选,选法种数为=4,若物理和化学至少选一门,选法种数为20-4=16,但=20≠16,故B错误;
对于C,若物理和历史同时选,选法种数为,若物理和历史不能同时选,选法种数为,故C正确;
对于D,在物理和历史不同时选的前提下,排除物理和化学均不选,结合选项B,C可知,选法种数为-4=20-4-4=12种,故D正确.
11.ABD A选项,x=0时,1=a0,A正确;
B选项,x=1时,0=a0+a1+a2+…+a4 044,①
x=-1时,0=a0-a1+a2-a3+…+a4 044,②
①+②,得0=a0+a2+a4+…+a4 044,B正确;
C选项,(1-x2)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a4 044x4 044,求导得,2 022(-2x)(1-x2)2 021=a1+2a2x+3a3x2+…+4 044a4 044x4 043,x=2时,2 022×(-4)×(-3)2 021=a1+2a2·2+3a3·22+…+4 044·a4 044·24 043,8 088×32 021=(iai2i-1),C错误;
D选项,(1-x2)2 022=(1+x)2 022·(1-x)2 022 (a0+a1x+a2x2+…+a4 044x4 044)=(x+x2+…+x2 022)(x+x2-x3+…+x2 022),比较两边x2 022的系数 a2 022=()2-()2+…-()2+()2(-1)i()2=-,D正确.
12.28 符合要求的五位数,分成两类:
1和3两个夹着0时,有2=12个,1和3两个夹着2或4时,0不能放在首位,共有()=16个.
综上所述,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有12+16=28个.
13.-2 3 由题意,令x=0,可得-2×1=a0,即a0=-2;
由二项展开式得,(x+1)5=x5+x4+…+x0,
则a5=1+(-2)=5-2=3.
14.1 560 由题意可知6种主流的学习机安排给4人进行相关数据统计,每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计),则学习机的分配方法有3,1,1,1和2,2,1,1两类情况,则按3,1,1,1分组,再分配给4人,共有=20×24=480种安排方法,按2,2,1,1分组,再分配给4人,共有24=1 080种安排方法,故共有480+1 080=1 560种不同的安排方法.
15.解(1)因为=3,所以m(m-1)(m-2)=3,整理得2m-4=m+1,所以m=5.
(2)因为+…++…++…+,
而+…+,所以,
即3+2x-1=2 024或3=2x-1,所以x=1 011或x=2.
16.解 (1)由题得,26展开式的通项为Tr+1=(2)6-r=26-r(-1)r,
可得T6=26-5(-1)5=-12,
故展开式的第6项的二项式系数为=6,展开式的第6项的系数为-12.
(2)x-9展开式的通项为Tr+1=x9-r(-1)rx9-2r,
令9-2r=3,得r=3.
因此,x3的系数为(-1)3=-84.
17.解(1)第一步,在3,4,5,6这四个数中任选3个数排列,有=24种填法,第二步,3个数中共产生4个空,将1和2插空,有=12种填法,由分步乘法计数原理,不同的填法有24×12=288种.
(2)若填入的5个数字中有1和3,再从2,4,5,6中任取3个数字,有=4种不同的填法,将这5个数字全排列,有=120种不同的填法,故共有4×120=480种不同的填法.
若区域A,B,C中无奇数,则只能为2,4,6,则有=12种不同的填法,∴填入的5个数字中有1和3,且区域A,B,C中有奇数,不同的填法有480-12=468种.
18.解(1)只需从其他18人中选3人即可,共有=816种选法.
(2)只需从其他18人中选5人即可,共有=8 568种选法.
(3)分两类:第一类,甲、乙中有1人参加,有种选法;
第二类,甲、乙都参加,则有种选法.
由分类加法计数原理,共有=6 936种选法.
(4)(方法一 直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类:
1内4外,2内3外,3内2外,4内1外.
所以共有=14 656种选法.
(方法二 间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求,即共有-()=14 656种选法.
19.解(1)因为f(x)=(2x+3)n展开式的二项式系数和为512,则2n=512,解得n=9.
因为(2x+3)9=[2(x+1)+1]9,则a2=22=144.
(2)令x=-1,可得a0=1;
令x=0,可得a0+a1+a2+…+a9=39,
所以a1+a2+a3+…+a9=39-1=19 682.
(3)f(20)-20=439-20=(42+1)9-20=429+428+…+42+1-20.
因为429+428+…+42能被6整除,所以-19被6整除后余数为5.
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