模块综合测评2--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学选择性必修第三册
模块综合测评(二)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024江苏镇江高三阶段练习]若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论不正确的是(　　)
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 D.D(X)=
2.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”,是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划,旨在培养中国自己的学术大师.已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地,某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标,则每所学校至少有一位同学选择的不同方法种数为(　　)
A.120 B.180 C.240 D.300
3.[2024广东高二期末]随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=(　　)
A. B. C. D.
4.设某地区历史上从某次特大洪水发生以后,在30年内发生特大洪水的概率是0.8,在40年内发生特大洪水的概率是0.85.在过去的30年内该地区都未发生特大洪水,则在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是(　　)
A.0.25 B.0.3 C.0.35 D.0.4
5.(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为(　　)
A.45 B.65 C.105 D.135
6.某电器厂购进了两批电子元件,其中第一批电子元件的使用寿命X(单位:小时)服从正态分布,且使用寿命不少于1 200小时的概率为0.1,使用寿命不少于800小时的概率为0.9.第二批电子元件的使用寿命不少于900小时的概率为0.8,使用寿命不少于1 000小时的概率为0.6,且这两批电子元件的使用寿命互不影响.若该厂产出的某电器中同时装有这两批电子元件各一个,则在1 000小时内这两个元件都能正常工作的概率为(　　)
A. B. C. D.
7.某大型家电专卖店为答谢消费者举行了一次抽奖活动,奖券共有100张,其中带有“中奖”字样的奖券有10张.假设抽完的奖券不放回,参加抽奖的20名消费者依次编号为1,2,…,20,并按照编号由小到大的顺序依次参加抽奖,则2号消费者中奖的概率为(　　)
A. B. C. D.
8.[2024湖南高二期末]在一个具有五个行政区域的地图上(如图),用四种颜色给这五个行政区域着色,若相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有(　　)
A.72种 B.84种
C.180种 D.390种
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在的展开式中,下列结论正确的有(　　)
A.二项式系数最大的项为第五项 B.各项系数和为0
C.x4的系数为4 D.所有项的二项式系数的和为16
10.袋子中装有大小、形状完全相同的6个白球和4个黑球,现从中有放回地随机取球3次,每次取一个球,每次取到白球得0分,黑球得5分,设3次取球总得分为X,则下列结论正确的有(　　)
A.3次取球中恰有2次取得白球的概率为 B.P(X>5)=
C.E(X)=6 D.D(X)=
11.下列说法正确的有(　　)
A.若随机变量ξ~N(0,1),则P(|ξ|>x)=2-P(ξ≤x),其中x>0
B.若事件A与B互斥,且0C.已知当事件B发生时,事件A一定发生,且0D.甲、乙两个箱子里各装有5个大小、形状都相同的球,其中甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和3个白球,先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,再从乙箱中随机取出一球,则取出的球是红球的概率为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某处有5个水龙头,已知每个水龙头被打开的可能为,随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)=　　　　　.
13.[2024江西吉安高二阶段练习]已知在A,B,C三个地区分别有3%,5%,4%的人患了流感,这三个地区的人口数的比为5∶7∶8.现从这三个地区中任意选取1人,则这个人患流感的概率为　　　　　.
14.[2024陕西高二期末]为了解某池塘中水生植物的覆盖面积x(单位:dm2)与水生植物的株数y(单位:株)之间的相关关系,收集了4组数据,用模型y=cekx(c>0)去拟合x与y的关系,设z=ln y,x与z的数据如表格所示.
x 3 4 6 7
z 2.5 3 4 5.9
若z关于x的经验回归方程为=0.78x+,则c=　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(1)若=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求a1+a2+a3+a4的值.
(2)在的展开式中,
①求二项式系数最大的项;
②求展开式中系数的绝对值最大的项.
16.(15分)某市组织宣传小分队进行法律法规宣传,某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数,得到下表:
第x天 1 2 3 4 5 6 7 8 9
每天普及的人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310
(1)从这9天的数据中任选4天的数据,以X表示4天中每天普及的人数不少于240人的天数,求X的分布列和数学期望;
(2)由于统计人员的疏忽,第5天的数据统计有误,如果去掉第5天的数据,试用剩下的数据求出y关于x的经验回归方程x+.
参考数据:yi=190,=60,=55 482,(xi-)(yi-)=1 800.
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
17.(15分)“随意过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“随意过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:
单位:人
态度 性别 合计
男 女
反感 10
不反感 8
合计 30
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“随意过马路”的路人的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析反感“随意过马路”与性别是否有关
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“随意过马路”的人数为X,求X的分布列和均值.
附:χ2=.
α 0.05 0.01
xα 3.841 6.635
18.(17分)某投资公司准备在2024年年初将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为.
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,也可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为.
(1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由;
(2)若市场预期不变,该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番 (参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
19.(17分)某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动,凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加赢取“购书券”的双人游戏.游戏共三局,每局游戏开始前,在不透明的箱中装有5个号码分别为1,2,3,4,5的小球(小球除号码不同外,其余完全相同),每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球(摸球者无法摸出小球号码),若双方摸出的两球号码之差为奇数,则甲被扣除2个积分,乙增加2个积分;若号码之差为偶数,则甲增加n(n∈N*)个积分,乙被扣除n个积分.游戏开始时,甲、乙的初始积分均为零,游戏结束后,若双方的积分不等,则积分较大的一方视为获胜方,将获得“购书券”奖励;若双方的积分相等,则均不能获得奖励.
(1)设游戏结束后,甲的积分为随机变量ξ,求ξ的分布列.
(2)以(1)中的随机变量ξ的数学期望为决策依据,当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时,记正整数n的最小值为n0.
①求n0的值,并说明理由;
②当n=n0时,求在甲至少有一局被扣除积分的情况下,甲仍获得“购书券”奖励的概率.
参考答案
模块综合测评(二)
1.C　随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,则P(X=1)=,E(X)=0+1,
D(X)=
P(X=1)=E(X),故A正确;
E(3X+2)=3E(X)+2=4,故B正确;
D(3X+2)=9D(X)=9=2,故C错误;
D(X)=,故D正确.故选C.
2.C　5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标,每所学校至少有一位同学选择的不同方法种数为=240.
3.C　设P(X=1)=p,P(X=2)=q,
∵E(X)=0+p+2q=1. ①
又+p+q=1, ②
由①②得,p=,q=
∴D(X)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=故选C.
4.A　设在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是p,根据条件可得,0.8×1+(1-0.8)×p=0.85,解得p=0.25.
5.D　(1-x)10的展开式的通项为Tk+1=(-1)kxk,所以(1+x+x2)(1-x)10的展开式中含x4的项为1x4+x×(-x3)+x2x2=135x4.故选D.
6.B　依题意,P(X≥1 200)=0.1,P(X≥800)=0.9,则P(X≥1 200)=P(X≤800)=0.1,
由正态分布的对称性知,使用寿命X的期望μ==1 000,则P(X≥1 000)=,
所以在1 000小时内这两个元件都能正常工作的概率为0.6=故选B.
7.C　设第i号消费者中奖为事件Ai,则P(A2)=P(A1A2)+P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=
8.A　选用3种颜色时,必须2,4同色且1,5同色,3种颜色全排列,着色方法有=24种;4种颜色全用时,2,4同色或1,5同色,有2种情况,着色方法有=48种.故不同的着色方法共有48+24=72种.故选A.
9.BD　对于A,因为的展开式一共五项,所以二项式系数最大的项为第三项,故A错误;
对于B,令x=1时,=0,所以各系数的和为0,故B正确;
对于C,因为的展开式的通项为Tk+1=x4-k(-1)kx4-2k,
令4-2k=4,得k=0,故x4的系数为(-1)0=1,故C错误;
对于D,所有项的二项式系数的和为24=16,故D正确.
故选BD.
10.BC　设3次取球取到白球的个数为ξ,
因为每次取到白球的概率P=,所以由题意可得ξ~B,且X=0×ξ+5(3-ξ)=15-5ξ.
对于A,P(ξ=2)=,故A错误;
对于B,令X=15-5ξ>5,解得ξ<2,故ξ=0或ξ=1,
所以P(X>5)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=1-[P(ξ=2)+P(ξ=3)]=1-=,故B正确;
对于C,因为E(ξ)=3,所以E(X)=E(15-5ξ)=15-5E(ξ)=15-5=6,故C正确;
对于D,因为D(ξ)=3,所以D(X)=D(15-5ξ)=25D(ξ)=25=18,故D错误.
11.BD　对于A,若随机变量ξ~N(0,1),则P(|ξ|>x)=P(ξ>x或ξ<-x)=2(1-P(ξ≤x))=2-2P(ξ≤x),故A不正确;
对于B,若事件A与B互斥,则P(AB)=0,
P(A)=P(A)-P(AB)=P(A),
所以P(A|)=,故B正确;
对于C,若事件B发生,则事件A一定发生,则B A,
P(AB)=P(B),P(A|B)==1,故C不正确;
对于D,设事件A表示从甲箱中取出的是红球,事件B表示从甲箱中取出的是白球,事件C表示从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,再从乙箱中随机取出一球,取出的球是红球,则P(A)=,P(C|A)=,P(B)=,P(C|B)=,
所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=,故D正确.故选BD.
12.0.008 1　对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有打开或未打开2种可能结果,相应的概率为0.1或1-0.1=0.9.根据题意知ξ~B(5,0.1),
从而P(ξ=3)=(0.1)3×(0.9)2=0.008 1.
13.0.041　设事件D为“这个人患流感”,事件A1,A2,A3分别表示这个人选自A,B,C三个地区,
则由已知得P(A1)==0.25,P(A2)==0.35,P(A3)==0.4,
P(D|A1)=0.03,P(D|A2)=0.05,P(D|A3)=0.04,
所以由全概率公式得P(D)=P(A1)P(D|A1)+P(A2)P(D|A2)+P(A3)P(D|A3)=0.25×0.03+0.35×0.05+0.4×0.04=0.041.
14.e-0.05　由已知可得,=5,=3.85,
所以3.85=0.78×5+,解得=-0.05,
所以=0.78x-0.05.
由z=ln y,得ln y=0.78x-0.05,
所以y=e0.78x-0.05=e-0.05·e0.78x,
所以c=e-0.05.
15.解 (1)在=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,
令x=1,可得=a0+a1+a2+a3+a4,令x=0,可得=a0,
则a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0==88+56
(2)①8的展开式的通项是Tk+1=)8-k=(-1)k2k
二项式系数最大的项为中间项,即第5项,所以T5=24=1 120x-6.
②设第k+1项的系数的绝对值最大,则所以解得5≤k≤6,又因为k∈{1,2,3,4,5,6,7},所以k=5或k=6,第6项和第7项的系数的绝对值是7×28.
当k=0时,第1项的系数的绝对值是1;当k=8时,第9项的系数的绝对值是28.故展开式中系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
16.解 (1)每天普及的人数不少于240人的天数为3,则X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0+1+2+3
(2)设原来数据的样本点的中心为(),去掉第5天的数据后的样本点的中心为(','),
则'=(1+2+3+4+6+7+8+9)=5,'=x5=5=,
'=(80+98+129+150+190+258+292+310)=
故
=
==30,
'-'=-30×5=,
∴y关于x的经验回归方程为=30x+
17.解 (1)
单位:人
态度 性别 合计
男 女
反感 10 6 16
不反感 6 8 14
合计 16 14 30
零假设为H0:反感“随意过马路”与性别无关联.
由已知数据得χ2=1.158<3.841=x0.05.
根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,即认为反感“随意过马路”与性别无关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.
(2)X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=1)=,P(X=2)=
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
X的均值为E(X)=0+1+2
18.解 (1)若按项目一投资,设获利ξ1万元,则ξ1的分布列为
ξ1 300 -150
P
所以E(ξ1)=300+(-150)=200.
若按项目二投资,设获利ξ2万元,则ξ2的分布列为
ξ2 500 -300 0
P
所以E(ξ2)=500+(-300)+0=200.
又D(ξ1)=(300-200)2+(-150-200)2=35 000,D(ξ2)=(500-200)2+(-300-200)2+(0-200)2=140 000,所以E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥.
综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.
(2)假设n年后总资产可以翻一番,依题意可得1 000×1+n=2 000,即1.2n=2,两边同时取对数得n=3.805 3≈4,
所以大约4年后,即在2027年底总资产可以翻一番.
19.解(1)记“一局游戏后甲被扣除2个积分”为事件A,“一局游戏后乙被扣除n个积分”为事件B,
由题可知P(A)=,则P(B)=1-P(A)=,
当三局均为甲被扣除2个积分时,ξ=-6,
当两局为甲被扣除2个积分,一局为乙被扣除n个积分时,ξ=n-4,
当一局为甲被扣除2个积分,两局为乙被扣除n个积分时,ξ=2n-2,
当三局均为乙被扣除n个积分时,ξ=3n,
所以P(ξ=-6)=,P(ξ=n-4)=,P(ξ=2n-2)=,P(ξ=3n)=所以随机变量ξ的分布列为
ξ -6 n-4 2n-2 3n
P
(2)①由(1)易得E(ξ)=-6+(n-4)+(2n-2)+3n,显然甲、乙双方的积分之和恒为零,当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时,则需E(ξ)=>0,所以n>3,即正整数n的最小值n0=4.
②当n=4时,记“甲至少有一局被扣除积分”为事件C,则P(C)=1-,由题设可知若甲获得“购书券”奖励,则甲被扣除积分的局数至多为1,记“甲获得‘购书券’奖励”为事件D,易知事件CD为“甲恰好有一局被扣除积分”,则P(CD)=,所以P(D|C)=,即在甲至少有一局被扣除积分的情况下,甲仍获得“购书券”奖励的概率为
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