第8章测评--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）
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| 名称 | 第8章测评--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 366.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-29 10:19:50 | ||
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文档简介
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2025人教A版数学选择性必修第三册
第八章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据,由此判断它最符合( )
x 4 5 6 7 8 9 10
y 14 18 19 20 23 25 28
A.线性函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
2.某省高考采用“3+1+2”模式,其中“1”为首选科目,即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿,对部分高一学生进行了抽样调查,制作出如下两个等高堆积条形图,根据图中信息,下列结论正确的是( )
图1
图2
A.样本中选择物理学科的男生人数少于选择历史学科的女生人数
B.样本中女生选择历史学科的人数多于男生选择历史学科的人数
C.样本中选择物理学科的人数较多
D.样本中男生人数少于女生人数
3.在某次独立性检验中,得到如下列联表:
B A 合计
A=0 A=1
B=0 200 800 1 000
B=1 180 a 180+a
合计 380 800+a 1 180+a
最后发现,两个分类变量没有关联,则a的值可能是( )
A.200 B.720 C.100 D.180
4.下表是2023年我国某新能源汽车厂前5个月的销量y和月份x的统计表,根据表中的数据可得经验回归方程为x+1.16,则下列四个结论正确的个数为( )
月份x 1 2 3 4 5
销量y/万辆 1.5 1.6 2 2.4 2.5
①变量x与y正相关;②=0.24;③y与x的样本相关系数r>0;④2023年7月该新能源汽车厂的销量一定是3.12万辆.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其经验回归方程为x+,已知xi=225,yi=1 600,=4,该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为( )
A.160厘米 B.163厘米 C.166厘米 D.170厘米
6.已知某初中的男生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),由最小二乘法近似得到y关于x的经验回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论不正确的是 ( )
A.y与x是正相关的
B.该回归直线必过点()
C.若该初中的男生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg
D.若该初中的男生身高为160 cm,则其体重必为50.29 kg
7.为了调查学生对网络课程的热爱程度,研究人员随机调查了相同数量的男、女学生,发现有80%的男生喜欢网络课程,有40%的女生不喜欢网络课程,且认为是否喜欢网络课程与性别有关,此推断犯错误的概率超过0.001,但不超过0.01,则被调查的男、女学生总数量可能为( )
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
A.130 B.190 C.240 D.250
8.某商场为了给一种新商品进行合理定价,将该商品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x/元 8.2 8.4 8.6 8.8
销量y/件 84 83 78 m
根据表中的数据,得到销量y(单位:件)与单价x(单位:元)之间的经验回归方程为=-16x+,据计算,样本点(8.4,83)的残差为1.4,则m=( )
A.76 B.75 C.74 D.73
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024吉林长春高二期末]下列选项错误的有( )
A.若样本数据x1,x2,…,x10的方差为2,则数据3x1-1,3x2-1,…,3x10-1的方差为6
B.在做回归分析时,残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内,且宽度越窄表示回归效果越差
C.决定系数R2=0.976 2,说明回归模型较好地刻画了两个变量间的相关关系
D.χ2是用来判断两个分类变量是否有关联的,只对于两个分类变量适合
10.已知关于变量x,y的4组数据如表所示:
x 6 8 10 12
y a 10 6 4
根据表中数据计算得到x,y之间的经验回归方程为=-1.4x+20.6,x,y之间的样本相关系数为r(参考公式:r=),下列结论正确的有( )
A.a=12 B.变量x,y正相关
C.r=- D.r=-
11.已知由样本数据点集合{(xi,yi)|i=1,2,…,n}求得经验回归方程为=1.5x+0.5,=3,现发现两个数据点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大,去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2,则下列结论正确的有( )
A.变量x与y具有正相关关系
B.去除两个数据点后的经验回归方程为=1.2x+1.4
C.去除两个数据点后y的预测值增加速度变快
D.去除两个数据点后,当x=4时,y的预测值为6.2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知由下表中的数据所求得的经验回归方程为=4x+242,则实数a= .
x 2 3 4 5 6
y 251 254 257 a 266
13.为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了100名50岁以下的人,调查结果如下表:
是否吸烟 是否患慢性气管炎 合计
患慢性气管炎 未患慢性气管炎
吸烟 20 b 40
不吸烟 c 55 60
合计 25 75 100
根据列联表数据,求得χ2= (精确到0.001).依据α=0.001的独立性检验,我们推断患慢性气管炎与吸烟 (填“有关联”或“无关联”).
附:
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
χ2=,n=a+b+c+d.
14.预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料,配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品.近几年预制菜市场快速增长.某城市调查近4个月的预制菜市场规模y(单位:万元)得到如表所示的数据,根据数据得到y关于x的非线性经验回归方程.
x 1 2 3 4
y e3 e4 e5 e6
按照这样的速度,预估第8个月的预制菜市场规模是 万元.(结果用e表示)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某机构为调查研究A湖泊水域覆盖面积x(单位:万平方米)和鱼群数量y(单位:千尾)的关系,用简单随机抽样的方法抽取该湖泊10个区域进行调查,得到样本数据分别为(xi,yi)(i=1,2,…,10),经计算得xi=98,yi=1 980,-10=125,xiyi=19 654.
(1)经研究,y与x具有较强的线性相关性,请计算y关于x的经验回归方程;
(2)随着退田还湖政策的实施,A湖泊水域覆盖面积又增加了10万平方米,在保持A湖泊生态平衡的前提下,为增加经济效益,试估计该湖泊的管理者最多还能投放的鱼苗数量是多少
参考公式:经验回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
16.(15分)为了调查某大学学生在某天上网的时间,随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果:
表1:男生上网时间与频数分布表
上网时间/分钟 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80]
人数 5 25 30 25 15
表2:女生上网时间与频数分布表
上网时间/分钟 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80]
人数 10 20 40 20 10
(1)将频率视为概率,若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数;
(2)完成下面的2×2列联表,根据小概率值α=0.1的独立性检验,能否认为“大学生上网时间与性别有关联”
单位:人
性别 上网时间 合计
少于60分钟 不少于60分钟
男
女
合计
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(15分)已知某校5名学生的数学成绩和物理成绩(满分均为100分)如下表:
学生的编号i 1 2 3 4 5
数学成绩xi 80 75 70 65 60
物理成绩yi 70 66 68 64 62
(1)假设在对这5名学生成绩进行统计时,把这5名学生的物理成绩搞乱了,数学成绩没出现问题,问:恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩的概率是多少
(2)通过大量事实证明发现,一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系,在上述表格是正确的前提下,用x表示数学成绩,用y表示物理成绩,求y关于x的经验回归方程.
(3)利用残差分析经验回归方程的拟合效果,若残差和在区间(-0.1,0.1)内,则称经验回归方程为“优拟方程”,问:该经验回归方程是否为“优拟方程”
参考数据和公式:x+,其中xiyi=23 190,=24 750.
残差和公式:(yi-).
18.(17分)某稻米产地今秋获得大丰收,为促进当地某品牌大米销售,甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过对某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间(下简称甲直播间、乙直播间)购买的情况进行调查(假定每人只在一个直播间购买大米),得到以下数据:
单位:人
网民类型 在直播间购买大米的情况 合计
在甲直播间购买 在乙直播间购买
本地区网民 50 5 55
外地区网民 30 15 45
合计 80 20 100
(1)依据小概率值α=0.005的独立性检验,能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联
(2)用样本分布的频率估计总体分布的概率,若共有100 000名网民在甲、乙直播间购买大米,且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响,记其中在甲直播间购买大米的网民数为X,求使事件“X=k”的概率取最大值的k的值.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
19.(17分)混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点,是目前使用量最大的土木建筑材料.抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数之一,也是实际工程对混凝土要求的基本指标.为了解某型号某批次混凝土的抗压强度(单位:MPa)随龄期(单位:天)的发展规律,质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期xi(i=1,2,3,…,10)分别为2,3,4,5,7,9,12,14,17,21时抗压强度yi的值,并对数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(1)根据散点图判断y=a+bx与y=c+dln x哪一个适宜作为抗压强度y关于龄期x的经验回归方程类型,选择其中的一个模型,并根据表中数据,建立y关于x的经验回归方程.
(2)工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度f28视作混凝土抗压强度标准值.已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为40 MPa.
①试预测该批次混凝土是否达标
②由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定,早期预测在工程质量控制中具有重要意义.经验表明,该型号混凝土第7天的抗压强度f7与第28天的抗压强度f28具有线性相关关系,且符合f28=1.2f7+7,试估计在早期质量控制中,龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度.
参考数据:ln 2≈0.69,ln 7≈1.95.
(xi-)2 (wi-)2 (xi-)(yi-) (wi-)(yi-)
9.4 29.7 2 366 5.5 439.2 55
表中wi=ln xi,wi.
附:.
参考答案
第八章测评
1.A 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线附近,故最符合线性函数模型.
2.C 根据等高堆积条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多,故C正确;
根据等高堆积条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数,故D错误;
样本中选择物理学科的人数多于选择历史学科的人数,而选择物理学科的男生比例高,选择历史学科的女生比例低,
所以样本中选择物理学科的男生人数多于选择历史学科的女生人数,故A错误;
样本中女生选择历史学科的人数不一定多于男生选择历史学科的人数,故B错误.
故选C.
3.B ∵两个分类变量没有关联,基本相等,
结合选项检验可知,选项B满足条件.故选B.
4.B 由=3,=2,因为经验回归直线过样本中心(),所以2=3+1.16,=0.28,②错误;可知y随着x变大而变大,所以变量x与y正相关,①③正确;2023年7月该新能源汽车厂的销量的估计值是=0.28×7+1.16=3.12,④错误.故选B.
5.C 由经验回归方程为=4x+,则xi=22.5,yi=160,则测量数据样本点的中心为(22.5,160),由经验回归直线过样本点的中心,则-4=160-4×22.5=70,∴经验回归方程为=4x+70,当x=24时,=4×24+70=166,则估计其身高为166厘米.
6.D y关于x的经验回归方程为=0.85x-85.71,其中=0.85>0,则y与x是正相关的,故A正确;
由经验回归方程的性质,即经验回归直线恒过样本点的中心,可得B正确;
由经验回归方程可得,若该初中的男生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg,故C正确;
若该初中的男生身高为160 cm,预测其体重约为0.85×160-85.71=50.29(kg),故D错误.故选D.
7.B 零假设为H0:是否喜欢网络课程与性别无关.
依题意,设男、女生的人数各为5x,建立2×2列联表如表所示:
单位:人
性别 喜欢网络课程 不喜欢网络课程 合计
男 4x x 5x
女 3x 2x 5x
合计 7x 3x 10x
故χ2=,由题可知6.635<10.828,所以139.335≤10x<227.388.只有B符合题意.
8.B 由条件知当x2=8.4时,=83-1.4=81.6,代入=-16x+,解得=81.6+16×8.4=216,于是=-16x+216.
又=8.5,所以=80,即=80,解得m=75.故选B.
9.AB 对于A,由条件可知,数据3x1-1,3x2-1,…,3x10-1的方差为32×2=18,故A错误;
对于B,由残差图的描述可知,宽度越窄表示回归效果越好,故B错误;
易知C正确,D正确.故选AB.
10.AC 经验回归直线必过点(),=9,=-1.4+20.6=8=,解得a=12,故A正确;
由经验回归方程和表格可知,变量x,y负相关,故B错误;
r===-,故C正确,D错误.故选AC.
11.ABD 由样本数据点集合{(xi,yi)|i=1,2,…,n}求得经验回归方程为=1.5x+0.5,所以=1.5×3+0.5=5.
因为重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2,故变量x,y之间的关系是正相关,故A正确;
设新的数据所有横坐标的平均值为',所有纵坐标的平均值为',则'==3,'==5,设重新求得的经验回归方程为=1.2x+,则5=1.2×3+,故=1.4,所以重新求得的经验回归方程为=1.2x+1.4,故B正确;
因为斜率为1.2<1.5,所以y的预测值增加速度变慢,故C错误;
把x=4代入=1.2x+1.4,得=1.2×4+1.4=6.2,故D正确.故选ABD.
12.262 由题意,得=4,(1 028+a),代入=4x+242,可得(1 028+a)=4×4+242,解得a=262.
13.22.222 有关联 由20+b=40,得b=20.
由20+c=25,得c=5.
零假设为H0:患慢性气管炎与吸烟无关联.
故χ2=22.222>10.828=x0.001.
依据α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为患慢性气管炎与吸烟有关,此推断犯错误的概率不超过0.001.
14 令z=ln y,得到z关于x的经验回归方程,则,
所以=4,则+4.
将x=8代入+4,得,可得
15.解(1)=2,所以-2=178.4,则y关于x的经验回归方程为=2x+178.4.
(2)在保持该湖泊现有生态平衡不变的情况下,当A湖泊的水域覆盖面积又增加了10万平方米时,最多还能投放鱼苗2×10=20(千尾).
16.解(1)设上网时间不少于60分钟的女生人数为x,依题意有,解得x=225,
所以估计女生中上网时间不少于60分钟的人数是225.
(2)填2×2列联表如下:
单位:人
性别 上网时间 合计
少于60分钟 不少于60分钟
男 60 40 100
女 70 30 100
合计 130 70 200
零假设为H0:大学生上网与性别无关联.
由表中数据可得到χ2=2.20<2.706=x0.1,根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为大学生上网时间与性别无关联.
17.解(1)记事件A为“恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩”,则P(A)=
(2)因为=70,=66,=0.36,=66-0.36×70=40.8.
所以经验回归方程为=0.36x+40.8.
(3)x1=80,=69.6;x2=75,=67.8;x3=70,=66;x4=65,=64.2;x5=60,=62.4.
(yi-)=(70-69.6)+(66-67.8)+(68-66)+(64-64.2)+(62-62.4)=0.4+(-1.8)+2-0.2-0.4=0.
因为0∈(-0.1,0.1),所以该方程为“优拟方程”.
18.解 (1)零假设为H0:网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有关联.
经计算得χ2=9.091>7.879=x0.005,
依据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,
即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联,此推断犯错误的概率不超过0.005.
(2)利用样本分布的频率估计总体分布的概率,
可知网民选择在甲直播间购买大米的概率为p=,
则X~B100 000,.记n=100 000,p=,
则P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,100 000.
则问题等价于求当k取何值时,P(X=k)=pk(1-p)n-k取最大值.
因为00时,=1+,
又(n+1)p=100 001=80 000.8,
所以当k<(n+1)p=80 000.8时,P(X=k)>P(X=k-1);
当k=(n+1)p=80 000.8时,P(X=k)=P(X=k-1);
当k>(n+1)p=80 000.8时,P(X=k)所以P(X=80 000)>P(X=79 999)>…>P(X=1),
P(X=100 000)<…所以当X=80 000时,P(X=k)取最大值.
故使事件“X=k”的概率取最大值的k的值为80 000.
19.解(1)由散点图可以判断,y=c+dln x适宜作为抗压强度y关于龄期x的经验回归方程类型.
令w=ln x,先建立y关于w的经验回归方程.
由于=10,=29.7-10×2=9.7,所以y关于w的经验回归方程为=9.7+10w,因此y关于x的非线性经验回归方程为=9.7+10ln x.
(2)①由(1)知,当龄期为28天,即x=28时,抗压强度y的预测值=9.7+10ln 28=9.7+10×(2ln 2+ln 7)≈43.
因为43>40,所以预测该批次混凝土达标.
②令f28=1.2f7+7≥40,得f7≥27.5.所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为27.5 MPa.
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2025人教A版数学选择性必修第三册
第八章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据,由此判断它最符合( )
x 4 5 6 7 8 9 10
y 14 18 19 20 23 25 28
A.线性函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
2.某省高考采用“3+1+2”模式,其中“1”为首选科目,即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿,对部分高一学生进行了抽样调查,制作出如下两个等高堆积条形图,根据图中信息,下列结论正确的是( )
图1
图2
A.样本中选择物理学科的男生人数少于选择历史学科的女生人数
B.样本中女生选择历史学科的人数多于男生选择历史学科的人数
C.样本中选择物理学科的人数较多
D.样本中男生人数少于女生人数
3.在某次独立性检验中,得到如下列联表:
B A 合计
A=0 A=1
B=0 200 800 1 000
B=1 180 a 180+a
合计 380 800+a 1 180+a
最后发现,两个分类变量没有关联,则a的值可能是( )
A.200 B.720 C.100 D.180
4.下表是2023年我国某新能源汽车厂前5个月的销量y和月份x的统计表,根据表中的数据可得经验回归方程为x+1.16,则下列四个结论正确的个数为( )
月份x 1 2 3 4 5
销量y/万辆 1.5 1.6 2 2.4 2.5
①变量x与y正相关;②=0.24;③y与x的样本相关系数r>0;④2023年7月该新能源汽车厂的销量一定是3.12万辆.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其经验回归方程为x+,已知xi=225,yi=1 600,=4,该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为( )
A.160厘米 B.163厘米 C.166厘米 D.170厘米
6.已知某初中的男生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),由最小二乘法近似得到y关于x的经验回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论不正确的是 ( )
A.y与x是正相关的
B.该回归直线必过点()
C.若该初中的男生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg
D.若该初中的男生身高为160 cm,则其体重必为50.29 kg
7.为了调查学生对网络课程的热爱程度,研究人员随机调查了相同数量的男、女学生,发现有80%的男生喜欢网络课程,有40%的女生不喜欢网络课程,且认为是否喜欢网络课程与性别有关,此推断犯错误的概率超过0.001,但不超过0.01,则被调查的男、女学生总数量可能为( )
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
A.130 B.190 C.240 D.250
8.某商场为了给一种新商品进行合理定价,将该商品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x/元 8.2 8.4 8.6 8.8
销量y/件 84 83 78 m
根据表中的数据,得到销量y(单位:件)与单价x(单位:元)之间的经验回归方程为=-16x+,据计算,样本点(8.4,83)的残差为1.4,则m=( )
A.76 B.75 C.74 D.73
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024吉林长春高二期末]下列选项错误的有( )
A.若样本数据x1,x2,…,x10的方差为2,则数据3x1-1,3x2-1,…,3x10-1的方差为6
B.在做回归分析时,残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内,且宽度越窄表示回归效果越差
C.决定系数R2=0.976 2,说明回归模型较好地刻画了两个变量间的相关关系
D.χ2是用来判断两个分类变量是否有关联的,只对于两个分类变量适合
10.已知关于变量x,y的4组数据如表所示:
x 6 8 10 12
y a 10 6 4
根据表中数据计算得到x,y之间的经验回归方程为=-1.4x+20.6,x,y之间的样本相关系数为r(参考公式:r=),下列结论正确的有( )
A.a=12 B.变量x,y正相关
C.r=- D.r=-
11.已知由样本数据点集合{(xi,yi)|i=1,2,…,n}求得经验回归方程为=1.5x+0.5,=3,现发现两个数据点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大,去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2,则下列结论正确的有( )
A.变量x与y具有正相关关系
B.去除两个数据点后的经验回归方程为=1.2x+1.4
C.去除两个数据点后y的预测值增加速度变快
D.去除两个数据点后,当x=4时,y的预测值为6.2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知由下表中的数据所求得的经验回归方程为=4x+242,则实数a= .
x 2 3 4 5 6
y 251 254 257 a 266
13.为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了100名50岁以下的人,调查结果如下表:
是否吸烟 是否患慢性气管炎 合计
患慢性气管炎 未患慢性气管炎
吸烟 20 b 40
不吸烟 c 55 60
合计 25 75 100
根据列联表数据,求得χ2= (精确到0.001).依据α=0.001的独立性检验,我们推断患慢性气管炎与吸烟 (填“有关联”或“无关联”).
附:
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
χ2=,n=a+b+c+d.
14.预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料,配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品.近几年预制菜市场快速增长.某城市调查近4个月的预制菜市场规模y(单位:万元)得到如表所示的数据,根据数据得到y关于x的非线性经验回归方程.
x 1 2 3 4
y e3 e4 e5 e6
按照这样的速度,预估第8个月的预制菜市场规模是 万元.(结果用e表示)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某机构为调查研究A湖泊水域覆盖面积x(单位:万平方米)和鱼群数量y(单位:千尾)的关系,用简单随机抽样的方法抽取该湖泊10个区域进行调查,得到样本数据分别为(xi,yi)(i=1,2,…,10),经计算得xi=98,yi=1 980,-10=125,xiyi=19 654.
(1)经研究,y与x具有较强的线性相关性,请计算y关于x的经验回归方程;
(2)随着退田还湖政策的实施,A湖泊水域覆盖面积又增加了10万平方米,在保持A湖泊生态平衡的前提下,为增加经济效益,试估计该湖泊的管理者最多还能投放的鱼苗数量是多少
参考公式:经验回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
16.(15分)为了调查某大学学生在某天上网的时间,随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果:
表1:男生上网时间与频数分布表
上网时间/分钟 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80]
人数 5 25 30 25 15
表2:女生上网时间与频数分布表
上网时间/分钟 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80]
人数 10 20 40 20 10
(1)将频率视为概率,若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数;
(2)完成下面的2×2列联表,根据小概率值α=0.1的独立性检验,能否认为“大学生上网时间与性别有关联”
单位:人
性别 上网时间 合计
少于60分钟 不少于60分钟
男
女
合计
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(15分)已知某校5名学生的数学成绩和物理成绩(满分均为100分)如下表:
学生的编号i 1 2 3 4 5
数学成绩xi 80 75 70 65 60
物理成绩yi 70 66 68 64 62
(1)假设在对这5名学生成绩进行统计时,把这5名学生的物理成绩搞乱了,数学成绩没出现问题,问:恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩的概率是多少
(2)通过大量事实证明发现,一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系,在上述表格是正确的前提下,用x表示数学成绩,用y表示物理成绩,求y关于x的经验回归方程.
(3)利用残差分析经验回归方程的拟合效果,若残差和在区间(-0.1,0.1)内,则称经验回归方程为“优拟方程”,问:该经验回归方程是否为“优拟方程”
参考数据和公式:x+,其中xiyi=23 190,=24 750.
残差和公式:(yi-).
18.(17分)某稻米产地今秋获得大丰收,为促进当地某品牌大米销售,甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过对某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间(下简称甲直播间、乙直播间)购买的情况进行调查(假定每人只在一个直播间购买大米),得到以下数据:
单位:人
网民类型 在直播间购买大米的情况 合计
在甲直播间购买 在乙直播间购买
本地区网民 50 5 55
外地区网民 30 15 45
合计 80 20 100
(1)依据小概率值α=0.005的独立性检验,能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联
(2)用样本分布的频率估计总体分布的概率,若共有100 000名网民在甲、乙直播间购买大米,且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响,记其中在甲直播间购买大米的网民数为X,求使事件“X=k”的概率取最大值的k的值.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
19.(17分)混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点,是目前使用量最大的土木建筑材料.抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数之一,也是实际工程对混凝土要求的基本指标.为了解某型号某批次混凝土的抗压强度(单位:MPa)随龄期(单位:天)的发展规律,质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期xi(i=1,2,3,…,10)分别为2,3,4,5,7,9,12,14,17,21时抗压强度yi的值,并对数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(1)根据散点图判断y=a+bx与y=c+dln x哪一个适宜作为抗压强度y关于龄期x的经验回归方程类型,选择其中的一个模型,并根据表中数据,建立y关于x的经验回归方程.
(2)工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度f28视作混凝土抗压强度标准值.已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为40 MPa.
①试预测该批次混凝土是否达标
②由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定,早期预测在工程质量控制中具有重要意义.经验表明,该型号混凝土第7天的抗压强度f7与第28天的抗压强度f28具有线性相关关系,且符合f28=1.2f7+7,试估计在早期质量控制中,龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度.
参考数据:ln 2≈0.69,ln 7≈1.95.
(xi-)2 (wi-)2 (xi-)(yi-) (wi-)(yi-)
9.4 29.7 2 366 5.5 439.2 55
表中wi=ln xi,wi.
附:.
参考答案
第八章测评
1.A 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线附近,故最符合线性函数模型.
2.C 根据等高堆积条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多,故C正确;
根据等高堆积条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数,故D错误;
样本中选择物理学科的人数多于选择历史学科的人数,而选择物理学科的男生比例高,选择历史学科的女生比例低,
所以样本中选择物理学科的男生人数多于选择历史学科的女生人数,故A错误;
样本中女生选择历史学科的人数不一定多于男生选择历史学科的人数,故B错误.
故选C.
3.B ∵两个分类变量没有关联,基本相等,
结合选项检验可知,选项B满足条件.故选B.
4.B 由=3,=2,因为经验回归直线过样本中心(),所以2=3+1.16,=0.28,②错误;可知y随着x变大而变大,所以变量x与y正相关,①③正确;2023年7月该新能源汽车厂的销量的估计值是=0.28×7+1.16=3.12,④错误.故选B.
5.C 由经验回归方程为=4x+,则xi=22.5,yi=160,则测量数据样本点的中心为(22.5,160),由经验回归直线过样本点的中心,则-4=160-4×22.5=70,∴经验回归方程为=4x+70,当x=24时,=4×24+70=166,则估计其身高为166厘米.
6.D y关于x的经验回归方程为=0.85x-85.71,其中=0.85>0,则y与x是正相关的,故A正确;
由经验回归方程的性质,即经验回归直线恒过样本点的中心,可得B正确;
由经验回归方程可得,若该初中的男生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg,故C正确;
若该初中的男生身高为160 cm,预测其体重约为0.85×160-85.71=50.29(kg),故D错误.故选D.
7.B 零假设为H0:是否喜欢网络课程与性别无关.
依题意,设男、女生的人数各为5x,建立2×2列联表如表所示:
单位:人
性别 喜欢网络课程 不喜欢网络课程 合计
男 4x x 5x
女 3x 2x 5x
合计 7x 3x 10x
故χ2=,由题可知6.635<10.828,所以139.335≤10x<227.388.只有B符合题意.
8.B 由条件知当x2=8.4时,=83-1.4=81.6,代入=-16x+,解得=81.6+16×8.4=216,于是=-16x+216.
又=8.5,所以=80,即=80,解得m=75.故选B.
9.AB 对于A,由条件可知,数据3x1-1,3x2-1,…,3x10-1的方差为32×2=18,故A错误;
对于B,由残差图的描述可知,宽度越窄表示回归效果越好,故B错误;
易知C正确,D正确.故选AB.
10.AC 经验回归直线必过点(),=9,=-1.4+20.6=8=,解得a=12,故A正确;
由经验回归方程和表格可知,变量x,y负相关,故B错误;
r===-,故C正确,D错误.故选AC.
11.ABD 由样本数据点集合{(xi,yi)|i=1,2,…,n}求得经验回归方程为=1.5x+0.5,所以=1.5×3+0.5=5.
因为重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2,故变量x,y之间的关系是正相关,故A正确;
设新的数据所有横坐标的平均值为',所有纵坐标的平均值为',则'==3,'==5,设重新求得的经验回归方程为=1.2x+,则5=1.2×3+,故=1.4,所以重新求得的经验回归方程为=1.2x+1.4,故B正确;
因为斜率为1.2<1.5,所以y的预测值增加速度变慢,故C错误;
把x=4代入=1.2x+1.4,得=1.2×4+1.4=6.2,故D正确.故选ABD.
12.262 由题意,得=4,(1 028+a),代入=4x+242,可得(1 028+a)=4×4+242,解得a=262.
13.22.222 有关联 由20+b=40,得b=20.
由20+c=25,得c=5.
零假设为H0:患慢性气管炎与吸烟无关联.
故χ2=22.222>10.828=x0.001.
依据α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为患慢性气管炎与吸烟有关,此推断犯错误的概率不超过0.001.
14 令z=ln y,得到z关于x的经验回归方程,则,
所以=4,则+4.
将x=8代入+4,得,可得
15.解(1)=2,所以-2=178.4,则y关于x的经验回归方程为=2x+178.4.
(2)在保持该湖泊现有生态平衡不变的情况下,当A湖泊的水域覆盖面积又增加了10万平方米时,最多还能投放鱼苗2×10=20(千尾).
16.解(1)设上网时间不少于60分钟的女生人数为x,依题意有,解得x=225,
所以估计女生中上网时间不少于60分钟的人数是225.
(2)填2×2列联表如下:
单位:人
性别 上网时间 合计
少于60分钟 不少于60分钟
男 60 40 100
女 70 30 100
合计 130 70 200
零假设为H0:大学生上网与性别无关联.
由表中数据可得到χ2=2.20<2.706=x0.1,根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为大学生上网时间与性别无关联.
17.解(1)记事件A为“恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩”,则P(A)=
(2)因为=70,=66,=0.36,=66-0.36×70=40.8.
所以经验回归方程为=0.36x+40.8.
(3)x1=80,=69.6;x2=75,=67.8;x3=70,=66;x4=65,=64.2;x5=60,=62.4.
(yi-)=(70-69.6)+(66-67.8)+(68-66)+(64-64.2)+(62-62.4)=0.4+(-1.8)+2-0.2-0.4=0.
因为0∈(-0.1,0.1),所以该方程为“优拟方程”.
18.解 (1)零假设为H0:网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有关联.
经计算得χ2=9.091>7.879=x0.005,
依据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,
即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联,此推断犯错误的概率不超过0.005.
(2)利用样本分布的频率估计总体分布的概率,
可知网民选择在甲直播间购买大米的概率为p=,
则X~B100 000,.记n=100 000,p=,
则P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,100 000.
则问题等价于求当k取何值时,P(X=k)=pk(1-p)n-k取最大值.
因为0
又(n+1)p=100 001=80 000.8,
所以当k<(n+1)p=80 000.8时,P(X=k)>P(X=k-1);
当k=(n+1)p=80 000.8时,P(X=k)=P(X=k-1);
当k>(n+1)p=80 000.8时,P(X=k)
P(X=100 000)<…
故使事件“X=k”的概率取最大值的k的值为80 000.
19.解(1)由散点图可以判断,y=c+dln x适宜作为抗压强度y关于龄期x的经验回归方程类型.
令w=ln x,先建立y关于w的经验回归方程.
由于=10,=29.7-10×2=9.7,所以y关于w的经验回归方程为=9.7+10w,因此y关于x的非线性经验回归方程为=9.7+10ln x.
(2)①由(1)知,当龄期为28天,即x=28时,抗压强度y的预测值=9.7+10ln 28=9.7+10×(2ln 2+ln 7)≈43.
因为43>40,所以预测该批次混凝土达标.
②令f28=1.2f7+7≥40,得f7≥27.5.所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为27.5 MPa.
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