第7章测评--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题

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2025人教A版数学选择性必修第三册
第七章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024江苏高二期末]已知随机变量X服从两点分布,X为一次试验中成功的次数(0或1),E(X)=0.7,则其成功的概率为(　　)
A.0 B.1 C.0.3 D.0.7
2.[2024山东东营专题练习]一个袋子中装有6个红球和4个白球,假设每个球被摸到的可能性是相等的.从袋子中摸出2个球,其中白球的个数为X,则X的数学期望是(　　)
A. B. C. D.
3.已知某同学投篮一次的命中率为,连续两次均投中的概率是,若该同学在投中一次后,随后一次也投中的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.某人进行一项实验,若实验成功,则停止实验,若实验失败,再重新实验一次,若实验3次均失败,则放弃实验.若此人每次实验成功的概率为,则此人实验次数X的均值是(　　)
A. B. C. D.
5.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才算通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(　　)
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
6.设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X<1)=,P(X>2)=p,则P(0A.p B.1-p C.1-2p D.-p
7.9粒种子分种在3个坑内,每个坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次,每补种1个坑需10元,用随机变量X表示补种费用,则X的均值等于(　　)
A. B. C. D.
8.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习,记两人所选课程相同的门数为X,则E(X)=(　　)
A.1 B.1.5
C.2 D.2.5
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知离散型随机变量X的分布列如表所示:
X 0 1 2
P a 4a 5a
下列选项中正确的是(　　)
A.a=0.1 B.E(X)=0.44
C.E(X)=1.4 D.D(X)=1.4
10.[2024辽宁高二开学考试]随机变量X~N(2,σ2),且P(0≤X≤2)+P(X≥t)=0.5,随机变量Y~B(t,p),0A.t=4 B.P(2≤Y≤3)=
C.p= D.D(4Y)=4
11.[2024江苏高二专题练习]甲盒中有3个红球和2个白球,乙盒中有2个红球和3个白球.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒,用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”;用事件F表示“从甲盒中取出的是白球”,再从乙盒中随机取出一球,用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”,则下列结论中正确的是(　　)
A.事件F与事件G是互斥事件 B.事件E与事件G不相互独立
C.P(G)= D.P(G|E)=
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某科研院校培育橘树新品种,使得橘树在淮北种植成功,经过科学统计,单个果品的质量ξ(单位:g)近似服从正态分布N(90,σ2),且P(86<ξ≤90)=0.2,在有1 000个的一批橘果中,估计单个果品质量不低于94 g的橘果个数为　　　　　.
13.[2024山东烟台高二阶段练习]某同学共投篮12次,每次投篮命中的概率为0.8,假设每次投篮相互独立,记他投篮命中的次数为随机变量X,则D(2X)=　　　.
14. 某高中为调查本校1 800名学生周末玩游戏的时长,设计了如下的调查问卷.在一个袋子中装有3个质地和大小均相同的小球,其中1个白球,2个红球,规定每名学生从袋子中有放回地随机摸两次球,每次摸出一个球,记下颜色.若“两次摸到的球颜色相同”,则回答问题一:若第一次摸到的是红球,则在问卷中画“○”,否则画“×”;若“两次摸到的球颜色不同”,则回答问题二:若玩游戏时长不超过一个小时,则在问卷中画“○”,否则画“×”.当全校学生完成问卷调查后,统计画“○”和画“×”的比例,由频率估计概率,即可估计出玩游戏时长超过一个小时的人数.若该校高一一班有45名学生,用X表示回答问题一的人数,则X的均值为　　　　　;若该校的所有调查问卷中,画“○”和画“×”的比例为7∶2,则可估计该校学生周末玩游戏时长超过一个小时的人数为　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)一批同型号的螺钉由编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三台机器共同生产,各台机器生产的螺钉占这批螺钉的百分率分别为35%,40%,25%,各台机器生产的螺钉次品率分别为3%,2%,1%.
(1)求从这批螺钉中任取一件是次品的概率;
(2)现从这批螺钉中取到一件次品,求该次品来自Ⅱ号机器生产的概率.
16.(15分)在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从一个正态分布,即ξ~N(90,100).
(1)试求考试成绩ξ位于区间[70,110]上的概率;
(2)若这次考试共有2 000名考生,试估计考试成绩在[80,100]的考生大约有多少人
17.(15分)某高中学校组织航天科普知识竞赛,分小组进行知识问题竞答.甲、乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答,答对题目多者获胜.已知这6个问题中,甲组能正确回答其中4个问题,而乙组能正确回答每个问题的概率均为.甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立、互不影响的.
(1)求甲小组至少答对2个问题的概率;
(2)若从甲、乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛,请分析说明选择哪个小组更好
18.(17分)某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张.每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目最终获一等奖;否则,该节目不能获一等奖.
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率;
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的分布列及均值.
19.(17分)[2024广东湛江一模]甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格,第2格……第25格,棋子开始在第1格.盒中有5个大小相同的小球,其中3个红球,2个白球(5个球除颜色外其他都相同).每次甲在盒中随机摸出两球,记下颜色后放回盒中,若两球颜色相同,棋子向前跳1格;若两球颜色不同,棋子向前跳2格,直到棋子跳到第24格或第25格时,游戏结束.记棋子跳到第n格的概率为Pn(n=1,2,3,…,25).
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望;
(2)证明:数列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…,24)为等比数列.
参考答案
第七章测评
1.D　∵随机变量X服从两点分布,设成功的概率为p,
∴E(X)=0×(1-p)+1×p=p=0.7.
故选D.
2.A　由题意知X=0,1,2,
则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=
所以E(X)=0+1+2
故选A.
3.D　根据题意,设A=“该同学某次投篮命中”,事件B=“随后一次也命中”.由题意得P(A)=,P(AB)=,故P(B|A)=
4.B　由题意可得X=1,2,3,每次实验成功的概率为,
则每次实验失败的概率为,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
则X的分布列如表所示.
X 1 2 3
P
所以E(X)=1+2+3
5.A　根据题意,该同学通过测试的两种情况分别为投中2次和投中3次,所以所求概率P=0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.
6.D　因为P(X<1)=,由正态曲线的对称性得μ=1,即正态曲线关于直线x=1对称,于是P(X<0)=P(X>2),所以P(02)=-p.
7.A　根据题意,每个坑需要补种的概率是相等的,都是3=,所以此问题相当于独立重复试验,做了三次,每次发生的概率都是,所以需要补种的坑的均值为3,所以补种费用X的均值为10
8.B　由已知得X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
∴E(X)=0+1+2+3=1.5.
9.AC　由离散型随机变量的性质知a+4a+5a=1,
∴a=0.1.
∴P(X=0)=0.1,P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.5.
∴E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.5=1.4,
D(X)=(0-1.4)2×0.1+(1-1.4)2×0.4+(2-1.4)2×0.5=0.196+0.064+0.18=0.44.
10.ABC　对于A,∵X~N(2,σ2),且P(0≤X≤2)+P(X≥t)=P(2≤X≤4)+P(X≥t)=0.5,∴t=4.故A正确.
对于C,∵E(X)=2,∴E(Y)=E(X)=2.
∵Y~B(4,p),∴E(Y)=4p=2,∴p=,故C正确.
对于B,∵Y~B4,,∴P(2≤Y≤3)=,故B正确.
对于D,∵D(Y)=41-=1,
∴D(4Y)=16D(Y)=16,故D错误.
故选ABC.
11.BCD　对于A,事件F与事件G不是互斥事件,故A错误;
对于C,P(G)=,故C正确;
对于D,P(G|E)=,故D正确;
对于B,因为P(EG)=,P(E)P(G)=,则P(EG)≠P(E)P(G),所以事件E与事件G不相互独立,故B正确.故选BCD.
12.300　∵单个果品的质量ξ近似服从正态分布N(90,σ2),且P(86<ξ≤90)=0.2,∴P(90≤ξ<94)=0.2,
∴P(ξ≥94)==0.3,故估计单个果品质量不低于94 g的橘果个数为0.3×1 000=300.
13.7.68　由二项分布的定义可知,X~B(12,0.8),
故D(2X)=22D(X)=4×12×0.8×(1-0.8)=7.68.
14.25　450　依题意,每次摸到白球的概率为,摸到红球的概率为,两次摸到的球颜色相同的概率P=,于是回答问题一的人数X~B45,,
所以X的均值为E(X)=45=25.
用事件A表示“回答问题一”,事件B表示“回答问题二”,事件C表示“在问卷中画×”,则有P(A)=,P(B)=1-P(A)=,P(A)P(C|A)=P(AC)=因为P(C)=,由全概率公式P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B),得P(C|B),解得P(C|B)=,所以估计该校学生周末玩游戏时长超过一个小时的人数为1 800=450.
15.解设事件A=“螺钉是次品”,事件B1=“螺钉由Ⅰ号机器生产”,事件B2=“螺钉由Ⅱ号机器生产”,事件B3=“螺钉由Ⅲ号机器生产”,
则P(B1)=0.35,P(B2)=0.4,P(B3)=0.25,
P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01,
(1)由全概率公式,得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.03×0.35+0.02×0.4+0.01×0.25=0.021.
(2)P(B2|A)=
16.解因为ξ~N(90,100),所以μ=90,σ==10.
(1)由于随机变量在区间[μ-2σ,μ+2σ]上取值的概率是0.954 5,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩ξ位于区间[70,110]上的概率为0.954 5.
(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.
由于随机变量在区间[μ-σ,μ+σ]上取值的概率是0.682 7,所以考试成绩ξ位于区间[80,100]上的概率是0.682 7.一共有2 000名学生,所以考试成绩在[80,100]的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365(人).
17.解(1)∵这6个问题中,甲组能正确回答其中的4个问题,
∴甲组至少答对两个问题的概率P1=1-=1-
(2)设甲组答对题数为X,则X所有可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
故E(X)=1+2+3=2,
D(X)=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2
设乙组答对题数为Y,由题意可得,随机变量Y~B3,,故E(Y)=3=2,D(Y)=3
∵E(X)=E(Y),D(X)∴甲组与乙组的平均水平相当,但甲组比乙组的成绩更稳定,故选择甲组.
18.解(1)设A=“某节目的投票结果是最终获一等奖”,则事件A包括:该节目获2张“获奖”票,或者获3张“获奖”票.
因为甲、乙、丙三名老师每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,且三人投票相互没有影响,所以P(A)=23=
(2)由题知,投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=3=,
P(X=1)=2=,
P(X=2)=2,
P(X=3)=3=
因此X的分布列如表所示.
X 0 1 2 3
P
所以X的均值为E(X)=0+1+2+3=2.
19.(1)解 根据题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=
可得X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0+1+2
(2)证明 依题意,当3≤n≤23时,棋子跳到第n格有两种可能:
第一种,棋子先跳到第n-2格,再摸出两球颜色不同;
第二种,棋子先跳到第n-1格,再摸出两球颜色相同.
又可知摸出两球颜色不同,即跳两格的概率为,
摸出两球颜色相同,即跳一格的概率为,
因此可得Pn=Pn-2+Pn-1,
所以Pn-Pn-1=Pn-2+Pn-1-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2),
因此可得=-,
即数列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…,24)是公比为-的等比数列.
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