第7章综合训练--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学选择性必修第三册
第七章综合训练
(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.[2024湖南衡阳高二阶段练习]已知随机变量X~B5,,则D(X)=(　　)
A. B. C. D.
2.[2024江苏高二期末]已知随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=0.6.设Y=3X-2,那么P(Y=-2)=(　　)
A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.4
3.已知离散型随机变量ξ的分布列如下表,则其均值E(ξ)等于(　　)
ξ 1 3 5
P 0.5 m 0.2
A.1 B.0.6
C.2+3m D.2.4
4.现在分别有A,B两个容器,在容器A里有7个红球和3个白球,在容器B里有1个红球和9个白球.现从这两个容器里任意抽出一个球,则在抽到的是红球的情况下,是来自容器A里面的球的概率是 (　　)
A.0.5 B.0.7
C.0.875 D.0.35
5.若某校高二年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152),则此次考试成绩在区间(105,120]上的学生大约有(　　)
A.477人 B.136人
C.341人 D.131人
6.甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,则乙以3∶1战胜甲的概率为(　　)
A. B. C. D.
7.某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动,凡在开业当天进店的顾客,都能抽一次奖,每位进店的顾客得到一个不透明的盒子,盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个,其中红球2个,黄球3个,蓝球1个,除颜色外,小球的其他方面,诸如形状、大小、质地等完全相同,每个小球上均写有获奖内容,顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球,然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖.设X表示某顾客在一次抽奖时,从自己得到的那个盒子里取出的2个小球中红球的个数,则X的数学期望E(X)= (　　)
A. B. C. D.
8.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出,泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立,且每个站台候车人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等,则该线路公交车两个站台各有1位乘客候车的概率为(　　)
A. B. C. D.
二、选择题(本题共3小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X≤4)=0.8,则(　　)
A.P(X>4)=0.2
B.P(X≥0)=0.6
C.P(0≤X≤2)=0.3
D.P(0≤X≤4)=0.4
10.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球,4个白球,现从中任取4个小球.设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是(　　)
A.P(X=1)=
B.随机变量X服从二项分布
C.随机变量X服从超几何分布
D.E(X)=
11.[2024江西高二开学考试]某中药材盒中共有包装相同的10袋药材,其中甲级药材有4袋,乙级药材有6袋,从中不放回地依次抽取2袋,用A表示事件“第一次取到甲级药材”,用B表示事件“第二次取到乙级药材”,则下列说法正确的有(　　)
A.P(A)=
B.P(B|A)=
C.P(B)=
D.事件A,B相互独立
三、填空题(本题共3小题)
12.按照国家标准规定,500 g袋装奶粉每袋质量X必须服从正态分布N(500,σ2),经检测某种品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋,则卖出的奶粉质量在510 g以上的袋数大约为　　　　　.
13.某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序,经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检测.已知某批芯片智能检测显示合格率为90%,最终的检测结果的次品率为,则在智能检测结束并淘汰了次品的条件下,人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为　　　　　.
14.一支足球队每场比赛获胜(得3分)的概率为a,与对手踢平(得1分)的概率为b,负于对手(得0分)的概率为c,其中a,b,c∈(0,1).已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1,则的最小值为　　　.
四、解答题(本题共5小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.有三个同样的箱子,甲箱中有2个红球、6个白球,乙箱中有6个红球、4个白球,丙箱中有3个红球、5个白球.
(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球,求三球都为红球的概率;
(2)从甲、乙、丙中随机取一箱,再从该箱中任取一球,求该球为红球的概率.
16.甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,乙得2分.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.
17.设有3个投球手,其中一人命中率为q,剩下的两人水平相当且命中率均为p(p,q∈(0,1)),每位投球手均独立投球一次,记投球命中的总次数为随机变量ξ.
(1)当p=q=时,求数学期望E(ξ)及方差D(ξ);
(2)当p+q=1时,将ξ的数学期望E(ξ)用p表示.
18.一次大型考试后,某年级对某学科进行质量分析,随机抽取了40名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从抽取的成绩在区间[50,60)内和区间[90,100]上的学生中,随机选择三名学生进行进一步调查分析,记X为这三名学生中成绩在区间[50,60)内的人数,求X的分布列及均值E(X).
(2)①求该年级全体学生的平均成绩与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(精确到1)
②如果该年级学生该学科的成绩服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ分别近似为①中的,s,那么从该年级所有学生中随机选三名学生做分析,求这三名学生中恰有两名学生的成绩在区间[62,95]上的概率.(精确到0.01)
附:≈5.385.
19.[2024重庆高二校联考]品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试,测试方法如下:拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求按品质优劣为它们排序,经过一段时间,等他记忆淡忘之后,再让他品尝这n瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1,2,3,…,n的n种酒,在第二次排序时的序号为a1,a2,a3,…,an,并令X=|i-ai|,称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分.
(1)当n=3时,若a1,a2,a3等可能地为1,2,3的各种排列,求X的分布列.
(2)当n=4时,
①若a1,a2,a3,a4等可能地为1,2,3,4的各种排列,计算X≤2的概率;
②假设某品酒师在连续三轮测试中,都有X≤2(各轮测试相互独立),你认为该品酒师的鉴别能力如何,请说明理由.
参考答案
第七章综合训练
1.A　随机变量X~B5,,则D(X)=51-=故选A.
2.D　当Y=-2时,由3X-2=-2 X=0,
所以P(Y=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.
故选D.
3.D　依题意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,
故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.
故选D.
4.C　设A=“抽到的是红球”,B=“抽到的是来自容器A里面的球”,则AB=“抽到的是来自容器A里面的红球”.由题意可知,P(AB)=,P(A)=,故P(B|A)==0.875.故选C.
5.B　根据正态分布的对称性P(1056.B　由题意知,前3局乙胜2局,第4局乙胜,故所求概率P=
故选B.
7.C　由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,
∴E(X)=0+1+2
8.D　由题可知P(X=2)=P(X=3),即,解得λ=3,故P(X=k)=e-3(k=0,1,2,…),P(X=1)=e-3=,故该线路两个站台各有1位乘客候车的概率P=2=
9.AC　∵P(X≤4)=0.8,∴P(X>4)=0.2.
∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.
∴P(0≤X≤4)=P(X≤4)-P(X<0)=0.6,P(X≥0)=1-P(X<0)=0.8,
∴P(0≤X≤2)=P(0≤X≤4)=0.3.
10.ACD　由题意知随机变量X服从超几何分布,故B错误,C正确;
X的可能取值分别为0,1,2,3,4,则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
P(X=4)=,
∴E(X)=0+1+2+3+4,故A,D正确.
11.ABC　对于A,P(A)=,故A正确;
对于B,P(B|A)=,故B正确;
对于C,P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=,故C正确;
对于D,因为P(AB)=,P(A)P(B)=P(AB),所以事件A,B不相互独立,故D错误.故选ABC.
12.10　因为X~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)==0.025,所以卖出的奶粉质量在510 g以上袋数大约为400×0.025=10.
13　设该批芯片中一枚芯片由智能检测合格为事件A,经智能检测合格的芯片进入流水线并由人工检测,一枚芯片恰好为合格品为事件B,则P(A)=,P(AB)=1-,
则在智能检测结束并淘汰了次品的条件下,人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率P(B|A)=
14　设得分为ξ,则ξ的分布列为
ξ 0 1 3
P c b a
由均值为3a+b=1,且a,b∈(0,1),
则=(3a+b)=+2,
当且仅当a=b=时,等号成立.
15.解 (1)根据题意,记事件A1:从甲箱中取一球为红球,事件A2:从乙箱中取一球为红球,事件A3:从丙箱中取一球为红球,记事件B:取得的三球都为红球,且事件A1,A2,A3相互独立,所以P(B)=P(A1)P(A2)P(A3)=,所以三球都为红球的概率为
(2)记事件C:该球为红球,事件D1:取甲箱,事件D2:取乙箱,事件D3:取丙箱.
因为P(C|D1)=,P(C|D2)=,P(C|D3)=,
所以P(C)=P(D1)P(C|D1)+P(D2)P(C|D2)+P(D3)P(C|D3)=,
所以该球为红球的概率为
16.解(1)设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,
则P(A)=,
故甲获得这次比赛胜利的概率为
(2)依题意,X的取值可能为2,3,4,
则P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=1=
故X的分布列为
X 2 3 4
P
E(X)=2+3+4
17.解(1)∵每位投球手均独立投球一次,
∴当p=q=时,ξ~B3,,
∴E(ξ)=3,D(ξ)=31-=
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=(1-q)(1-p)2=pq2,
P(ξ=1)=q(1-p)2+(1-q)p(1-p)=q3+2p2q,
P(ξ=2)=qp(1-p)+(1-q)p2=2pq2+p3,
P(ξ=3)=qp2.
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P pq2 q3+2p2q 2pq2+p3 qp2
E(ξ)=0×pq2+1×(q3+2p2q)+2×(2pq2+p3)+3×qp2=1+p.
18.解(1)由频率分布直方图,可知40名学生中成绩在区间[50,60)内和区间[90,100]上的人数均为4.
X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0+1+2+3=1.5.
(2)=55×0.1+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.1=73,
s==
=211.
②由①,可知成绩在区间[62,95]上的概率约为0.954 5+0.682 7=0.818 6,记“三名学生中恰有两名学生的成绩在区间[62,95]上”为事件A,则P(A)=0.818 62×(1-0.818 6)≈0.36.
19.解 (1)a1,a2,a3的排序共有=6种,且每种排序等可能,此时X的可能取值为0,2,4.
当X=0时,a1,a2,a3的排序为1,2,3,P(X=0)=;
当X=2时,a1,a2,a3的排序为1,3,2或2,1,3,P(X=2)=;
当X=4时,a1,a2,a3的排序为3,2,1或2,3,1或3,1,2,P(X=4)=
所以X的分布列为
X 0 2 4
P
(2)①a1,a2,a3,a4的排序共有=24种,且每种排序等可能.当X≤2时,X的可能取值为0,2.
当X=0时,a1,a2,a3,a4的排序与第一次排序无变化,
此时仅有1种排序:1,2,3,4,则P(X=0)=;
当X=2时,a1,a2,a3,a4的排序与第一次排序相比仅有相邻两个位置变化,
此时有3种排序:2,1,3,4或1,3,2,4或1,2,4,3,则P(X=2)=
所以P(X≤2)=P(X=0)+P(X=2)=
②因为各轮测试相互独立,
所以“连续三轮测试中,都有X≤2”的概率为3=,
这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小,
所以我们认为该品酒师有良好的鉴别能力,不是靠随机猜测.
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