培优课——排列与组合的综合应用--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 培优课——排列与组合的综合应用--2025人教A版数学选择性必修第三册同步练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 311.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-29 10:23:20 | ||
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文档简介
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2025人教A版数学选择性必修第三册
培优课——排列与组合的综合应用
A级 必备知识基础练
1.[探究点三]若将9名会员分成三组讨论问题,每组3人,共有不同的分组方法种数有( )
A. B.
C. D.
2.[探究点一]加工某种产品需要5道工序,分别为A,B,C,D,E,其中工序A,B必须相邻,工序C,D不能相邻,那么有( )种加工方法.
A.24 B.32 C.48 D.64
3.[探究点二]某高中学校在新学期增设了“传统文化”“数学文化”“综合实践”“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同,且小明必须选报“数学文化”课程,则两位同学不同的选课方案有( )
A.24种 B.36种
C.48种 D.52种
4.[探究点四·2024北京高二开学考试]从高二年级的5名同学中选派4人作为志愿者分别承担4项不同的公益工作,若其中甲、乙两人只能从事A,B两项工作,其余三人均能从事这4项工作,则不同的选派方案共有( )
A.48种 B.12种
C.18种 D.36种
5.[探究点一·2024辽宁高二阶段练习]甲、乙、丙等6人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法有( )
A.128种 B.96种
C.72种 D.48种
6.[探究点二](多选题)美术馆计划从6幅油画,4幅国画中,选出4幅展出,若某两幅画至少有一副参展,则不同的参展方案有多少种 ( )
A. B.
C. D.-2
7.[探究点二]某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位同学选修4门,共有 种不同的选修方案.
8.[探究点四]如图,一圆形信号灯分成A,B,C,D四块灯带区域,现有4种不同的颜色供灯带使用,要求在每块灯带里选择1种颜色,且相邻的2块灯带选择不同的颜色,则不同的信号种数为 .
9.[探究点三]甲、乙、丙三位教师指导五名学生a,b,c,d,e参加全国高中数学联赛,每位教师至少指导一名学生.
(1)若每位教师至多指导两名学生,共有多少种分配方案
(2)若教师甲只指导其中一名学生,共有多少种分配方案
10.[探究点四]有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数:
(1)有女生但人数必须少于男生;
(2)某女生一定担任语文课代表;
(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;
(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.
B级 必备知识基础练
11.假如某大学给我市某三所高中学校共7个自主招生的推荐名额,则每所中学至少分到一个名额的方法数为( )
A.30 B.21
C.10 D.15
12.某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车,将它们全部派往3个工地进行作业,每个工地至少派一辆工程车,共有多少种方式 下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
13.[2024辽宁本溪高二开学考试]甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影,恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻,且丙坐在七人的正中间,则不同的坐法的种数为( )
A.192 B.240 C.96 D.48
14.如图是由6个正方形拼成的矩形图案,从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为( )
A.208 B.204
C.200 D.196
15.若自然数n使得n+(n+1)+(n+2)不产生十进位现象,则称n为“良数”.例如:32是“良数”,因为32+33+34不产生十进位现象;23不是“良数”,因为23+24+25产生十进位现象.那么,小于1 000 的“良数”的个数为( )
A.27 B.36 C.39 D.48
16.某企业有4个分厂,新培训了6名技术人员,将这6名技术人员分配到各分厂,要求每个分厂至少1人,则不同的分配方案种数为 .
17.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛,如果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法
18.在高三(1)班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.
(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序
C级 学科素养创新练
19.某论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为( )
A. B.
C. D.
20.已知不定方程x1+x2+x3+x4=12,则不定方程正整数解的组数为 .
21.有7个人分成两排就座,第一排3人,第二排4人.
(1)共有多少种不同的坐法
(2)如果甲和乙都在第二排,共有多少种不同的坐法
(3)如果甲和乙不能坐在每排的两端,共有多少种不同的坐法
参考答案
培优课——排列与组合的综合应用
1.C 此题为平均分组问题,有种分法.
2.A 根据题意,分2步进行:
第1步,将A,B看成一个整体,与E全排列,有=4种排法;
第2步,排好后,有3个空位,将C,D安排在空位中,有=6种排法.
由分步乘法计数原理得,有4×6=24种加工方法.故选A.
3.B 根据题意,分2步进行:
第1步,小明必须选报“数学文化”课程,则小明的选法有=4种;
第2步,小明和小华两人所选的课程至多有一门相同,有=9种选法.
由分步乘法计数原理,有4×9=36种选法.故选B.
4.D ①若甲、乙两人只有一人入选,则有=24种选派方法;
②若甲、乙两人都入选,则有=12种选派方法.
故不同的选派方案有24+12=36种.故选D.
5.B 因为乙和丙之间恰有2人,所以乙丙及中间人占据首四位或中间四位或尾四位.
①当乙丙及中间人占据首四位,此时还剩最后2位,甲不在两端,
第1步,先排末位,有种排法;第2步,将甲和中间人排入,有种排法;第3步,排乙丙,有种排法.
由分步乘法计数原理得,有=36种排法.
②当乙丙及中间人占据中间四位,此时两端还剩2位,甲不在两端,
第1步,先排两端,有种排法;第2步,将甲和中间人排入,有种排法;第3步,排乙丙,有种排法.
由分步乘法计数原理得,有=24种排法.
③乙丙及中间人占据尾四位,此时还剩前2位,甲不在两端,
第1步,先排首位,有种排法;第2步,将甲和中间人排入,有种排法;第3步,排乙丙,有种排法.
由分步乘法计数原理得,有=36种排法.
故不同排法有36+24+36=96种.故选B.
6.ABC 对于A,从10幅画中任意选4幅展出,有种方案.若这两幅画一幅也没参展,有种方案,
则至少一幅参展方案种数为,故A正确;
对于B,若两幅中只有一幅参展,有种方案;
若两幅都参展,有种方案,
则不同的参展方案种数为,故B正确;
对于C,将该两幅画分别记为甲、乙,若甲参展,则不需要考虑乙的参展情况,有种方案;若甲不参展,则乙必须参展,需要在剩余8幅画中再选3幅,有种方案.故不同的参展方案种数为,故C正确;
对于D,-2表示两幅画都参展或都不参展,故D错误.故选ABC.
7.75 分两类:
第1类,从A,B,C中选1门,从另6门中选3门,共有种选法;
第2类,从6门中选4门有种选法.
故共有=75种不同的选修方案.
8.84 按照使用了多少种颜色分三类计数:
第一类,使用4种颜色,有=24种;
第二类,使用3种颜色,必有2块区域同色,有=48种;
第三类,使用2种颜色,必然是A与C同色,且B与D同色,有=12种.
所以不同的信号种数为24+48+12=84.
9.解(1)5名学生分成3组,人数分别为2,2,1,
∴分配方案有=90种.
(2)从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导,剩下4名学生分成2组,人数分别为2,2或3,1,
∴分配方案有=70种.
10.解(1)先选后排,可以是2女3男,也可以是1女4男,先选有()种情况,后排有种情况,则符合条件的选法种数为()=5 400.
(2)除去该女生后,先选后排,则符合条件的选法数为=840.
(3)先选后排,但先安排该男生,则符合条件的选法种数为=3 360.
(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种情况,再安排该男生有种情况,选出的3人全排有种情况,则符合条件的选法数为=360.
11.D 用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板,有=15种分配方法.
12.C
13.A 七张连号的电影票分别标为1号位,2号位,……,7号位.将甲、乙两人捆绑,看作1个元素,有种情况.因为丙在正中间(4号位), 则甲、乙两人只能坐1号位、2号位,2号位、3号位,5号位、6号位或6号位、7号位,有4种情况.
剩余的4人全排列,有种情况.
故不同的坐法的种数为=192.故选A.
14.C 任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种:一是3条横线中在同一横线上的4个点,其组数为3;二是4条竖线中在同一竖线上的3个点,其组数为4;三是4条斜线上的3个点,其组数为4,所以可以构成三角形的组数为-3-8=200.
15.D 如果n是良数,则n的个位数字只能是0,1,2,非个位数字只能是0,1,2,3(首位不为0),而小于1 000的数至多三位,一位数的良数有0,1,2,共3个;二位数的良数个位可取0,1,2,十位可取1,2,3,共有3×3=9个;三位数的良数个位可取0,1,2,十位可取0,1,2,3,百位可取1,2,3,共有3×4×3=36个.综上,小于1 000的“良数”的个数为3+9+36=48.
16.1 560 先把6名技术人员分成4组,每组至少一人.
若4个组的人数按3,1,1,1分配,
则不同的分配方案有=20种.
若4个组的人数为2,2,1,1,
则不同的分配方案有=45种.
故所有分组方法共有20+45=65种.
再把4个组的人分给4个分厂,不同的方法有65=1 560种.
17.解把所选取的运动员的情况分为三类:
第1类,甲、乙两人均不参赛,不同的参赛方法有=24种;
第2类,甲、乙两人有且只有1人参赛,不同的参赛方法有()=144种;
第3类,甲、乙两人都参赛,不同的参赛方法有(-2)=84种.
由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有24+144+84=252种.
18.解(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来,看成1个节目,与6个演唱节目一起排,有=5 040种方法;第二步再松绑,给4个舞蹈节目排序,有=24种方法.
根据分步乘法计数原理,一共有5 040×24=120 960种安排顺序.
(2)第一步,将6个演唱节目排成一列,共有=720种方法.
第二步,将4个舞蹈节目排在6个演唱节目产生的7个空中,共有=840种方法.
根据分步乘法计数原理,共有720×840=604 800种安排顺序.
19.A 首先从14人中选出12人,共种,然后将12人平均分为3组,共种,然后这两步相乘,得将三组排列后共种.故选A.
20.165 问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子,且每个盒子中至少放入1个小球,使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为=165.
21.解(1)7个人分成两排就座,第一排3人,第二排4人,共有=5 040种.
(2)从除甲乙之外的5人中选3人排在第一排,再排第二排,故有=1 440种.
(3)第一类,甲乙同一排,则只能排在第二排,故有=240种;
第二类,甲乙不在同一排,故有2×()=480种.
故共有240+480=720种.
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2025人教A版数学选择性必修第三册
培优课——排列与组合的综合应用
A级 必备知识基础练
1.[探究点三]若将9名会员分成三组讨论问题,每组3人,共有不同的分组方法种数有( )
A. B.
C. D.
2.[探究点一]加工某种产品需要5道工序,分别为A,B,C,D,E,其中工序A,B必须相邻,工序C,D不能相邻,那么有( )种加工方法.
A.24 B.32 C.48 D.64
3.[探究点二]某高中学校在新学期增设了“传统文化”“数学文化”“综合实践”“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同,且小明必须选报“数学文化”课程,则两位同学不同的选课方案有( )
A.24种 B.36种
C.48种 D.52种
4.[探究点四·2024北京高二开学考试]从高二年级的5名同学中选派4人作为志愿者分别承担4项不同的公益工作,若其中甲、乙两人只能从事A,B两项工作,其余三人均能从事这4项工作,则不同的选派方案共有( )
A.48种 B.12种
C.18种 D.36种
5.[探究点一·2024辽宁高二阶段练习]甲、乙、丙等6人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法有( )
A.128种 B.96种
C.72种 D.48种
6.[探究点二](多选题)美术馆计划从6幅油画,4幅国画中,选出4幅展出,若某两幅画至少有一副参展,则不同的参展方案有多少种 ( )
A. B.
C. D.-2
7.[探究点二]某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位同学选修4门,共有 种不同的选修方案.
8.[探究点四]如图,一圆形信号灯分成A,B,C,D四块灯带区域,现有4种不同的颜色供灯带使用,要求在每块灯带里选择1种颜色,且相邻的2块灯带选择不同的颜色,则不同的信号种数为 .
9.[探究点三]甲、乙、丙三位教师指导五名学生a,b,c,d,e参加全国高中数学联赛,每位教师至少指导一名学生.
(1)若每位教师至多指导两名学生,共有多少种分配方案
(2)若教师甲只指导其中一名学生,共有多少种分配方案
10.[探究点四]有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数:
(1)有女生但人数必须少于男生;
(2)某女生一定担任语文课代表;
(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;
(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.
B级 必备知识基础练
11.假如某大学给我市某三所高中学校共7个自主招生的推荐名额,则每所中学至少分到一个名额的方法数为( )
A.30 B.21
C.10 D.15
12.某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车,将它们全部派往3个工地进行作业,每个工地至少派一辆工程车,共有多少种方式 下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
13.[2024辽宁本溪高二开学考试]甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影,恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻,且丙坐在七人的正中间,则不同的坐法的种数为( )
A.192 B.240 C.96 D.48
14.如图是由6个正方形拼成的矩形图案,从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为( )
A.208 B.204
C.200 D.196
15.若自然数n使得n+(n+1)+(n+2)不产生十进位现象,则称n为“良数”.例如:32是“良数”,因为32+33+34不产生十进位现象;23不是“良数”,因为23+24+25产生十进位现象.那么,小于1 000 的“良数”的个数为( )
A.27 B.36 C.39 D.48
16.某企业有4个分厂,新培训了6名技术人员,将这6名技术人员分配到各分厂,要求每个分厂至少1人,则不同的分配方案种数为 .
17.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛,如果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法
18.在高三(1)班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.
(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序
C级 学科素养创新练
19.某论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为( )
A. B.
C. D.
20.已知不定方程x1+x2+x3+x4=12,则不定方程正整数解的组数为 .
21.有7个人分成两排就座,第一排3人,第二排4人.
(1)共有多少种不同的坐法
(2)如果甲和乙都在第二排,共有多少种不同的坐法
(3)如果甲和乙不能坐在每排的两端,共有多少种不同的坐法
参考答案
培优课——排列与组合的综合应用
1.C 此题为平均分组问题,有种分法.
2.A 根据题意,分2步进行:
第1步,将A,B看成一个整体,与E全排列,有=4种排法;
第2步,排好后,有3个空位,将C,D安排在空位中,有=6种排法.
由分步乘法计数原理得,有4×6=24种加工方法.故选A.
3.B 根据题意,分2步进行:
第1步,小明必须选报“数学文化”课程,则小明的选法有=4种;
第2步,小明和小华两人所选的课程至多有一门相同,有=9种选法.
由分步乘法计数原理,有4×9=36种选法.故选B.
4.D ①若甲、乙两人只有一人入选,则有=24种选派方法;
②若甲、乙两人都入选,则有=12种选派方法.
故不同的选派方案有24+12=36种.故选D.
5.B 因为乙和丙之间恰有2人,所以乙丙及中间人占据首四位或中间四位或尾四位.
①当乙丙及中间人占据首四位,此时还剩最后2位,甲不在两端,
第1步,先排末位,有种排法;第2步,将甲和中间人排入,有种排法;第3步,排乙丙,有种排法.
由分步乘法计数原理得,有=36种排法.
②当乙丙及中间人占据中间四位,此时两端还剩2位,甲不在两端,
第1步,先排两端,有种排法;第2步,将甲和中间人排入,有种排法;第3步,排乙丙,有种排法.
由分步乘法计数原理得,有=24种排法.
③乙丙及中间人占据尾四位,此时还剩前2位,甲不在两端,
第1步,先排首位,有种排法;第2步,将甲和中间人排入,有种排法;第3步,排乙丙,有种排法.
由分步乘法计数原理得,有=36种排法.
故不同排法有36+24+36=96种.故选B.
6.ABC 对于A,从10幅画中任意选4幅展出,有种方案.若这两幅画一幅也没参展,有种方案,
则至少一幅参展方案种数为,故A正确;
对于B,若两幅中只有一幅参展,有种方案;
若两幅都参展,有种方案,
则不同的参展方案种数为,故B正确;
对于C,将该两幅画分别记为甲、乙,若甲参展,则不需要考虑乙的参展情况,有种方案;若甲不参展,则乙必须参展,需要在剩余8幅画中再选3幅,有种方案.故不同的参展方案种数为,故C正确;
对于D,-2表示两幅画都参展或都不参展,故D错误.故选ABC.
7.75 分两类:
第1类,从A,B,C中选1门,从另6门中选3门,共有种选法;
第2类,从6门中选4门有种选法.
故共有=75种不同的选修方案.
8.84 按照使用了多少种颜色分三类计数:
第一类,使用4种颜色,有=24种;
第二类,使用3种颜色,必有2块区域同色,有=48种;
第三类,使用2种颜色,必然是A与C同色,且B与D同色,有=12种.
所以不同的信号种数为24+48+12=84.
9.解(1)5名学生分成3组,人数分别为2,2,1,
∴分配方案有=90种.
(2)从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导,剩下4名学生分成2组,人数分别为2,2或3,1,
∴分配方案有=70种.
10.解(1)先选后排,可以是2女3男,也可以是1女4男,先选有()种情况,后排有种情况,则符合条件的选法种数为()=5 400.
(2)除去该女生后,先选后排,则符合条件的选法数为=840.
(3)先选后排,但先安排该男生,则符合条件的选法种数为=3 360.
(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种情况,再安排该男生有种情况,选出的3人全排有种情况,则符合条件的选法数为=360.
11.D 用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板,有=15种分配方法.
12.C
13.A 七张连号的电影票分别标为1号位,2号位,……,7号位.将甲、乙两人捆绑,看作1个元素,有种情况.因为丙在正中间(4号位), 则甲、乙两人只能坐1号位、2号位,2号位、3号位,5号位、6号位或6号位、7号位,有4种情况.
剩余的4人全排列,有种情况.
故不同的坐法的种数为=192.故选A.
14.C 任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种:一是3条横线中在同一横线上的4个点,其组数为3;二是4条竖线中在同一竖线上的3个点,其组数为4;三是4条斜线上的3个点,其组数为4,所以可以构成三角形的组数为-3-8=200.
15.D 如果n是良数,则n的个位数字只能是0,1,2,非个位数字只能是0,1,2,3(首位不为0),而小于1 000的数至多三位,一位数的良数有0,1,2,共3个;二位数的良数个位可取0,1,2,十位可取1,2,3,共有3×3=9个;三位数的良数个位可取0,1,2,十位可取0,1,2,3,百位可取1,2,3,共有3×4×3=36个.综上,小于1 000的“良数”的个数为3+9+36=48.
16.1 560 先把6名技术人员分成4组,每组至少一人.
若4个组的人数按3,1,1,1分配,
则不同的分配方案有=20种.
若4个组的人数为2,2,1,1,
则不同的分配方案有=45种.
故所有分组方法共有20+45=65种.
再把4个组的人分给4个分厂,不同的方法有65=1 560种.
17.解把所选取的运动员的情况分为三类:
第1类,甲、乙两人均不参赛,不同的参赛方法有=24种;
第2类,甲、乙两人有且只有1人参赛,不同的参赛方法有()=144种;
第3类,甲、乙两人都参赛,不同的参赛方法有(-2)=84种.
由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有24+144+84=252种.
18.解(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来,看成1个节目,与6个演唱节目一起排,有=5 040种方法;第二步再松绑,给4个舞蹈节目排序,有=24种方法.
根据分步乘法计数原理,一共有5 040×24=120 960种安排顺序.
(2)第一步,将6个演唱节目排成一列,共有=720种方法.
第二步,将4个舞蹈节目排在6个演唱节目产生的7个空中,共有=840种方法.
根据分步乘法计数原理,共有720×840=604 800种安排顺序.
19.A 首先从14人中选出12人,共种,然后将12人平均分为3组,共种,然后这两步相乘,得将三组排列后共种.故选A.
20.165 问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子,且每个盒子中至少放入1个小球,使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为=165.
21.解(1)7个人分成两排就座,第一排3人,第二排4人,共有=5 040种.
(2)从除甲乙之外的5人中选3人排在第一排,再排第二排,故有=1 440种.
(3)第一类,甲乙同一排,则只能排在第二排,故有=240种;
第二类,甲乙不在同一排,故有2×()=480种.
故共有240+480=720种.
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